Die Zahlen  und e :

1. Die Zahlen  und e: Entdeckung, Irrationalität und Transzendenz

2. Gliederung • Die ersten 100 Dezimalstellen • Bezeichnungen • Entdeckung der Zahlen • Irrationalität der Zahlen • Transzendenz (allgemein) • Transzendenz der beiden Zahlen • Quellen

3. Die ersten 100 Dezimalstellen • = 3,141592653589793238462643383279 502884197169399375105820974944 592307816406286208998628034825 3421170679 e = 2,718281828459045235360287471352 662497757247093699959574966967 627724076630353547594571382178 5251664274

4. Bezeichnungen • Die Symbole  und e wurden beide von dem schweizerischen Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) eingeführt. • e steht dabei nicht für Euler, denn dieser war sehr bescheiden. Man begründet seine Wahl damit, dass e der erste freie Buchstabe im Alphabet war (a, b, c, d stehen für die Seiten eines Vierecks). Andererseits könnte e aber auch für „exponentiell“ stehen.

5. Bezeichnungen • e wird auch Eulersche Zahl genannt. • Leonhard Euler gab der Exponentialfunktion ihren zentralen Platz in der Differential- und Integralrechnung. •  wird auch Ludolphsche Zahl genannt. • Ludolph van Ceulen (1540 – 1610) berechnete  auf 35 Stellen genau.

6. Die Entdeckung von  Das Ausgangsproblem: Die Quadrierung des Kreises Man versuchte ein Quadrat zu finden, dessen Flächeninhalt dem eines Kreises entspricht.

7. Entdeckung von  Chronologie von : • 1650 v.Chr.: Der Papyrus Rhind (ägyptischer Text, benannt nach dem schottischen Ägyptologen Henry A. Rhind, der diesen 1858 erworben hatte) sagt aus, dass ein Kreis dieselbe Fläche hat wie ein Quadrat mit einer Seitenlänge von des Kreisdurchmessers. Bezeichnet man den Durchmesser mit d, dann erhält man die Gleichung Kürzt man durch d2, dann ergibt sich  =  3,16049.

8. Entdeckung von  • 240 v. Chr.:Archimedes (Grieche) bewies, dass die Fläche eines Kreises r2 beträgt, wobei r der Radius ist. Er war der Erste, der einen Algorithmus angab, mit dem man den Wert von  mit jeder gewünschten Genauigkeit berechnen konnte. Seine Idee war, einen Kreis mit einer Reihe von regelmäßigen Vielecken mit immer mehr Seiten einzubeschreiben. Der Umfang eines jeden Vielecks ist etwas größer bzw. etwas kleiner als der des Kreises.

9. Entdeckung von  Entdeckung von  Den Näherungswert für  erhält man, indem man den Umfang des Vielecks durch den Durchmesser dividiert. Je mehr Seiten das Vieleck hat, desto genauer ist der Wert. Durch außenliegende Vielecke nähert man sich  von oben, durch innenliegende Vielecke von unten. Damit zeigte Archimedes, dass  zwischen (3,1408...) und (3,1428...) liegt.

10. Entdeckung von  • 480 n. Chr.: Tsu Ch‘ung-chih (China) gab (3,1428...) als einen ungenauen und (3,1415929...) als einen genauen Wert an. Es folgten viele weitere Nährungswerte. • 1464: Nicolaus de Cusa (Deutschland) gab folgende Formel zur Berechnung von  an:

11. Entdeckung von  • 1579: Francois Viète (Frankreich) beschränkte das Intervall auf 3,1415926535 bis 3,1215926537. Er war der Erste, der eine unendliche Reihe angab. Er bestimmte  auf neun Stellen genau. • 1596: Ludolph van Ceulen (Deutschland) berechnet  auf 20 Stellen genau. • 1610: Van Ceulen präzisierte sein Ergebnis auf 35 Dezimalstellen genau. Seitdem wird  in Deutschland Ludolphsche Zahl genannt.

12. Entdeckung von  • 1650: John Wallis (England) drückte  durch eine extrem schwierige und komplizierte Methode aus: • Wallis zeigte diesen Wert Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der ‚Royal Society‘, der die Gleichung wie folgt umstellte.

13. Entdeckung von  • 1668: James Gregory (Schottland) approximierte  durch die unendliche Reihe Mit x = 1 wird die Reihe zu Er bewies außerdem, dass die geometrische Quadrierung eines Kreises unmöglich ist. • Diese Reihe wurde unabhängig davon 1673 von Gottfried Willhelm von Leibnitz (Deutschland) ebenfalls entdeckt.

14. Entdeckung von  • 1699: Abraham Sharp (England): 72 Stellen Den Wert erlangte er, indem er x = in Gregorys Reihe einsetzte. Es ergibt was nützlicher ist als die Form mit x = 1, die berechnet. • 1706: John Machin (England): 100 Dezimalstellen Er findet den Ausdruck • 1742: Leonhard Euler (Schweiz) benutzt zum ersten Mal die Bezeichnung .

15. Entdeckung von  • 1761: Johann Heinrich Lambert (Deutschland) bewies, dass  irrational ist. Seitdem ist deren Geschichte mit der der Zahl e stark verflochten. • 1779: Leonhard Euler (Schweiz) fand die Gleichung • 1844: Zacharias Dase (Deutschland): 200 Stellen • 1847: Thomas Clausen (Deutschland): 248 Stellen • 1845: William Rutherford (England): 440 Stellen • 1853: William Shanks (England): 607 Stellen • 1873: William Shanks (England): 707 Stellen

16. Entdeckung von  • 1882: Ferdinand Lindemann (Deutschland) bewies die Transzendenz von  und ebenfalls dass die Quadrierung unmöglich ist.  Näheres dazu folgt später. • 1913: Srinivasa Ramanujan (Indien) stellte eine ungewöhnliche Approximation an: • 1949: U.S. Army: 2035 Dezimalstellen

17. Entdeckung von  • Es folgte ein Wettrennen um Dezimalstellen von . Bei e gab es keine derartigen „Verrücktheiten“. • Rekord 1989: 480 Mio. Stellen (Quelle: Breggen / Borwein / Borwein: „Pi: A Source Book“) Das ist sicher nicht der letzte Stand, da durch die zunehmende Leistung der Computer immer mehr Dezimalstellen leicht berechnet werden können.

18. Die Entdeckung von e • Man weiß insgesamt weniger über die Geschichte von e als über die von , obwohl  älter ist. • Die Zahl e wurde nicht von Euler entdeckt, wie es fälschlicherweise in vielen Büchern steht. • Sie wurde bereits in der 1618 von Edward Wright (1558 – 1615) veröffentlichten englischen Übersetzung der Arbeit von John Napier (1550 – 1617) über Logarithmen erwähnt. Die Entstehung der Logarithmen werden wir daher genauer betrachten.

19. Entdeckung von e • Der deutsche Mathematiker Michael Stifel (1487 – 1567) formulierte im Jahr 1544 folgende Beziehungen: qm · qn = qm + n und qm / qn = qm – n • Diese Erkenntnis ist der Schlüssel zu den Logarithmen. • Stifel ließ nur ganzzahlige Exponenten zu. Napiers Idee war dagegen einen stetigen Wertebereich für die Exponenten zuzulassen.

20. Entdeckung von e • Der Schotte Sir John Napier stellte Überlegungen an, wie die zahlreichen Berechnungen seiner Zeit (z.B. die Ortsbestimmung der Sterne in der Astronomie) vereinfacht werden konnten. • Jede positive Zahl will er als Potenz irgendeiner gegebenen festen Zahl schreiben können, dann würden Multiplikation und Division äquivalent zur Addition und Subtraktion ihrer Exponenten.

21. Entdeckung von e • Stellt man eine Tabelle mit allen Potenzen auf, so können die Ergebnisse einfach abgelesen werden. • Um Lücken zwischen den 2n zu schließen, können entweder gebrochene Exponenten oder als Basis hinreichend kleine Zahlen verwendet werden.

22. Entdeckung von e • Da Brüche bisher nur als Verhältnisse ganzer Zahlen bekannt waren, wählte Napier 0,9999999 = 1 – 10– 7 als Basis. • Seine Wahl wurde von den trigonometrischen Berechnungen seiner Zeit beeinflusst, sodass er den Radius des Einheitskreises in 10.000.000 oder 107 Teile zerlegte, die er als neue Einheit betrachtete. In diesem System ist 1 – 10– 7 die der 1 am nächsten liegende Zahl.

23. Entdeckung von e • Durch wiederholte Subtraktion ermittelte Napier alle aufeinanderfolgenden Glieder seiner Folge. Dazu benötigte er 20 Jahre (1594 – 1614). • Seine Ausgangstafel (1. Tafel) enthielt 101 Einträge: 107 = 10.000.000 107·(1 – 10– 7) = 9.999.999 107·(1 – 10– 7)2 = 9.999.998 ... 107·(1 – 10– 7)100 = 9.999.900

24. Entdeckung von e • 107·(1 – 10– 7)n mit n = 0,1,...,100. • Er nannte n Verhältniszahlen (= log arithmi) und 1 – 10– 7 als „Proportion“. • Zur Aufstellung seiner 2. Tafel begann er wieder bei 107 und wählte als Proportion das Verhältnis 9.999.900 : 10.000.000 = 0,99999 = 1 – 10– 5. 107·(1 – 10– 5)r mit r = 0,1,...,50 letzter Eintrag (r = 50):  9.995.001

25. Entdeckung von e • 3. Tafel: Verhältnis 9.995.001 : 10.000.000  0,9995 107·(1 – 0.9995)s mit s = 0,1,...,20) • Napier erstellte von jedem der Einträge der 3. Tafel weitere 68 Einträge mit dem Verhältnis 9.900.473 : 10.000.000, das sehr nach an 0,99 liegt. • N = 107·(1 – 10– 7)L, wobei L der (Napiersche) Logarithmus von N.

26. Entdeckung von e • Wenn man N = 107·(1 – 10– 7)Ldurch 107 dividiert, erhält man mit N* = N/107 und L* = L/107. Für n  geht gegen 1/e (Analysis I). • Trotzdem kann man nicht sagen, dass Napier die Basis 1/e oder sogar e entdeckt habe, da der Begriff der Basis sich erst später herausbildete. Dagegen findet man in der 2. Ausgabe der von Eduard Wright besorgten Übersetzung von Napiers im Anhang eine Aussage, die gleichbedeutend mit loge10 = 2,302585 ist.

27. Entdeckung von e Unabhängig von Napiers Arbeit erfand der Schweizer JobstBürgi (1552 – 1632) ebenfalls den Logarithmus (Erfindung 1580, Veröffentlichung erst 1620). Er verwendete 1 + 10– 4 statt 1 – 10– 7.

28. Entdeckung von e • Hätte Bürgi es genauer genommen und mit 1/1.000.000 statt mit 1/10.000 gearbeitet, so hätte er möglicherweise festgestellt, dass die neue Basis nur unwesentlich größer als die alte ist. Der Grund dafür ist, dass für n  gegen e konvergiert (Analysis I).

29. Entdeckung von e • Darüber hinaus gibt es eine Spekulation, wie man den Grenzwert e von für n  entdeckte. • Da Finanzangelegenheiten immer im Mittelpunkt des menschlichen Interesses standen, lässt sich die Idee leicht begründen. • Bei fast allen finanziellen Rechnung spielen die Zinsen eine wesentliche Rolle. • Der Zins ist der Preis für überlassenes Kapital.

30. Entdeckung von e • Zinseszinsen bedeutet, nicht nur das Kapital wird verzinst, sondern auch die Zinsen für das Kapital verzinsen sich. • Ein Kapital P wird zu einer jährlichen Verzinsung r angelegt. Nach t Jahren ergibt sich ein Saldo S • Einige Banken berechnen die Zinsen nicht nur einmal, sondern n-mal im Jahr. Die jeweilige Verzinsung entspricht dann . Es gilt

31. Entdeckung von e Spezialfall: r = 1 und P = 1 Ein Kapital von 1 € wird zu unrealistischen 100 % verzinst (r = 1). Man stellte fest, dass sich der Wert für S unabhängig von n irgendwo nahe der Zahl 2,71828 einpendelt.

32. Irrationalität von  Beweis von Kai Uhlenbrauk, Universität Dortmund, beruhend auf eine Arbeit von Ivan Niven (1947): Angenommen  ist eine rationale Zahl, lässt sich also darstellen in der Form , wobei p eine ganze (pZ) und q eine natürliche Zahl (qN)ist. a) Für nN sei eine Funktion definiert durch fn: R R mit

33. Irrationalität von  Auflösen des Zählers durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes liefert wobei alle ai ganzzahlige Koeffizienten sind. Dies sieht man leicht ein, da die Koeffizienten durch Addieren, Subtrahieren und Potenzieren von p und q, die ganzzahlig sind, bzw. Multiplizieren mit Binomialkoeffizienten entstehen und die ganzen Zahlen abgeschlossen bzgl. dieser Operationen sind.

34. Irrationalität von  Aus dieser Darstellung geht hervor, dass für k < n oder k > 2n. Des Weiteren gilt

35. Irrationalität von  Dies bedeutet wobei alle Zahlen auf der rechten Seite ganze Zahlen sind. Insgesamt gilt also für k = 0, 1, 2,... ist ganzzahlig.

36. Irrationalität von  Zusätzlich gilt Damit ergibt sich für die Ableitungen von fn mit Hilfe der Kettenregel woraus folgt. Also ist auch ganzzahlig für alle k.

37. Irrationalität von  Es werden weitere Hilfsfunktionen definiert, die Funktion Fn: R R, mit und die Funktion Gn: R R, mit Da die Funktion fn und alle ihre Ableitungen an den Stellen 0 und  nur ganzzahlige Werte annimmt, gilt dies auch für Fn. Durch Differenzieren der Funktion Gn sieht man leicht, dass sie eine Stammfunktion von gn(x) = fn(x)·sin x ist.

38. Irrationalität von  b) Wir betrachten nun das Integral Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt Der Wert dieses Integrals ist also für jede Wahl von n eine ganze Zahl.

39. Irrationalität von  Für alle x]0,[ gilt nun aber Dies bedeutet Da , gilt für hinreichend großes n womit der Wert dieses Integrals sicherlich keine ganze Zahl ist, was ein Widerspruch zu ist. 

40. Irrationalität von e Die Irrationalität von e und e² bewies Euler 1737. Wir zeigen nun, dass e irrational ist. Die Beweisführung ist indirekt: Wir nehmen an, dass e rational ist und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Es sei mit ganzen Zahlen p und q. Wegen 2 < e < 3 kann e keine ganze Zahl sein; der Nenner von q ist also wenigstens 2.

41. Irrationalität von e Nun multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit q! = 1 2  3  ...  q. Die linke Seite hat dann die Form und auf der rechten Seite ergibt sich (man beachte, dass die 1 innerhalb der eckigen Klammern auf in der Reihe für e zurückzuführen ist).

42. Irrationalität von e Als Produkt ganzer Zahlen ist die linke Seite offenbar eine ganze Zahl. Auf der rechten Seite ist der Ausdruck innerhalb der eckigen Klammern ebenfalls eine ganze Zahl. Die verbleibenden Terme sind jedoch keine ganzen Zahlen, da jeder der dort auftretenden Nenner wenigstens 3 ist. Wir zeigen nun, dass auch die Summe dieser Terme keine ganze Zahl ist. Wegen q 2 hat man wobei wir die Formel für die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe verwendeten.

43. Irrationalität von e Auf der linken Seite der Gleichung steht also eine ganze Zahl, während auf der rechten Seite keine ganze Zahl steht. Aus diesem Widerspruch schließen wir, dass e nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen geschrieben werden kann, das heißt, e ist irrational. 

44. Transzendenz Die irrationalen Zahlen lassen sich noch unterteilen in algebraisch irrationale und transzendente Zahlen. Algebraisch irrationale Zahlen sind solche, die sich als Lösung einer Gleichung mit rationalen Koeffizienten ergeben, z.B. als Lösung der Gleichung . Bei transzendenten Zahlen ist dies nicht der Fall.(lat. transcendere = überschreiten)

45. Transzendenz von  und e Der französische Mathematiker Charles Hermite (1822 – 1901) konnte im Jahr 1873 beweisen: Die Eulersche Zahl e ist transzendent. Darauf aufbauend, unter zusätzlicher Benutzung der Integration im Komplexen, bewies der Deutsche Ferdinand Lindemann (1852 – 1939) im Jahr 1882: Die Kreiszahl  ist transzendent. Danach haben weitere Mathematiker nach anderen und einfacheren Beweisen gesucht.

46. Transzendenz von  und e Einer der einfachsten Beweise lässt sich mit Hilfe des folgenden Satzes führen, aus dem die Transzendenz von  und e quasi direkt folgt. Satz von Lindemann-Weierstrass Für alle algebraischen, paarweise verschiedenen 1, 2,..., nund für alle algebraischen 1, 2,..., n mit k  0 gilt:  Der Beweis dieses Satzes würde den Rahmen dieses Vortrags sprengen.

47. Transzendenz von  Annahme:  ist algebraisch. Wegen i2 = – 1 und der Tatsache, dass die algebraischen Zahlen einen Körper bilden, sind auch i· und 2·i· algebraische Zahlen. Setze dann n = 2, 1 = i· , 2 = 2·i· , 1= 1 und 2= 1. Dann ist 1· ei· + 1· e2·i· = – 1+1= 0 im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstrass. 

48. Transzendenz von  • Mit dem Beweis der Transzendenz von  wurde gezeigt, dass die Quadratur des Kreises, oder in heutiger Sprache, die Konstruktion zweier Strecken mit dem Längenverhältnis  nur mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist. Sie ist nur möglich, wenn das Längenverhältnis algebraisch ist. • Obgleich also seit 120 Jahren feststeht, dass  dieses Kriterium nicht erfüllt, beschäftigen sich nach wie vor viele Hobbymathematiker mit der Aufgabe, mit den genannten Hilfsmitteln einen Kreis in ein flächengleiches Quadrat zu überführen.

49. Transzendenz von e Annahme: e ist algebraisch. Setze n = 2, 1 = 0 , 2 = 1 , 1= e und 2= – 1. Dann ist e · e0 – 1 · e1 = e – e = 0, im Widerspruch zum Satz von Lindemann-Weierstrass. 

50. Quellen • Eli Maor: „Die Zahl e – Geschichte und Geschichten“, 1996 • Lennart Berggen / Jonathan Borwein / Peter Borwein: „Pi: A Source Book“, 2004 • Manusskript zum Proseminarsvortrag „Irrationalität von  und e und Transzendente Zahlen“ gehalten von Kai Uhlenbrauk, Universität Dortmund, Sommersemester 2006 • matheplanet.com • Diplomarbeit „Die Zahl e“ von Stefan Schönhacker, Universität Wien, Mai 2000 • Duden: „Abitur Mathematik – Basiswissen Schule“, 2003