第七节 方向导数与梯度

1. 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度

2. 一、问题的提出 一块长方形的金属板，受热 产生如图温度分布场. 设一个小虫在板中逃生至某 处， 问该虫应沿什么方向爬行， 才能最快到达凉快的地点？ 问题的实质： 应沿由热变冷变化最剧烈的 方向爬行．

3. 需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率， 方向导数问题 从而确定出温度下降的最快方向 梯度问题 引入两个概念：方向导数和梯度

4. 讨论函数 在一点P沿某一方向的 变化率问题． 二、方向导数

5. 当 沿着 趋于 时， 是否存在？

6. 记为

7. 在点 若偏导 存在,则 沿着 轴正向 的方向导数分别为 同理,沿y轴正向 的方向导数为

8. 原因： 方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限.

9. 定理 如果函数 在点 可微分， 其中 为 轴到方向l的转角． 方向导数的存在及计算公式 那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在， 且有 计算公式 证明 由于函数可微，则增量可表示为

10. 两边同除以 得到 故有方向导数

11. 解 方向l 即为 故x轴到方向l 的转角

12. 在点(1,1)沿与 x轴方向夹角为 的方向射线 例2 求函数 的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有 （1）最大值; （2）最小值； （3）等于零？ 解 由方向导数的计算公式知

13. 故

14. 推广:三元函数方向导数的定义 对于三元函数 它在空间一点 沿着方向l的方向导数 ， 可定义为

15. 方向导数的计算公式

16. 是曲面 例3 设 在点 在此处沿方向 的方向导数. 处的指向外侧的法向量, 求函数 解 令 故 方向余弦为

17. 故

18. 三、梯度

19. 是方向 设 上的单位向量，

20. 当 不为零时， 结论 函数在某点的梯度是这样一个向量， 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值． 梯度的模为 x轴到梯度的转角的正切为　

21. 在几何上 表示一个曲面 曲面被平面 所截,得曲线 等值线 它在xoy面上投影方程： 称为等值线. 几何上，称为等高线. 等高线

22. 例如,

23. 等值线 上任一点处的一个法向量为 表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同， 它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等 值线， 梯度的模就等于函数在这个法线方向的 方向导数.

24. 问题： 上山时，如何选择最快的方向？ 计算方法课程中的一种计算策略： “瞎子下山法”

25. 梯度的概念可以推广到三元函数 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.

26. 例4 求函数 在点 处的梯度，并问在何处梯度为零？ 由梯度计算公式得 解 故 则在 处梯度为

27. 小结 一、方向导数 （注意方向导数与一般所说偏导数的区别） 1.定义 2.计算公式

28. 二、梯度 （注意梯度是一个向量） 定义 方向：x轴到梯度的转角的正切　 模：

29. 三、方向导数与梯度的关系 梯度： 方向与取得最大方向导数的方向一致, 模为方向导数的最大值. 其中

30. 思考题 问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？ 答：梯度方向 答：

31. 作 业 P.51 习题8-7 1; 4; 7; 8; 10.

32. 练 习 题

34. 练习题答案