一些機率與統計的概念

1. 一些機率與統計的概念 黃文璋 國立高雄大學應用數學系

2. 1. 前言 • 宇宙的運轉，穿插著必然性及隨機性。 • 銅板以自由落體方式落下。 ◇高度固定，落地所需時間為定值(必然性) 。 ◇那一面朝上？無法預知(隨機性)。 • 必然性：下次日蝕、月蝕、哈雷慧星來？ • 隨機性：颱風走向？

3. 數學裡多半是必然性的問題： ◇ 0.3＋0.2＝0.5， ◇三角形內角和必為180°， ◇ ，當 ，無非零整數解。 • 統計裡多半是隨機性的問題， ◇一成不變就非隨機， ◇連機率值都可能改變。

4. 在隨機世界裡，不能以數學中的必然性來思考問題。在隨機世界裡，不能以數學中的必然性來思考問題。 • 物理學裡用到不少數學，但學物理主要不是在學數學。 • 從機率與統計的課程裡，是要學到隨機性，而非只欣賞數學。

5. 在隨機世界裡，我們接觸到的是 數據(data)， • 在必然世界裡，我們接觸到的是 數字(number)。

6. 數據是有內涵包含資訊的數字。 • 2.29與1.16為兩個數字，並未顯示任何資訊。 • 台灣地區民國70年之出生率為 2.29%，民國90年之出生率為1.16%，此二數據除了含有一些資訊(如二十年來出生率下降等)外，我們可能會想到諸如 ◇如何求出？ ◇是否正確？ ◇學校會不會招不到學生？ 而不是單純地視為兩個數字。

7. 數字是數學上的問題， 數據是統計上的問題。 • 數字是一成不變， 數據就會有變異(variation)。

8. 什麼是data? ◇資料、數據，從調查、實驗或研究中獲 得資訊。 ◇ A general term for observations and measurements collected during any type of scientific investigation 。

9. 在Conan Doyle著 The Celebrated Cases of Sherlock Holmes (福爾摩斯) The Adventure of the Copper Beeches一章 中： Data! data! data! he cried impatiently. I can't make bricks without clay.

10. 做決策不能沒有data，算命者所倚賴的也是data: ◇要收集很多人的命運， 並按面相、八字 等分類。 • 算命是在做統計實務。 • 我們常說讓數據說話。但是否真能了解數據所說的話呢?

12. 你交了一新朋友。問他“有幾個小孩”，他說“有兩個”。問他“有女孩嗎?”他答“有”。你交了一新朋友。問他“有幾個小孩”，他說“有兩個”。問他“有女孩嗎?”他答“有”。 問：他亦有一男孩之機率為何? 解.兩個小孩的性別： 男男、男女、女男、女女。 已知有一女孩： 男女、女男、女女。 會有男孩： 男女，女男。 另一小孩為男孩之機率為2/3， 另一小孩為女孩之機率為1/3。

13. 很多人不相信此結果，以模擬來說明。 • 產生1,000,000組(i, j)，i , j=0,1。 1表女孩，0表男孩。 無女孩：250,820組， 有女孩：749,180組， 有二女孩：249,131組。

14. 回答“沒有” 兩個小孩皆為男孩。 • 若問“有男孩嗎?”回答“有” 另一個小孩為女孩之機率亦為2/3。 • 小孩是男是女的可能性皆為1/2： 事前機率。 • 獲得一些資訊(知道其中有一女孩)後，另一小孩是男或是女的機率改變了： 事後機率。 • 不少家庭都是兩個小孩。若知道其中一個是男孩，則猜另一個是女孩;若知其中一個為女孩，便猜另一個是男孩： 猜中的比率很容易超過一半。

15. 問：不論問有男孩或有女孩，只要答“有”， 另一小孩為異性之機率皆為2/3，合理嗎？ 問：如果問題改為「老大是女孩嗎？」 結果有何不同？ • 回到前述圖片，跪著那小孩是女孩之機率為何？ • 福爾摩斯根據一些蛛絲馬跡來推測，一張清晰的圖片，是會顯示一些資訊。

16. 機率的意義為何？ • 有二銅板： 銅板 A 出現正面之機率為0.3， 銅板 B 出現正面的機率為0.2。 問： ◇0.3是什麼意思？丟10次會得到3次正面？ 丟10,000次得到3,000次正面？ ◇0.3＞0.2，若二銅板各丟10次， 銅板A之正面數＞銅板B？ ◇兩銅板各丟一次， 得到一正面之機率為 0.3＋0.2＝0.5？

17. 好賭是人的天性 • 周伯通與歐陽鋒賭是否能真能把海上鯊魚全部殲滅。 • 黃眉僧與段延慶下圍棋，為搶先手，要段延慶猜他七十歲後，兩腳足趾是奇是偶。 • 越戰獵鹿人中，左輪手槍裡放一子彈，兩人輪流對自己頭部發射。 問：先發射者是否較不利？

18. 有位婦女很想生個女兒，她已連生7個兒子，朋友都鼓勵她再生， 因為那有運氣那麼壞的 ？賭個運氣吧！ • 事實上約有一半的人賭成功，約有一半的人賭失敗。這一半賭失敗者，其中有些人還會再賭一次，然後又有約一半的人賭成功。 • 這是為什麼有很高比例的人，相信連生7個兒子後，是較容易生出一個女兒。

19. 公正賭局 玩法.投擲一公正銅板，正面出現則賭徒贏， 否則莊家贏。 策略. 每次賭注加倍，直至贏一次便停止。 結果. 設第一次賭注為a元，且銅板在第n次投 擲才首度出現正面。則 前n-1次共輸 a+2a+…+2n-2a=(2n-1 -1)a(元)。 第n次賭注 2n-1a(元) 淨贏a元。

20. 玩法.投擲一公正銅板，直至出現一正面才停 止，若停止是在第r次，則得2r元。 期望所得. 問：1. 賭徒每次玩該付莊家多少錢，此才為 一公正賭局？ 2.若所得2r元改為1.95r元，有何改變？

21. 大部分的人連隨機性及機率的意義都不甚了解，因此才會沈迷於賭博，猜測明牌，或懷疑開獎之公正性。大部分的人連隨機性及機率的意義都不甚了解，因此才會沈迷於賭博，猜測明牌，或懷疑開獎之公正性。 • 賭應只是一種遊戲。去KTV唱歌、去看表演 ，都只是為了樂趣。從金錢上來看當然都是付出。

22. 賭戲對賭客並不公平，何以許多人一上了賭台就下不來？賭戲對賭客並不公平，何以許多人一上了賭台就下不來？ • 情況不利 那有運氣那麼壞，該轉運了，不能就此打住。 ◇再玩若仍輸 下次更該贏了。 ◇若幸運贏了 開始翻身了。 • 若情況有利 手氣正順，怎可停止？ • 除非是一直輸贏不太多(此機率並不大)，讓人覺得此賭戲沒趣，否則不少人不論手氣好壞，都缺乏當機立斷的決心。

23. 以投擲銅板為例 • 持續投擲一公正銅板10,000次，令

24. 以布朗運動的結果來估計： 其中 Z 有 分佈， 表一標準的布朗運動。

25. 仍以布朗運動的結果來估計： 當x=0.993，機率約為

26. 底下為五個模擬圖，橫軸為n, 縱軸為Sn，其中Si > 0表正面領先，Si < 0表反面領先。 構成一隨機漫步(random walk)。 注意

32. 新聞媒體多半只報導有人樂透彩中大獎，或在賭場大贏的新聞。新聞媒體多半只報導有人樂透彩中大獎，或在賭場大贏的新聞。 • 人有選擇性記憶的傾向。在賭之前向神明祈求，大部分的時候沒有效果。但若贏了，可能真覺得神明聽了自己的祈求。

33. 2. 你了解隨機嗎? • 民國92年1月1日起，環保署實施第二階段的塑膠袋限用政策，塑膠業者與民眾均感到困擾。 • 中國時報92年1月1日有一則投書： 昨天筆者支援採訪此則新聞， 經“隨機採樣” 受訪者，…。 而「平口，無提把」塑膠袋可用的細節幾乎都能“隨機”答出。 …。 於是筆者又鍥而不捨的“隨機”多問了許多間店家，…。

34. 隨機與隨便的意思一樣嗎? • 容不容易做到隨機採樣(或隨機抽樣)呢? • 隨機點名，會不會每次都點不同的人？

35. 再引一段文字。 • 我代替電視節目出征，站在路邊訪問經過的路人，隨機抽樣，盡量毫不偏私地呈現社會大眾的心聲。… (91年4月14日中國時報39版，作者黃明堅，題目為活到一百一十四歲如何？)

36. 在機率裡： 事先不能預知結果的試驗，便稱隨機試驗。 • 隨機抽樣裡，說將10個球隨機地放進10個箱子中，此處之隨機便含有獨立及均勻分佈的意思。 • 均勻的骰子，將撲克牌洗得很均勻。 • 在隨機現象裡，均勻大致表出現之機率相等，而非出現之頻率相等。

37. 例1. n個球隨機地放進n箱中，每箱各有一球的機率： ◇n=2，約1/2； ◇n=3，約2/9； ◇n=10，約0.00036288。 • 每箱各有一球，不是應最易發生嗎？

38. 取n=10。令a=每箱各有一球的機率。 恰有i空箱的機率: (i) 1空箱：45a。 (ii) 2空箱：375a。 第三大 (iii) 3空箱：980a。 最大 (iv) 4空箱：(7609/8)a。 次大 (v) 5空箱：(2835/8)a。 第四大 (vi) 6空箱：(6821/144)a。 (vii) 7空箱：(311/168)a。 (viii) 8空箱：(511/40320)a。 (xi) 9空箱：a/9!。

39. 在紅樓夢的第八回，賈寶玉去探望薛寶釵，正在閒聊。一語未了，忽聽外面的人說:『林姑娘來了。』話猶未完，黛玉已搖搖擺擺的進來，一見寶玉，便笑道:『哎喲! 我來的不巧了!』寶玉等忙起身讓坐。 寶釵笑道:『這是怎麼說?』 黛玉道:『早知他來，我就不來了。』 寶釵道:『這是什麼意思?』 黛玉道:『什麼意思呢? 來呢，一齊來，不來，一個也不來。今兒他來，明兒我來，間錯開了來，豈不天天有人來呢? 也不至太冷落，也不至太熱鬧。姐姐有什麼不解的呢?』

40. 從10n個有編號的球中，依序隨機取n球，每次取出後放回。會有重複的機率：從10n個有編號的球中，依序隨機取n球，每次取出後放回。會有重複的機率： ◇ n=20，約0.05； ◇ n=30，約0.098； ◇ n=300，約0.777； ◇ n→∞， 趨近至1。 隨機下的後果，往往是不均勻！

41. 在電影沈默的羔羊裡： Doesn't this random scattering site seem desperately random, like an elaboration of bad liar. 這些隨機散佈的地點，不是極度地隨機嗎? 就像差勁的騙子精心設計的謊言。 • 看起來隨機，反而會像精心設計的謊言! • 隨機點名，很難每次點不同的人。 • 做芝蔴餅，隨機灑，芝蔴散布不易均勻。 均勻分佈並非均勻散佈！

43. 有時我們會懷疑事件之隨機性，因看到過多的巧合。以樂透彩為例，從每期開出的6個頭獎號碼，要找到一些特殊的組合，並非太困難。有時我們會懷疑事件之隨機性，因看到過多的巧合。以樂透彩為例，從每期開出的6個頭獎號碼，要找到一些特殊的組合，並非太困難。

44. 例2. 在42取6的樂透彩裡，偶數共有21個。故6碼全為偶數之機率： 每期頭獎號碼全為偶數，全為奇數，全在1 至21，或全在22至42，機率約

45. 6碼全為3的倍數，全不為3的倍數，…，每期開出的6碼中，總能找到一些有趣的現象。6碼全為3的倍數，全不為3的倍數，…，每期開出的6碼中，總能找到一些有趣的現象。 • 當期數夠多後，更易從其間找到一些有趣的現象(如北銀樂透彩39號曾連續5期出現)。 • 除非經過統計檢定，否則不要輕易判定號碼並非隨機地出現。 • 有些我們以為不容易發生的事件，其發生的機率其實並沒有想像中的小。

46. 例3.在n取r的樂透彩中，頭獎號碼會有連號的機率：例3.在n取r的樂透彩中，頭獎號碼會有連號的機率： 在42取6，機率： 因此看到連號不用太驚訝。 問：簽注連號，中頭獎的機率是否較大?

47. 例4.對北銀發行的樂透彩，假設每期簽5注 ，連續50年，至少會中一次的機率為何? 解.50年間至少中一次頭獎之機率： 50年間共簽了 5‧5,200=26,000(注)， 佔全部注數 利息不計，共花了一百三十萬元。

48. 有志者事竟成。花50年的歲月，中頭獎之機率的確是不小。有志者事竟成。花50年的歲月，中頭獎之機率的確是不小。 • 在一個人的一生中，自己或認識的人裡，有中頭獎(或發生很特殊的事件)者，是不太稀奇的。

49. 夢幻七部車 • 民國90年12月，新開幕的京華城購物中心，推出一百名休旅車抽獎活動，每天抽10部，購物每滿2,000元可兌換一張抽獎券。 • 一對夫婦合計抽中7部車，他們共花三百多萬元，換來1,500餘張抽獎券。 • 活動期間，共投進十四、五萬張彩券。不知每天箱內有多少張彩券，不易求中7部車的機率。 利用波松近似估計此機率約萬分之一。

50. 從新聞的觀點，只要有一這類幸運發生皆會引起注意。從新聞的觀點，只要有一這類幸運發生皆會引起注意。 • 一件事若發生在每個人身上的機率為百萬分之一，則台灣兩千三百萬人，每天發生二十餘件是毫不稀奇的。