Interval

1. ≤  [  ● <  ‹  ○ Interval opgave 5 ● ○ a -8 ≤ x < 3 [ -8 , 3 › b 4 < x≤ 4½ ‹ 4 , 4½ ] c 5,1 ≤ x≤ 7,3 [ 5,1 ; 7,3 ] d 3 < x≤ π ‹ 3 , π ] l l -8 3 ○ ● l l 4 4½ ● ● l l 5,1 7,3 ○ ● l l 3 π 4.1

2. Intervallen met oneindig ● ax≤ 4½ l ‹  , 4½ ] 4½ ○ bx > -8 l ‹ -8 , › -8 4.1

3. Stijgen en dalen constante stijging toenemende stijging afnemende stijging constante daling toenemende daling afnemende daling 4.1

4. opgave 7 toenemend stijgend op < -4 , -2 > toenemend dalend op < 1 , 3 > afnemend dalend op < -6 , -4 > 5 -6 -4 -2 toenemend stijgend op < 5 ,  > 1 3 afnemend dalend op < 3 , 5 > afnemend stijgend op < -2 , 1 >

5. opgave 9 C a voer in y1 = x³ - 16x² + 64x neem bijvoorbeeld Xmin = 0 , Xmax = 8 , Ymin = -10 , Ymax = 100 b optie maximum x ≈ 2,67 dus na 2 minuten en 40 seconden c voer in y2 = 20 optie intersect x ≈ 0,3 en x ≈ 6,2 dus in het tijdsinterval < 0,3 ; 6,2 > d Ongeveer bij t = 5 gaat de grafiek over van toenemend dalend naar afnemend dalend. Dus na 5 uur neemt de daling af. 0,67 × 60 = 40 seconden 20 0 t 0,3 2,67 6,2 5

6. Toenamendiagram De toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram 1. kies een stapgrootte 2. bereken voor elke stap de toename of afname 3. teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname 4. teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3  4 teken je het staafje bij 4 ) 4.2

7. opgave 11a . ∆x = 1 [-1,0] [0,1] [1,2] [2,3] [3,4] 4 2 0,5 -0,5 2 ∆y . . y 4 . 3 . 2 1 x Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval. -1 0 1 2 3 4 -1 4.2

8. . . . opgave 15a y . . Er zijn meerdere grafieken mogelijk. . . . x 0

9. opgave 19 +3 a Op [0,24] is ∆T = -2 -2,5 +1 +3 +2,5 -0,5 -1,5 -2 = -2 Mieke heeft gelijk. b Op [12,21] is ∆T = 2,5 -0,5 -1,5 = 0,5 dus om 21.00 uur is T = 20 + 0,5 T = 20,5°C. Op [0,12] is ∆T = -2 -2,5 +1 +3 = -0,5°C. dus om 0.00 uur is T = 20 + 0,5 T = 20,5°C. +2,5 +1 om 12 uur is het 20°C. -0,5 -1,5 -2 -2 -2,5 van 0.00-12.00 uur is het 0,5°C. gedaald

10. . . opgave 19c T . . 23 . om 0.00 uur is het 20,5°C. -0,5 22 +2,5 -1,5 . . 21 20 . -2 -2 19 . +3 18 -2,5 17 +1 16 t 3 6 9 12 15 18 21 24 0

11. . . opgave 21 ∆y 3 m.b.v. GR kun je voor elke stapgrootte een tabel met x, y en ∆y opstellen om een toenamendiagram te tekenen. 2 . y = -x² + 2x + 4 1 x y ∆y -1 1 x 0 1 2 3 4 5 . 0 4 3 -1 1 5 1 -2 2 4 -1 . 3 1 -3 -3 4 -4 -5 -4 5 -11 -7 -5 -7

12. Gemiddelde verandering per tijdseenheid De gemiddelde verandering van N per tijdseenheid is ∆N : ∆t Bij een tijd-afstand grafiek is ∆s : ∆t de gemiddelde snelheid. 4.3

13. opgave 25 a ∆N op het interval [10,14] ∆N = 2356 – 1993 = 363 ∆t = 14 – 10 = 4 ∆N : ∆t = 363 : 4 = 90,75 b gemiddelde toename op [2,8] ∆N = 1646 – 462 = 1184 ∆t = 8 – 2 = 6 ∆N : ∆t = 1184 : 6 ≈ 197 c Op het interval [2,8] is de grafiek steiler dan op het interval [10,14]. d Op het interval [4,8] het grootst daar is de grafiek het steilst. Op het interval [10,20] het kleinst daar is de grafiek het minst steil. t N 0 250 2 462 2 462 4 791 197 6 1214 8 1646 8 1646 10 1993 10 1993 90,75 12 2223 14 2356 14 2356 16 2427 18 2464 20 2482

14. herhaling Hoofdstuk 1 rechts ∆x y omhoog ∆y · B yB yB – yA= ∆y dus r.c. = ∆y : ∆x ∆y · A yA ∆x 0 xA xB x xB – xA= ∆x 4.3

15. . Het differentiequotiënt van y op het interval [xA,xB] is y . B f(b) yB ∆y ∆y A f(a) yA ∆x x xA a ∆x b xB differentiequotiënt = ∆y : ∆x = gemiddelde verandering van y op [xA,xB] = r.c. = hellingsgetal van de lijn AB ∆y yB – yA f(b) – f(a) ∆x xB – xA b - a = = 4.3

16. opgave 28 ∆K K(b) – K(a)∆P P(b) – P(a) = a Gemiddelde snelheid op [-6,-4] is ∆K = 4 – 12 = -8 ∆P = -4 - -6 = 2 ∆K : ∆P = -8 : 2 = -4 Gemiddelde snelheid op [-2,2] is ∆K = 6 – 6 = 0 ∆P = 2 - -2 = 4 ∆K : ∆P = 0 : 4 = 0 b Differentiequotiënt op [-5,0] is ∆K = 0 – 4 = -4 ∆P = 0 - -5 = 5 ∆K : ∆P = -4/5 differentiequotiënt op [-5,2] is ∆K = 6 – 4 = 2 ∆P = 2 - -5 = 7 ∆K : ∆P = 2/7 12 6 6 6 4 4 0 -6 -5 -5 -4 -2 0 2 2

17. opgave 33 y a Voer in y1 = x³ - 3x + 5 b Gemiddelde toename op [1,3] ∆y = f(3) – f(1) ∆y = 23 – 3 = 20 ∆x = 3 – 1 = 2 ∆y : ∆x = 20 : 2 = 10 c Differentieqoutiënt op [-2,4] ∆y = f(4) – f(-2) ∆y = 57 – 3 = 54 ∆x = 4 - -2 = 6 ∆y : ∆x = 54 : 6 = 9 d Hellingsgetal op [-3,1] ∆y = f(1) – f(-3) ∆y = 3 - -13 = 16 ∆x = 1 - -3 = 4 ∆y : ∆x = 16 : 4 = 4 f x 0

18. Snelheid bij een tijd-afstand grafiek Bij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is, benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotiënt te berekenen op een klein interval. [a , a + ∆t] met bijvoorbeeld ∆t = 0,001 4.3

19. opgave 35 s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 3 op [3 ; 3,01] ∆s 0,4 · 3,01² - 0,4 · 3² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s = 2,404 = s = 0,4t² s is de afgelegde weg in meters na t seconden t = 5 op [5 ; 5,01] ∆s 0,4 · 5,01² - 0,4 · 5² ∆t 0,01 de benadering van de snelheid op t = 5 is 4,00 m/s = 4,004 =

20. . opgave 38 . Hoe dichter Bn bij A komt te liggen ,hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt. . . . tijd-afstand grafiek s = -t² + 10t a De gemiddelde snelheid op [2,5] ∆s 25 – 16 ∆t 5 – 2 ∆s 24 – 16 ∆t 4 – 2 ∆s 21 – 16 ∆t 3 – 2 ∆s 18,75 – 16 ∆t 2,5 – 2 b De lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt. s 25 B2 B1 B3 = = 3 m/s 20 B4 = = 4 m/s A 15 = 5 m/s = Bij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt. 10 k = 5,5 m/s = De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A. 5 t 0 1 2 3 4 5 4.4

21. dy/dx voor x is xA y Voor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie : k [ ] de GR bezit een optie om dydx te berekenen dy dx A x = xA • rc. van de raaklijn van de grafiek in A • helling van de grafiek in A • snelheid waarmee y verandert voor x = xA x O xA 4.4

22. opgave 41 190 at = 6 De raaklijn valt samen met de grafiek op het interval [2,10]. De raaklijn gaat door de punten (2, 80) en (10, 120). groeisnelheid is ∆l 120 – 80 ∆t 10 – 2 b De raaklijn gaat door de punten (12, 140) en (16, 190). groeisnelheid is ∆l 190 – 140 ∆t 16 - 12 140 120 = 5 cm/jaar = 80 = 12,5 cm/jaar =

23. . opgave 41 c Gemiddelde groeisnelheid van 0-18 jaar = (180-50) : 18 ≈ 7,2 cm/jaar d Teken de lijn door de punten (0, 50) en (18, 180). Deze lijn hoort bij de gemiddelde groeisnelheid van 0 tot 18 jaar. Verschuif deze lijn evenwijdig je vindt 3 raaklijnen die evenwijdig met k zijn : t ≈ 1,5 t ≈ 15 t ≈ 11 Dus bij de leeftijden van 1,5 , 11 en 15 jaar is de groeisnelheid van Lotte gelijk aan 12,5 cm/jaar. . 1,5 11 15

24. opgave 43 Voer in y1 = x² + x – 2 stel k : y = ax + b met a = = -1 dus k : y = -x + b f(-1) = -2 dus A(-1, -2) -2 = - -1 + b -2 = 1 + b -3 = b k : y = -x - 3 [ ] dy dx x = -1

25. . opgave 47 200x² + 1200x + 450 4x² + 9 a Voer in y1 = optie maximum top (1,5; 150) De inspanning duurde 1,5 minuut en de max.hartslagfrequentie is 150 slagen per minuut. b Voer in y2 = 120 optie intersect x ≈ 3,67 Het duurt 3,67 – 1,5 = 2,17 minuten ≈ 130 seconden ≈ -13,6 De hartslag neemt af met 14 slagen per minuut . F (1,5; 150) 150 120 0,17 x 60 ≈ 10 seconden t [ ] 3,67 O 1,5 dF dt x = 3,67