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1.3.3 导数的实际应用

1.3.3 导数的实际应用. 中国人民大学附属中学. 在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。. 解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．.

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1.3.3 导数的实际应用

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  1. 1.3.3 导数的实际应用 中国人民大学附属中学

  2. 在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。

  3. 解决优化问题的方法： 首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

  4. 利用导数解决优化问题的基本思路： 用函数表示的数学问题 优化问题 解决数学模型 作答 优化问题的答案 用导数解决数学问题

  5. 例1. 在边长为a的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？ 解：设小正方形边长为xcm，则箱子容积

  6. 所以 令 解得x1= a，x2= a（舍去）， 在区间(0， a)内，且当0<x< a时，V’(x)>0，当a<x<a时，V’(x)<0，

  7. 因此x= a是极大值点， 因此当截下的正方形边长是 a时，容积最大。 由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近a）时，箱子容积很小，

  8. 例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？例2．横截面为矩形的横梁的强度同它的断面高的平方与宽的积成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应是多少？ 解：如图，设断面的宽为x，高为h，则h2=d2－x2， 横梁的强度函数f(x)=kxh2(k为强度系数, k>0)， 所以f(x)=kx(d2－x2)，0<x<d，

  9. 在开区间(0，d)内， 令f ’(x)=k(d2－3x2)=0， 其中负根没有意义，舍去. 解得x=± d， 当0<x< d时，f ’(x)>0，当 d<x<d时，f ’(x)<0， 因此在区间(0，d)内只有一个极大值点x= d，所以f(x)在x= d取得最大值，

  10. 这就是横梁强度的最大值， 这时 即当宽为 d，高为 时，横梁的强度最大。

  11. 例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车例3．如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km，在岸边距点B300km的点A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车时速为50km，船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车 送到点C，再用轮船从点C 运到海岛，问点C选在何处 可使运输时间最短？

  12. 解:设点C与点B的距离是xkm，则运输时间 (0≤x≤300) 因为 所以 令T’(x)=0，则有

  13. 即25x2=9(1502+x2)， 解此方程，得 x=± 舍去负值，取x0=112.5 . 因为T(0)=11，T(300)=11.2， T(112.5)= 则10是三数中最小者， 所以选点C在与点B距离为112.5km处,运输时间最小。

  14. 例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？例4．如图，已知电源的电动势为ε，内电阻为r，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？ 解：由欧姆定律得电流强度 在负载电路上的输出功率是P=P(R)=I2R=

  15. 实验表明，当ε，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定，实验表明，当ε，r一定时，输出功率由负载电阻R的大小决定， 当R很小时，电源的功率大都消耗在内阻r上，输出的功率可以变的很小；R很大时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此R一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。

  16. 令 即 ，解得R=r， 因此，当R=r时，输出的功率最大。

  17. S(R)=2πR +2πR2 = +2πR2 例5．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积 S=2πRh+2πR2 由V=πR2h，得 则

  18. 从而h= 令 解得 R= 即h=2R， 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省

  19. 例6．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？例6．已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 解：收入 利润 (0<q<100)

  20. 令L’=0 , 即 求得唯一的极值点 q=84. 答：产量为q=84时，利润L最大

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