PROBABILITY

1. Elementos de probabilidad Oscar Zamora Arevalo a partir de una presentación de: Ramses Vazquez Lira y Raúl Emmanuel Trujano Espinoza UNAM

2. Tabla de contenido Introducción • Elementos de probabilidad. • Espacio muestral. • Frecuencia. • Frecuencia relativa. • Eventos independientes. • Eventos dependientes. • Eventos mutuamente excluyentes. 

3. “Los planes corresponden al hombre, las probabilidades a Dios.” Proverbio chino

4. Introducción • El cálculo de probabilidades nos permite calcular el grado de confiabilidad o error de las conclusiones obtenidas mediante inferencia estadística. • La probabilidad mide o cuantifica la incertidumbre que tenemos sobre el resultado de un experimento aleatorio.

5. Fenómenos y experimentos aleatorios • Un experimento es determinista cuando existe un conjunto de circunstancias que, antes de su ejecución, determinan completamente su resultado. • Un experimento es aleatorio si no podemos predecir su resultado, de antemano: • Se conocen previamente y con exactitud los posibles resultados del experimento. • Es imposible saber su resultado antes de su realización. • Se puede repetir indefinidamente, en las mismas condiciones iniciales, obteniendo resultados distintos.

6. Eventos • El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento aleatorio, lo denotamos por E. Ejemplo: Experimento, lanzar dado, E={1,2,3,4,5,6} • Un evento o suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral • Un evento elemental es un elemento del espacio muestral. Ejemplo: (lanzar dado), sale un seis, A={6} • Un evento compuesto es un conjunto de eventos elementales. Ejemplo: (lanzar dado), sale un número par B={2,4,6} • El evento A Ụ B ocurre cuando se verifica uno de los dos, o ambos sucesos. • El evento A ∩ Bse presenta cuando ocurren los dos simultáneamente.

7. Eventos • El evento seguro es el que siempre ocurre al realizar el experimento, E. Ejemplo: (lanzar dado) E={1,2,3,4,5,6} • El evento imposible es el que nunca ocurre como resultado del experimento ∅. Ejemplo: (lanzar dado) sale un número mayor a 6

8. Probabilidad • Empírica (clásica): Probabilidad de un evento es la frecuencia relativa (%) de veces que ocurriría el evento al realizar un experimento repetidas veces. • Epistemológica (bayesiana): Grado de certeza que se posee sobre un evento.

9. Definición de probabilidad • Se llama probabilidad a cualquier función, P, que asigna a cada evento A un valor numérico P(A), cumpliendo las siguientes reglas. • P(E)=1 • P(A) = desde 0 hasta 1 • P(AyB)=P(A)+P(B) si AyB son independientes

11. Intersección E espacio muestral A “tamaño” de uno respecto al espacio muestral B • No confundir intersección con probabilidad condicionada.

12. Probabilidad condicional • Si A y B son dos eventos, la probabilidad de que ocurra A, dado que ha ocurrido B, se denota por: • A lo anterior se le conoce como probabilidad condicional de A dado que B se ha presentado. E espacio muestral A “tamaño” de uno respecto al otro B

13. Ejemplo C. Largo C. Corto n1 25 n2 25 Hombres N1 = n1 + n2 n3 25 n4 25 Mujeres N2 = n3 + n4 N3 = n1 + n3 N4 = n2 + n4 N total = 100

14. A A B B B Entender la probabilidad condicional P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,10 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,08 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,8 P(A|B)=1

15. A A B B Entender la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,005 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0 P(A|B)=0,05

16. Eventos independientes y dependientes • Si la ocurrencia o no ocurrencia del evento A no afecta la probabilidad de ocurrencia del evento B, entonces: P(B│A) = P(B), y se dice que A y B son eventos independientes; si no ocurre esto, los eventos se dicen dependientes.

17. Eventos independientes • P(AB)= P(A) * P(B│A) • P(ABC)= P(A) * P(B │ A) * P(C │ AB)

18. Eventos mutuamente excluyentes • Dos o más eventos se dicen mutuamente excluyentes si la ocurrencia de no cualquiera de ellos imposibilita la ocurrencia de los otros. • Así, si A y B son mutuamente excluyentes, P(AB)=0

19. Eventos NO mutuamente excluyentes • Si A + B denota el evento de que “ocurra A ó B ó ambos”, entonces P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

20. Eventos mutuamente excluyentes • Pero para eventos mutuamente excluyentes P(A+B) = P(A) + P(B)

21. NOCIONES DE CONTEOPrincipio Fundamental 1 • Si un suceso A puede ocurrir de n maneras y otro suceso B puede • ocurrir m maneras, entonces el suceso A ó B (Sucede el evento A ó • sucede el evento B) puede ocurrir de formas, siempre y cuando • los eventos no puedan suceder simultáneamente. Ejemplo: En el lanzamiento de un dado, de cuantas maneras se puede obtener un número inferior a 2 o mayor que 4? A: (número inferior a 2) sucede solo de una manera. B : (número superior a 4), sucede de dos maneras A ó B (número inferior a 2 o superior a 4) sucede de 1+2=3 maneras.

22. NOCIONES DE CONTEOPrincipio Fundamental 2 • Si un seceso A puede suceder de n maneras y un suceso B de m formas, • entonces el suceso A y B (sucede el evento A y sucede el Evento B) • puede ocurrir de n(m)modos. Ejemplo: De cuantas maneras distintas pueden caer 2 dados, lanzados simultáneamente: A: (dado 1) puede caer de 6 maneras. B : (dado 2) puede caer de 6 maneras A y B (dado 1 y dado 2 ) sucede de 6(6) =36 maneras

23. Permutaciones • Se le llama permutación a cada uno de los arreglos de n elementos, cuya diferenciación mutua se debe al orden en que están colocados sus elementos. Al total de permutaciones obtenidas con n elementos se le representa por: Pn = n! = n(n-1) (n-2)…(2)(1) Ejemplo: Cuantas palabras diferentes se pueden formar con las letras n, l, o, e; así no tengan sentido? P4 = 4! = 4(3)(2) = 24 nloe, nleo, nelo, neol, nole noel, lnoe, lneo, leno, leon, lone, loen, elon, elno, enlo, enol, eoln, eonl, olne, olen, oeln, oenl, onle, onel.

24. Variaciones • A cada uno de los arreglos de r elementos obtenidos de un grupo de n elementos , cuya diferenciación mutua se deba a los elementos ó el orden de colocación, se le denomina variación. El número total de variaciones se representa por: • Ejemplo: Cuantos números de tres cifras se pueden construir con los dígitos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 si ninguno se puede repetir 3628800/5040

25. Combinaciones • A cada uno de los arreglos de r elementos obtenidos de un grupo de n elementos , cuya diferenciación mutua se deba a los elementos sin importar el orden de colocación de ellos, se le denomina combinación. El número total de combinaciones se representa por: Ejemplo: De cuantas maneras se puede escoger un comité de 4 hombres de un grupo de 8?

26. Permutaciones con repetición • En el caso de las permutaciones, si el elemento1 se repite r1 veces, el elemento 2 se repite r2 veces, etc. Y el elemento k se repite rk, se le llama permutaciones con repetición y se calcula con: Ejemplo: Cuantas palabras diferentes, aun sin significado, se pueden formar con las letras de la palabra amorosos?

27. Variaciones con repetición • En el caso de las variaciones si los elementos se pueden repetir hasta r veces se les denomina variaciones con repetición y se obtienen por: Ejemplo: ¿Cuantos números de cuatro cifras existen?

28. EJERCICIOS PROPUESTOS • 1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano, de modo que no estén en el mismo dedo? • 2. Al lanzar cinco dados de distintos colores ¿cuántos resultados podemos obtener? • 3. Un grupo de amigos formado por Raúl, Sonia, Ricardo y Carmen organizan una fiesta, acuerdan que dos de ellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas ¿De cuántas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dicha misión? • 4. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, podremos formar con las letras de la palabra educación? ¿y con la palabra vacaciones?

29. EJERCICIOS PROPUESTOS • 5. Una fábrica de helados dispone de cinco sabores distintos (vainilla, chocolate, nata, fresa y cola) y quiere hacer helados de dos sabores ¿Cuántos tipos de helado podrán fabricar? • 6. ¿Cuántos números de seis cifras existen que estén formados por cuatro números dos y por dos números tres? • 7. Lola tiene 25 bolitas (10 rojas, 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar. Engarzando las 25 bolitas en un hilo, ¿cuántos collares distintos podrá realizar? • 8. Con los números 1,2,3,4,5 y 6: • ¿Cuántos números distintos de siete cifras podríamos formar? • ¿Podremos numerar a los 3224564 habitantes de una ciudad con esos números?

30. EJERCICIOS PROPUESTOS • 9. Se lanzan al aire uno tras otro cinco dados equilibrados de seis caras. ¿Cuál es el número de casos posibles? • 10. En una carrera de 500 metros participan doce corredores ¿De cuántas maneras pueden adjudicarse las medallas de oro, plata, bronce? • 11. ¿De cuántas formas pueden cubrirse los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 14 candidatos?

31. ¿ Cuales son estos principios? Primeras propiedades de la probabilidad: Propiedad 1. P(Ac) = 1- P(A) Propiedad 2. P(Ø) = 0 Propiedad 3. si A ⊂ B, entonces P(A) ≤ P(B) Propiedad 4. P(A\B)=P(A) - P(A∩B) Propiedad 5. P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B)

32. “Toño es tímido, con poco interés en las personas o el mundo real. Necesita orden y estructura y tiene una pasión por los detalles.” Cuál es la probabilidad de que Toño sea un campesino, un aviador, un bibliotecario, un actor. Cuál es la similitud entre Toño y un campesino, un aviador, un bibliotecario, un actor.

33. Ejemplo mas representativo “Linda tiene 32 años, es soltera, es muy inteligente y no se queda callada. Estudio Filosofía y como estudiante participo en varios movimientos estudiantiles a favor de la justicia social.” Ordene las posibles actividades de Linda por su probabilidad. • 1. Linda es maestra de primaria • 2. Linda trabaja en una librería y toma clases de Yoga • 3. Linda es una activista del movimiento feminista • 4. Linda es una trabajadora social • 5. Linda es un miembro del grupo de mujeres por el voto • 6. Linda es una cajera • 7. Linda vende seguros • 8. Linda es una cajera y activista en el movimiento feminista.

34. Ejemplo mas representativo • 1. Linda es maestra de primaria (5) • 2. Linda trabaja en una librería y toma clases de Yoga (3) • 3. Linda es una activista del movimiento feminista (1) • 4. Linda es una trabajadora social (2) • 5. Linda es un miembro del grupo de mujeres por el voto (6) • 6. Linda es una cajera (7) • 7. Linda vende seguros (8) • 8. Linda es una cajera y activista en el movimiento feminista. (4)

35. Ejemplo de Linda… En paréntesis aparece el ordenamiento obtenido en uno de los experimentos. Entre el 80% y el 90% de los sujetos le asignan una mayor probabilidad al reactivo 8 (cajera) que al 6 (cajera y activista). El efecto de la conjunción viola la teoría de la probabilidad, dado que la probabilidad de una conjunción (intersección) no puede ser mayor que la probabilidad de uno de sus elementos. P(A y B) < P(A) ó P(B)

36. 1.-HEURÍSTICO DE REPRESENTATIVIDAD •KyT argumentan que la representatividad surge porque los escenarios específicos se perciben más probables que los generales, debido a que son más representativos de cómo nos lo imaginamos. Así tenemos la paradoja de que conforme incrementamos el detalle de un escenario, incrementamos su representatividad, pero simultáneamente reducimos su probabilidad.

37. Algunos errores o sesgos (consecuencias) que se cometen al utilizar el heurístico de la representatividad • Situación a. En un cuarto con una población compuesta de 30% de ingenieros y 70% de abogados nos presentan a Pedro, quien nos enseña su computadora de bolsillo. • Situación b. En un cuarto con una población compuesta de 70% de ingenieros y 30% de abogados nos presentan a Pedro, quien nos enseña su computadora de bolsillo. Para ambas situaciones cual es la probabilidad de que Pedro sea un ingeniero. En ambas situaciones los participantes asignan igual probabilidad, ie la razón de momios es aproximadamente 1. FALTA DE ATENCIÓN A LAS PROBABILIDADES A PRIORI DE LAS CONSECUENCIAS.

38. Este fenómeno ocurre cuando debes evaluar la probabilidad de que un sujeto pertenezca a una determinada categoría e ignoras las probabilidades previas que se presentan y basas tus juicios de probabilidad apoyándote únicamente en la información o descripción específica que se ofrece cuando ésta se considera representativa, sin tomar en cuenta la frecuencia real del acontecimiento.

39. TEOREMA DE BAYES Ejemplo: de Vega (1984) • Cual es la probabilidad de que llueva el mañana teniendo en cuenta que en esta época del año llueve mucho y que hoy no esta nublado el día • El primer parámetro es la probabilidad previa del evento o hipótesis [P(h)]; en nuestro ejemplo podríamos acudir a la estadística de los últimos 30 años para establecer la probabilidad de que llueva en esta época del año. Supongamos que el valor es de: P(H) = .70

40. …TEOREMA DE BAYES ..Ejemplo: de Vega (1984) • Téngase en cuenta que este parámetro no requiere necesariamente datos objetivos, sino que puede expresar perfectamente una impresión personal o subjetiva (yo creo que de cada 100 domingos de esta época del año, llueve 70). Junto a P(H) tenemos el parámetro complementario que indica una probabilidad previa de que no llueva, es decir: P(H) = .30 • La probabilidad condicional [P(D/H)] expresa el grado de asociación entre el evento crítico o hipótesis (H) y cierto dato observado actualmente (D) En nuestro caso, la probabilidad de que siempre que llueve esta nublado el día anterior. Supongamos que existe una alta relación entre ambos acontecimientos: P(D/H) = .88

41. …TEOREMA DE BAYES ..Ejemplo: de Vega (1984) • También hay que tener en cuenta la probabilidad condicional complementaria de D, es decir cuando no se cumple H; es decir con qué frecuencia esta nublado y no llueve al día siguiente: P(D/H) = .12 • Una vez más, la probabilidad condicional y su complementaria no requieren un computo o calculo objetivo, sino que pueden expresar asociaciones intuitivas fruto del aprendizaje o la experiencia (Edwards 1992). A partir de estos cálculos se puede establecer el calculo de la probabilidad posterior P(H); es decir, la probabilidad del evento crítico (H), después de haberse observado el evento adicional (D). Es decir, con que probabilidad lloverá mañana, si hoy esta nublado. Una de las ecuaciones bayesianas es la siguiente: P(D/H) * P(H) P(H/D) = ---------------------------------------------------------------------- P(D/H) * P(H) + P(D/H) * P(H)

42. …TEOREMA DE BAYES ..Ejemplo: de Vega (1984) • Sustituyendo nuestros valores hipotéticos: (.88) * (.70) = .616 P(H/D) =-------------------------------------------------------------------------- (.88) * (.70) + (.12) * (.30) = .652 = .9447 • La probabilidad de que llueva mañana es muy alta, pues esta formula le da un peso considerable a la probabilidad previa, que en el ejemplo es muy alta. • Este teorema (Bayes) tiene un valor probado como instrumento en el calculo de probabilidad de hipótesis o pronósticos. Por ello puede considerarse un modelo normativo y prescriptivo. Del mismo modo que la lógica formal lo es respecto al razonamiento deductivo. Pocos aceptan que la estadística bayesiana (o cualquier otra) sean descripciones adecuadas de los procesos predictivos del hombre común y corriente.

43. Definiendo la probabilidad de un suceso como su frecuencia relativa en un número suficientemente grande de ensayos, se considera que la probabilidad asignada será más cercana a la probabilidad real del suceso cuanto mayor sea el número de observaciones de que partimos.

44. Algunos errores o sesgos que se cometen al utilizar el heurístico de la representatividad • E. INSENSIBILIDAD AL FENÓMENO DE LA REGRESIÓN A LA MEDIA

45. Concepciones erróneas de la Regresión a la media La regresión a la media es un fenómeno estadístico en el cual las altas o bajas puntuaciones tienden a ir seguidas de puntuaciones más bajas en el primer caso y más altas en el segundo, es decir tienden a aproximarse al valor de la media.

46. El hecho de ser insensible a este fenómeno hace que nuestras predicciones no sean correctas. En la vida diaria encontramos muchos ejemplos: Padres muy altos no siempre tendrán hijos tan altos, y a la inversa, padres bajos no tendrán hijos tan bajos. A un puntaje alto en una prueba seguirá más probablemente uno más bajo y viceversa.

47. 10 9 Utilidad total Según Jeremy Bentham y los utilitaristas del siglo XIX, la utilidad que se obtiene al consumir, digamos, un pastel, puede medirse. 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Cantidad consumida Supongamos que un pastel produce una utilidad de valor 4, el consumo de dos pasteles produce una utilidad de valor 7 el consumo de tres pasteles produce una utilidad de valor 9 el consumo de cuatro pasteles produce una utilidad de valor 10

48. 10 9 Utilidad total Según Jeremy Bentham y los utilitaristas del siglo XIX, la utilidad que se obtiene al consumir, digamos, un pastel, puede medirse. 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 Cantidad consumida Llega un momento en el que el consumo de más unidades no provoca aumento en la utilidad. Incluso es posible que si siguiéramos consumiendo más unidades, llegaríamos al hastío, y nuestra utilidad total empezaría a disminuir

49. 10 La utilidad marginal es el aumento que se produce en la utilidad total cada vez que el consumo aumenta en una unidad 9 Utilidad total Según Jeremy Bentham y los utilitaristas del siglo XIX, la utilidad que se obtiene al consumir, digamos, un pastel, puede medirse. 8 7 6 5 4 3 2 El primer pastel aumentó la utilidad total en cuatro 1 1 2 3 4 5 6 Cantidad consumida 4 el segundo en tres 3 el tercero en dos 2 1 el cuarto en uno Utilidad marginal 0 -1 -2 1 2 3 4 5 6 Cantidad consumida

50. 10 La utilidad marginal es el aumento que se produce en la utilidad total cada vez que el consumo aumenta en una unidad 9 Utilidad total Según Jeremy Bentham y los utilitaristas del siglo XIX, la utilidad que se obtiene al consumir, digamos, un pastel, puede medirse. 8 7 6 5 4 3 2 1 La utilidad marginal es decreciente, 1 2 3 4 5 6 Cantidad consumida 4 3 pudiendo llegar a hacerse nula 2 1 Utilidad marginal 0 -1 o negativa -2 1 2 3 4 5 6 Cantidad consumida