Slides GCET149 01a Alguns Conceitos Topologicos

1. Universidade Federal do Recôncavo da Bahia Cálculo Diferencial e Integral IV Integrais Múltiplas, Curvilíneas e de Superfícies Alguns Conceitos Topológicos Prof. Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

2. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

3. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função || · || : X → R+ 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

4. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função || · || : X → R+ é chamada de norma se, para quaisquer ⃗ x,⃗ y ∈ X e todo α ∈ K, tivermos: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

5. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função || · || : X → R+ é chamada de norma se, para quaisquer ⃗ x,⃗ y ∈ X e todo α ∈ K, tivermos: a. ||⃗ x|| = 0 ⇒⃗ x =⃗0. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma. b. ||α⃗ x|| = |α|||⃗ x|| c. ||⃗ x +⃗ y|| ≤ ||⃗ x|| + ||⃗ y|| (desigualdade triangular) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

6. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função || · || : X → R+ é chamada de norma se, para quaisquer ⃗ x,⃗ y ∈ X e todo α ∈ K, tivermos: a. ||⃗ x|| = 0 ⇒⃗ x =⃗0. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma. b. ||α⃗ x|| = |α|||⃗ x|| c. ||⃗ x +⃗ y|| ≤ ||⃗ x|| + ||⃗ y|| (desigualdade triangular) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

7. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função || · || : X → R+ é chamada de norma se, para quaisquer ⃗ x,⃗ y ∈ X e todo α ∈ K, tivermos: a. ||⃗ x|| = 0 ⇒⃗ x =⃗0. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma. b. ||α⃗ x|| = |α|||⃗ x|| c. ||⃗ x +⃗ y|| ≤ ||⃗ x|| + ||⃗ y|| (desigualdade triangular) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

8. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K dos números reais ou complexos, uma função || · || : X → R+ é chamada de norma se, para quaisquer ⃗ x,⃗ y ∈ X e todo α ∈ K, tivermos: a. ||⃗ x|| = 0 ⇒⃗ x =⃗0. Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma. b. ||α⃗ x|| = |α|||⃗ x|| c. ||⃗ x +⃗ y|| ≤ ||⃗ x|| + ||⃗ y|| (desigualdade triangular) 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

9. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Observação 1. Se o espaço vetorial X tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por (X,|| · ||). Toda norma induz, de forma natural, uma métrica d em X cujos valores são dados por: A norma que utilizaremos, quando não mencionada, é a euclidiana: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

10. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Observação 1. Se o espaço vetorial X tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por (X,|| · ||). Toda norma induz, de forma natural, uma métrica d em X cujos valores são dados por: A norma que utilizaremos, quando não mencionada, é a euclidiana: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

11. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Observação 1. Se o espaço vetorial X tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por (X,|| · ||). Toda norma induz, de forma natural, uma métrica d em X cujos valores são dados por: d(⃗ x,⃗ y) = ||⃗ x −⃗ y||. A norma que utilizaremos, quando não mencionada, é a euclidiana: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

12. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Observação 1. Se o espaço vetorial X tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por (X,|| · ||). Toda norma induz, de forma natural, uma métrica d em X cujos valores são dados por: d(⃗ x,⃗ y) = ||⃗ x −⃗ y||. A norma que utilizaremos, quando não mencionada, é a euclidiana: 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

13. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Observação 1. Se o espaço vetorial X tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por (X,|| · ||). Toda norma induz, de forma natural, uma métrica d em X cujos valores são dados por: d(⃗ x,⃗ y) = ||⃗ x −⃗ y||. A norma que utilizaremos, quando não mencionada, é a euclidiana: √ d(x,a) = ||x − a|| = (x1− a1)2+ ... + (xn− an)2. 2 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

14. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Considere um espaço vetorial normado. A bola aberta de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 ou vizinhança de a e raio r > 0, é o conjunto A bola fechada, de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 é o conjunto 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

15. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Considere um espaço vetorial normado. A bola aberta de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 ou vizinhança de a e raio r > 0, é o conjunto A bola fechada, de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 é o conjunto 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

16. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Considere um espaço vetorial normado. A bola aberta de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 ou vizinhança de a e raio r > 0, é o conjunto B = B(a,r) = {x ∈ Rn;||x − a|| < r}. A bola fechada, de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 é o conjunto 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

17. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Considere um espaço vetorial normado. A bola aberta de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 ou vizinhança de a e raio r > 0, é o conjunto B = B(a,r) = {x ∈ Rn;||x − a|| < r}. A bola fechada, de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 é o conjunto 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

18. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Definição 1.1. Considere um espaço vetorial normado. A bola aberta de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 ou vizinhança de a e raio r > 0, é o conjunto B = B(a,r) = {x ∈ Rn;||x − a|| < r}. A bola fechada, de centro em a = (a1,...,an) ∈ Rne de raio r > 0 é o conjunto ¯B(a,r) = {x ∈ Rn;||x − a|| ≤ r}. 3 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

19. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. A bola aberta de centro em a ∈ R2e de raio r > 0 é o conjunto B(a,r) de pontos que satisfazem a 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

20. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. A bola aberta de centro em a ∈ R2e de raio r > 0 é o conjunto B(a,r) de pontos que satisfazem a √ (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

21. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. A bola aberta de centro em a ∈ R2e de raio r > 0 é o conjunto B(a,r) de pontos que satisfazem a √ que é equivalente a (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

22. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. A bola aberta de centro em a ∈ R2e de raio r > 0 é o conjunto B(a,r) de pontos que satisfazem a √ que é equivalente a (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r2, (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

23. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. A bola aberta de centro em a ∈ R2e de raio r > 0 é o conjunto B(a,r) de pontos que satisfazem a √ que é equivalente a (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r2, ou seja, (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

24. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. A bola aberta de centro em a ∈ R2e de raio r > 0 é o conjunto B(a,r) de pontos que satisfazem a √ que é equivalente a (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r2, ou seja, B(a,r) = (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r (x1− a1)2+ (x2− a2)2< r { } √ (x1,x2) ∈ R2; . 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

25. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. Graficamente, B(a,r) é o interior de um círculo de raio r, centrado em a = (a1,a2) e é chamado de disco aberto de centro em a e raio r. 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

26. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. y (a1,a2) r Graficamente, B(a,r) é o interior de um círculo de raio r, centrado em a = (a1,a2) e é chamado de disco aberto de centro em a e raio r. a2 x a1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

27. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. x2 Assim, a bola aberta de centro em (1,2) e de raio 3, por exemplo, é o conjunto 2 x1 1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

28. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. x2 Assim, a bola aberta de centro em (1,2) e de raio 3, por exemplo, é o conjunto 2 {x ∈ R2;(x1− 1)2+ (x2− 2)2< 9}, x1 1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

29. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. x2 Assim, a bola aberta de centro em (1,2) e de raio 3, por exemplo, é o conjunto 2 {x ∈ R2;(x1− 1)2+ (x2− 2)2< 9}, x1 cuja representação gráfica é o disco da figura ao lado. 1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

30. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.1. x2 Assim, a bola aberta de centro em (1,2) e de raio 3, por exemplo, é o conjunto 2 {x ∈ R2;(x1− 1)2+ (x2− 2)2< 9}, x1 cuja representação gráfica é o disco da figura ao lado. 1 4 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

31. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.2. Analogamente, uma vizinhança de a = (a1,a2,a3) e raio r é o conjunto: 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

32. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.2. Analogamente, uma vizinhança de a = (a1,a2,a3) e raio r é o conjunto: B(a,r) = {(x1,x2,x3) ∈ R3;(x1− a1)2+ (x2− a2)2+ (x3− a3)2< r2}, 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

33. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.2. Analogamente, uma vizinhança de a = (a1,a2,a3) e raio r é o conjunto: B(a,r) = {(x1,x2,x3) ∈ R3;(x1− a1)2+ (x2− a2)2+ (x3− a3)2< r2}, o interior de uma esfera de raio r e centro em a. 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

34. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 1.2. Analogamente, uma vizinhança de a = (a1,a2,a3) e raio r é o conjunto: B(a,r) = {(x1,x2,x3) ∈ R3;(x1− a1)2+ (x2− a2)2+ (x3− a3)2< r2}, o interior de uma esfera de raio r e centro em a. z y x 5 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

35. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Vizinhança de um Ponto - Propriedades Se V é uma vizinhança de x e W contém V, então W é uma vizinhança de x; A intersecção de duas vizinhanças de x é uma vizinhança de x. A união de vizinhanças de x é uma vizinhança de x. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

36. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Vizinhança de um Ponto - Propriedades Se V é uma vizinhança de x e W contém V, então W é uma vizinhança de x; A intersecção de duas vizinhanças de x é uma vizinhança de x. A união de vizinhanças de x é uma vizinhança de x. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

37. Vizinhança de um ponto Norma de vetores Definições de bola aberta e bola fechada Exemplo - Bola aberta no plano Exemplo - Bola aberta no espaço Propriedades Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Vizinhança de um Ponto - Propriedades Se V é uma vizinhança de x e W contém V, então W é uma vizinhança de x; A intersecção de duas vizinhanças de x é uma vizinhança de x. A união de vizinhanças de x é uma vizinhança de x. 6 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

38. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Ponto interior e ponto exterior de um conjunto Definição 2.1. Dado um conjunto X ⊂ Rn, um ponto x ∈ X é denominado: ponto interior de X, se existe uma vizinhança aberta (n-bola aberta de centro em x) do ponto x, contida em X. ponto exterior de X, se é interior ao complementar de X, isto é, se existir uma vizinhança de x que não o intersecta. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

39. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Ponto interior e ponto exterior de um conjunto Definição 2.1. Dado um conjunto X ⊂ Rn, um ponto x ∈ X é denominado: ponto interior de X, se existe uma vizinhança aberta (n-bola aberta de centro em x) do ponto x, contida em X. ponto exterior de X, se é interior ao complementar de X, isto é, se existir uma vizinhança de x que não o intersecta. 7 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

40. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.1. O ponto (0,0) é um ponto interior do conjunto A = [−1,1)×[−1,1), mas não é ponto interior do conjunto B = [0,1) × [0,1). O ponto (0,0,0) é ponto interior do conjunto B = {(x,y,z) ∈ R3;x2+y2+z2= 1}, pois o próprio B é uma n-bola contida em B contendo o ponto (0,0,0). O ponto (1,1) não é ponto interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2}, pois nenhum disco aberto contendo o ponto (1,1) esta contido em r. Nenhum ponto do conjunto H = {1/n;n ∈ N} é interior, pois não existe um intervalo aberto contido em H. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

41. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.1. O ponto (0,0) é um ponto interior do conjunto A = [−1,1)×[−1,1), mas não é ponto interior do conjunto B = [0,1) × [0,1). O ponto (0,0,0) é ponto interior do conjunto B = {(x,y,z) ∈ R3;x2+y2+z2= 1}, pois o próprio B é uma n-bola contida em B contendo o ponto (0,0,0). O ponto (1,1) não é ponto interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2}, pois nenhum disco aberto contendo o ponto (1,1) esta contido em r. Nenhum ponto do conjunto H = {1/n;n ∈ N} é interior, pois não existe um intervalo aberto contido em H. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

42. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.1. O ponto (0,0) é um ponto interior do conjunto A = [−1,1)×[−1,1), mas não é ponto interior do conjunto B = [0,1) × [0,1). O ponto (0,0,0) é ponto interior do conjunto B = {(x,y,z) ∈ R3;x2+y2+z2= 1}, pois o próprio B é uma n-bola contida em B contendo o ponto (0,0,0). O ponto (1,1) não é ponto interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2}, pois nenhum disco aberto contendo o ponto (1,1) esta contido em r. Nenhum ponto do conjunto H = {1/n;n ∈ N} é interior, pois não existe um intervalo aberto contido em H. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

43. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.1. O ponto (0,0) é um ponto interior do conjunto A = [−1,1)×[−1,1), mas não é ponto interior do conjunto B = [0,1) × [0,1). O ponto (0,0,0) é ponto interior do conjunto B = {(x,y,z) ∈ R3;x2+y2+z2= 1}, pois o próprio B é uma n-bola contida em B contendo o ponto (0,0,0). O ponto (1,1) não é ponto interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2}, pois nenhum disco aberto contendo o ponto (1,1) esta contido em r. Nenhum ponto do conjunto H = {1/n;n ∈ N} é interior, pois não existe um intervalo aberto contido em H. 8 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

44. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Interior de um conjunto Definição 2.2. O interior de um conjunto X é a coleção de todos os pontos interiores de X e denotamos por int(X). O exterior de um conjunto X é a coleção de todos os pontos exteriores de X e denotamos por ext(X). 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

45. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Interior de um conjunto Definição 2.2. O interior de um conjunto X é a coleção de todos os pontos interiores de X e denotamos por int(X). O exterior de um conjunto X é a coleção de todos os pontos exteriores de X e denotamos por ext(X). 9 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

46. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.2. O conjunto (a,b) × (a,b) é o interior do conjunto [a,b] × [a,b). O interior de E = {(x,y,z) ∈ R3;x2+ y2+ z2< 4} é o próprio conjunto E. O interior de H = {1/n;n ∈ N} é o conjunto vazio. O interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2} é vazio. O interior de um disco fechado D1 em R2é o disco aberto D2 de mesmo raio e centro. O interior de uma n-bola aberta é ela própria. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

47. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.2. O conjunto (a,b) × (a,b) é o interior do conjunto [a,b] × [a,b). O interior de E = {(x,y,z) ∈ R3;x2+ y2+ z2< 4} é o próprio conjunto E. O interior de H = {1/n;n ∈ N} é o conjunto vazio. O interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2} é vazio. O interior de um disco fechado D1 em R2é o disco aberto D2 de mesmo raio e centro. O interior de uma n-bola aberta é ela própria. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

48. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.2. O conjunto (a,b) × (a,b) é o interior do conjunto [a,b] × [a,b). O interior de E = {(x,y,z) ∈ R3;x2+ y2+ z2< 4} é o próprio conjunto E. O interior de H = {1/n;n ∈ N} é o conjunto vazio. O interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2} é vazio. O interior de um disco fechado D1 em R2é o disco aberto D2 de mesmo raio e centro. O interior de uma n-bola aberta é ela própria. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

49. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.2. O conjunto (a,b) × (a,b) é o interior do conjunto [a,b] × [a,b). O interior de E = {(x,y,z) ∈ R3;x2+ y2+ z2< 4} é o próprio conjunto E. O interior de H = {1/n;n ∈ N} é o conjunto vazio. O interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2} é vazio. O interior de um disco fechado D1 em R2é o disco aberto D2 de mesmo raio e centro. O interior de uma n-bola aberta é ela própria. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022

50. Vizinhança de um ponto Ponto interior e exterior e Interior e Exterior de um conjunto Definição de ponto interior e ponto exterior Exemplo Definição de Interior de um conjunto Exemplo Conjunto aberto Ponto de Fronteira e Fronteira de um conjunto Conjunto Fechado Ponto de acumulação e ponto isolado Exemplo 2.2. O conjunto (a,b) × (a,b) é o interior do conjunto [a,b] × [a,b). O interior de E = {(x,y,z) ∈ R3;x2+ y2+ z2< 4} é o próprio conjunto E. O interior de H = {1/n;n ∈ N} é o conjunto vazio. O interior de r = {(x,y) ∈ R2;x = 2} é vazio. O interior de um disco fechado D1 em R2é o disco aberto D2 de mesmo raio e centro. O interior de uma n-bola aberta é ela própria. 10 CETEC Paulo Henrique Ribeiro do Nascimento 10 de agosto de 2022