Rovnice s absolutní hodnotou

1. Název projektu: Moderní škola Rovnice s absolutní hodnotou Martin Krajíc 2.4.2013 matematika 1. ročník rovnice a nerovnice Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizace Nad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

2. Rovnice s absolutní hodnotou – definice absolutní hodnoty Absolutní hodnota reálného čísla x je definována takto: |x| = x, pokud x ≥ 0 -x, pokud x ˂ 0 Příklady: |5| = 5, neboť 5 ≥ 0 |0| = 0, neboť 0 ≥ 0 |-5| = - (-5) = 5, neboť -5 ≤ 0 Poznámka: Absolutní hodnota reálného čísla je vždy nezáporné číslo.

3. Rovnice s absolutní hodnotou – příklady Př: Uprav výrazy s absolutní hodnotou: 1) |5 - 3| - |-3 - 5| + |0| = = |2| - |-8| + |0| = 2 – 8 + 0 = -6 2) |√3 - √2| + |-√3 - √2| = = (√3 - √2) + (√3 + √2) = √3 - √2 + √3 + √2 = 2√3 Výsledkem absolutní hodnoty je kladné číslo, proto při odstranění absolutní hodnoty neměníme znaménka u jednotlivých výrazů. Výsledkem absolutní hodnoty je záporné číslo, proto při odstranění absolutní hodnoty měníme znaménka u jednotlivých výrazů na opačná.

4. Rovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů • Nalezneme nulové body: jednotlivé výrazy v absolutní hodnotě položíme rovny nule. • Vyznačíme nulové body na číselnou osu a rozdělíme si ji na dílčí intervaly. • Vytvoříme tabulku, ve které v prvním řádku jsou intervaly, v prvním sloupci jednotlivé výrazy s absolutní hodnotou. • Doplníme tabulku: vezmeme libovolné číslo z prvního intervalu a dosadíme ho za x do jednotlivých výrazů. Pokud vyjde kladné číslo, zapíšeme výrazy bez změny znaménka. Pokud vyjde záporné číslo, změníme znaménka u jednotlivých výrazů na opačná. • Počítáme rovnice zvlášť v každém z intervalů. • Zkontrolujeme, zda výsledek patří do daného intervalu.

5. Rovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů Př: Řešte rovnici v R: |x - 100| + 2.|3x + 15| = x + |x + 8| + 472 nulové body: x – 100 = 0 3x + 15 = 0 x + 8 = 0 x = 100 x = -5 x = -8 číselná osa: (-∞, -8˃ (-8, -5˃ (-5, 100˃ (100, ∞) -8 -5 100 Nulový bod by měl vždy do jednoho z intervalů patřit.

6. Rovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů tabulka: řešení: |x - 100| + 2.|3x + 15| = x + |x + 8| + 472 a) (-∞, -8˃ (-x + 100) + 2.(-3x – 15) = x + (-x – 8) + 472 -x + 100 – 6x – 30 = x - x - 8 + 472 -7x = 402 x = - Nepoužívejte hraniční čísla z intervalů pro dosazení. Toto číslo patří do intervalu (-∞, -8˃, proto je řešením rovnice.

7. Rovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů b) (-8, -5˃ (-x + 100) + 2.(-3x – 15) = x + (x + 8) + 472 -x + 100 – 6x – 30 = x + x + 8 + 472 -9x = 410 x = - c) (-5, 100˃ (-x + 100) + 2.(3x + 15) = x + (x + 8) + 472 -x + 100 + 6x + 30 = x + x + 8 + 472 3x = 350 x = Toto číslo nepatří do intervalu (-8, -5˃, proto není řešením rovnice. Toto číslo nepatří do intervalu (-5, 100˃, proto není řešením rovnice.

8. Rovnice s absolutní hodnotou – řešení pomocí nulových bodů d) (100, ∞) (x - 100) + 2.(3x + 15) = x + (x + 8) + 472 x - 100 + 6x + 30 = x + x + 8 + 472 5x = 550 x = 110 výsledek: řešením jsou dvě čísla, zapíšeme: K = {- , 110} zkouška: provedli bychom ji dosazením obou čísel za neznámou x do zadání rovnice. Toto číslo patří do intervalu (100, ∞), proto je řešením rovnice.

9. Rovnice s absolutní hodnotou – příklady Př: Řešte rovnice a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení): 1) |x - 6| - |x + 5| + x = 0 a) B = {-11, 1, 11}, b) N = {1, 11}, c) S = {-11, 1} 2) |x + 1| + 3.|x - 1| = 2.|x| + x a) Á = {-2, 0, 1, 12}, b) Í = { , 2}, c) U = {-1, 1} 3) 3x - |2x - 1| = x + 1 a) D = ˂0,5, ∞), b) L = (0,5, ∞), c) S = (-∞, 0,5) 4) |x - 8| - |x + 3| = 15 a) U = R, b) A = Ø, c) Z = {0} Gabriel Laub: „….. vzdoruje matematice. Nezmenšuje se, když se rozdělí na větší počet lidí“.

10. Rovnice s absolutní hodnotou – řešení Gabriel Laub: „…………… vzdoruje matematice. Nezmenšuje se, když se rozdělí na větší počet lidí“. BÍDA

11. Rovnice s absolutní hodnotou – použité zdroje Použité zdroje: MOTTAK. Svatební oznámení: Citáty. [online]. [cit. 2013-04-04]. Dostupné z: http://www.mottak.cz/citaty/matematika.php