第二章 人工智能逻辑 第一部分

1. 高级人工智能 第二章 人工智能逻辑第一部分 史忠植 中国科学院计算技术研究所 史忠植 逻辑基础

2. 主要内容 • 逻辑简介 • 逻辑程序设计 • 非单调逻辑 • 默认逻辑 • 限定逻辑 • 真值维护系统 • 情景演算 史忠植 逻辑基础

3. 1. 逻辑简介 • 逻辑的历史 • 逻辑系统 • 命题逻辑 • 谓词逻辑 史忠植 逻辑基础

4. 1.1 逻辑的历史 • Aristotle——逻辑学 • Leibnitz——数理逻辑 • Gottlob Frege (1848-1925)——一阶谓词演算系统,《符号论》 • 20世纪30年代，数理逻辑广泛发展 史忠植 逻辑基础

5. 1.2 逻辑系统 一个逻辑系统是定义语言和它的含义的方法。 逻辑系统中的一个逻辑理论是该逻辑的语言的一 个语句集合，它包括： • 逻辑符号集合：在所有该逻辑的逻辑理论中均出现的符号； • 非逻辑符号集合：不同的逻辑理论中出现的不同的符号； • 语句规则：定义什么样的符号串是有意义的； • 证明：什么样的符号串是一个合理的证明； • 语义规则：定义符号串的语义。 史忠植 逻辑基础

6. 逻辑与程序语言的对比 史忠植 逻辑基础

7. 证 明 一个证明是一个语法结构，它由符号串根据一定 的规则组成。它包括假设和结论。 在公理化逻辑中，逻辑给出一个逻辑公理和推理 规则的集合。推理规则是可以从一个语句的集合得到 另一语句的集合。 公理化逻辑中的证明就是一个语句序列，使得 其中的每个语句要么是逻辑公理，要么是一个假设，要么是由前面的语句通过推理规则得到的。 史忠植 逻辑基础

8. 证 明(语法) 在语法上，如果存在一个从假设到的证明， 则记为⊢ ，称由可推导出的，或可证明的。 如果在没有任何假设下是可推导出的，则记为 ⊢ ，称为可证明的。 称一个假设是不协调的，如果存在一个语句 使得和的否定均可由推导得出。 称一个逻辑系统是一致的，或相容的(consistent)， 如果不存在逻辑系统的公式A，使得⊢A与⊢¬A同时成 立。 史忠植 逻辑基础

9. 解 释(语义) 语言的解释是在某个论域(domain)中定义非逻辑 符号。语句的语义是在解释下定义出语言L的真假值。 如果I是L的一个解释，且在I中为真，则记为 I⊨，称作I满足 ，或者I 是的一个模型。 类似地，给定一个语句和一个语句 ，如果对 每个解释I，有I⊨蕴含I⊨，换言之，如果I 是 的一个模型则I也是的一个模型，则记为⊨ ，我 们称为的一个逻辑结果。 史忠植 逻辑基础

10. 可靠性和完备性 可靠性(reliable) 一个逻辑是可靠的，如果它的证明保持真假值， 即在任何解释I下，如果I是 的模型，且可由推导 出，则I也是的一个模型。即，一个逻辑是可靠的， 如果对任何语句集合和语句 ， ⊢蕴涵⊨ 。 完备性(complete) 一个逻辑是完备的，如果任何永真语句是可证的。 即，对任何语句集合和语句 ，⊨蕴涵⊢ 。 如果一个逻辑是完备的，则该逻辑的证明系统已强到 可以推出任何永真式。 Gődel完备性定理：一阶逻辑是完备的 史忠植 逻辑基础

11. 可判定性 可判定的 一个逻辑称为是可判定的(decidable)，如果存在 一个算法对逻辑中的任一公式 A，可确定⊢A是否成 立。否则，称为是不可判定的(undecidable) 。 如果上述算法虽不一定存在，却有一个过程，可对该系统的定理做出肯定的判断，但对非定理的公式过程未必终止，因而未必能作出判断。这时称逻辑是半可判定的。 一阶逻辑是不可判定的，但它是半可判定的。 史忠植 逻辑基础

12. 现代逻辑学与计算机科学、计算语言学和人工智能的关系表现代逻辑学与计算机科学、计算语言学和人工智能的关系表 逻 辑 自然语 程序 人工 逻辑 指令与直 数据库 复杂性 智能体 未 来 展 望 言处理 控制 智能 编程 陈式语言 理论 理论 理论 时序逻辑 √ √ √ √ √ √ √ √ 广泛应用 模态逻辑 √ √ √ √ √ √ √ √ 非常活跃 算法证明 √ √ √ √ √ √ √ √ 非单调推理 √ √ √ √ √ √ √ 意义重大 概率和模糊 √ √ √ √ √ √ √ 目前主流 直觉主义逻辑 √ √ √ √ √ √ √ √ 主要替代者 高阶逻辑，λ-演算 √ √ √ √ √ √ 更具中心作用 经典逻辑片断 √ √ √ √ √ √ 前景诱人 资源和子结构逻辑 √ √ √ √ 纤维化和组合逻辑 √ √ √ √ √ √ 可自我指称 谬误理论 在适当语境 逻辑动力学 √ √ 动态逻辑观 论辩理论游戏 √ 前景光明 对象层次/元层次 √ √ 总起中心作用 机制:溯因 缺省 相干 √ √ 逻辑的一部分 与神经网络的联系 极重要，刚开始 时间-行动-修正模型 √ √ 一类新模型 加标演绎系统 √ √ √ √ √ 逻辑学的统一框架 史忠植 逻辑基础

13. 1.3 命题逻辑 • 命题是可以确定其真假的陈述句。 • Bolle提出了布尔代数。 语言:¬，； 公式，原子公式 公理模式: ◆(A(BA)) ◆((A(BC))  ((AB) (AC))) ◆(((¬A))(¬B)  (BA)) 推理规则:分离规则(modus ponens，MP规则) 史忠植 逻辑基础

14. 1.4 谓词逻辑(一阶逻辑) • Frege谓词演算 语言:¬，，，，(，)；常元，变元，函词，谓词；公式 公理模式: ◆(A(BA)) ◆((A(BC))  ((AB) (AC))) ◆(((¬A)(¬B))  (BA)) ◆vA  Atv (t对A中变元v可代入) ◆v(A B)  (vA  vB) ◆A vA (v在A中无自由出现) 推理规则:分离规则 史忠植 逻辑基础

15. 谓词逻辑与命题逻辑的区别 • 谓词逻辑给出了原子语句的内部结构，将原子公式看作是事物直接的关系； • 它引入了“推广”(泛化)，加强了逻辑的表示能力和推理能力。这样，我们可以说某种性质对某个对象是成立的，或对所有的对象成立，或不对任何对象成立。 史忠植 逻辑基础

16. 2. 逻辑程序设计 • 消解原理(归结原理) • Horn逻辑 • Prolog逻辑程序设计语言 史忠植 逻辑基础

17. 2.1 归结原理 例： C1 = ¬P∨Q∨R C2 = P∨Q 则C1与C2归结后的结果为：Q∨R 若子句集S能导出空子句⊓(有否证)，则称S 是不可满足的。 反证法： S ⊢ A iff S  ¬A⊢ ⊓ 史忠植 逻辑基础

18. 2.2 Horn逻辑 • 文字：原子公式(正文字)或原子公式的否定(负文字)。 P, Q, ¬R • 子句：若干文字的析取。¬P∨Q∨R • Horn子句： 子句L1∨L2∨… ∨Ln中如果至多只含一个正文字， 那么该子句称为Horn子句。 Horn子句P∨ ¬Q1∨ ¬Q2∨…∨ ¬Qn通常表示为： P  Q1, Q2, …, Qn 史忠植 逻辑基础

19. Horn子句的类型： ◆过程：P  Q1, Q2, …, Qn ◆事实：P  ◆目标：  Q1, Q2, …, Qn ◆空子句： ⊓ 例:◆过程：AT(dog, x) AT(Zhang, x) ◆事实：AT(Zhang, train) ◆目标：  AT(dog, train) 首先目标中过程调用AT(dog, train)与过程名AT(dog, x) 匹配，合一为{train/x}，调用过程AT(Zhang, x)，从而 产生新目标 AT(Zhang, train)，与事实匹配，产生目 标⊓ 。因而调用成功，输出“是”。 史忠植 逻辑基础

20. 2.3 Prolog • Prolog(Programming in logic)语言是以Horn子句逻辑为基础的高级程序设计语言。 • 1972年，法国马赛大学的Alain. Colmerauer提出了Prolog的雏型。 • 1975年，Prolog被用于问题求解系统。 • 此后，它在许多领域获得了应用，如关系数据库、定理证明、智能问题求解、计算机辅助设计、规划生成等领域。 史忠植 逻辑基础

21. Prolog的构成 • 事实：关于对象性质和关系的事实语句； student(john)，married(tom,mary) • 规则：关于对象性质和关系的定义规则语句； 它与事实的不同在于，规则所定义的性质、关系依 赖与其它的性质和关系，因此规则呈蕴涵语句形式。 B:—A “如果A则B” bird(x) :— animal(x)，has(x, feather) • 问题：关于对象性质或关系的询问。 ?— student(john) ?— married(mary，x) 史忠植 逻辑基础

22. Prolog的执行方式 • 搜索：在程序中自上而下地搜索事实和规则； • 匹配：将目标中的项与事实和规则进行匹配； • 回溯：当目标中一项失败时，如果目标中有已经成功的的项(应在失败项的左边)，那末就重新调用这些成功项中最右边的一个，谋求新的成功。 史忠植 逻辑基础

23. Prolog语言的基本文法 • Prolog语言的最基本语言成分是项(term)，一个 • 项或者是常量，或者是变量，或者是一个结构。 • 常量：是指对象和对象之间的特定关系的名； • 整数，如0，22，1586等； • 原子，如John，student，likes，sister-of • 变量：表示任意的对象，它与FOL中的变元相同； • Prolog中变量可以用大写字母，下划线，以及由它们 • 开头的字母串。如X, Y, Answer, _value等。 • 结构：是常量和变量的序列，它由一个函子(函词 • 或谓词)和该函子的自变量所组成。如： • likes(john, X) married(mary, jack) 史忠植 逻辑基础

24. Y = mary，John与Mary是朋友 例： (1) likes(bell, sports) (2) likes(mary, smith) (3) likes(mary, sports) (4) likes(jones, smith) (5) friend(john, X) :— likes(X, sports), likes(X, smith) (规则) (6) ?— friends(john, Y) (问题) (事实) (7)?— likes(X, sports), likes(X, smith) (8)?— likes(bell, smith) (bell / X) (7)?— likes(X, sports), likes(X, smith) (8)?— likes(mary, smith) (mary / X) 史忠植 逻辑基础

25. Prolog的基本特点 • Horn子句逻辑是Prolog的基础。 • Prolog既是一种逻辑程序设计语言，又是一个逻辑系统。 • Prolog是一种描述性语言，它是一种面向问题的语言，你只需要告诉它要做什么，即给出问题的形式描述，而不需要知道应该如何做。 • Prolog完全依靠匹配、回溯来进行搜索。Prolog的求解过程是一个寻求否证的消解过程。 • Prolog也使用元语言种的谓词，有很强的描述能力。 • Prolog采用统一的数据结构——项，它包含控制成分，且有专门进行数值计算和符号处理的模块。 史忠植 逻辑基础

26. 3.非单调逻辑 • 单调逻辑 • 非单调逻辑 • 区别 史忠植 逻辑基础

27. 3.1 单调逻辑 • 在现有知识的基础上，通过严密的逻辑论证和推理获得的新知识必须与已有的知识相一致。 A，ABB • 推理系统的定理集合随着推理过程的进行而单调地增大。 单调性： (1)  ∈Th( ) (2) 若 1 ⊆2 ，则Th(1) ⊆ Th(2) (3) Th(Th( )) ＝ Th( ) (不动点) 史忠植 逻辑基础

28. 3.2 非单调逻辑 • 推理系统的定理集合并不随着推理过程的进行而单调地增大，新推出的定理很可能会否定、改变原来的一些定理，使得原来能够解释的某些现象变得不能解释了。 • 新规则： • (4) ⊬ ¬ P (不动点) 史忠植 逻辑基础

29. 4. 默认逻辑 1980年，Reiter提出了默认逻辑(Default Logic)。 “一般情况下鸟是会飞的” “鸵鸟不会飞”“企鹅不会飞” 史忠植 逻辑基础

30. 4.1 默认规则 一个默认规则是如下形式的规则： (x):称为前提条件 i(x):称为默认条件，或检验条件 (x):称为结论 为简便，通常情况下可以省略检验条件中的M。 规则的使用： 如果规则的前提条件满足，且现有的知识导不 出检验条件的否定¬i(x)，则可以得出结论成立。 史忠植 逻辑基础

31. 4.2 默认理论 一个默认理论由两个部分组成，即默认规则 集D和公式集W，一般用二元组来表示＝ <D,W > 若D中的规则是闭规则时，则为闭默认理论。 定义：设＝ <D,W >为一闭默认理论， 为关于D的 一个算子，作用于任意的命题集合S，而其值为满 足下列三个性质的最小命题集合(S)： (1) W (S) (2) Th((S)) = (S)，其中Th((S)) = {A|(S) ⊢A} (3) 如果D中有规则 ， 且∈(S)，¬1, …, ¬m ∉S ，那么∈(S) 史忠植 逻辑基础

32. 例1：设D＝ { }，W＝ ，计算默认 理论＝ <D,W >的扩充。 4.3 默认理论的扩充 定义：对命题集合E，如果(E) = E，则E称为关于 D的算子的不动点(fixpoint)。此时称E为默认理论 ＝ <D,W >的一个扩充(extension)。 ＝ <D,W >有唯一的扩充E＝ Th({¬B, ¬F})。 史忠植 逻辑基础

33. 例2：设 D＝ { }， W＝ {B, CF∨A, A∧C ¬E}，计算默认理论 ＝ <D,W >的扩充。 ＝ <D,W >有三个扩充 E1＝ Th(W{A, C}) E2＝ Th(W{A, E}) E3＝ Th(W{C, E, G}) 史忠植 逻辑基础

34. 5.限定推理 1980年，McCarthy提出了一种非单调的推理—— 限定推理(Circumscription)。 基本思想：从某些事实A出发能够推出具有某一性质的P的对象就是满足性质P的全部对象。只有当发现其它对象也具有该性质时，才修改这种看法。 史忠植 逻辑基础

35. 限定逻辑 限定逻辑CIRC是一种极小化逻辑。下面，从一个基于 极小模型定义的命题限定出发，给出限定的基本定义, 进 而给出一阶限定的基本结果，并将它推广。 定义 2.1 设L0是一个命题语言，p1,p2是在命题语言L0中 的两个赋值。称p1小于p2，记为p1  p2, 当且仅当对任一 命题变元x, 如果p1(x) = l, 则p2(x) = l。 史忠植 逻辑基础

36. 限定逻辑 定义 2.2 设A是一个公式，称A的一个赋值p是极小 的，当且仅当不存在A的其它赋值p'使得 p'  p。 显然, 是一个偏序关系。p1 p2表示p1包含的真命题比p2少。极小赋值包含的真命题极小。 定义 2.3 极小后承M。 设A, B是两个公式，AMB 当且仅当B在所有A的极小模型中都为真。 极小模型是非单调的，它以命题的极小化作为优先模型的准则。 史忠植 逻辑基础

37. 限定逻辑 定义 2.4 设A是一个包含命题集 P = {p1,p2,... , pn} 的公式，一个A的赋值p称为Z-极小赋值，当且仅当不存在A的其它赋值p‘使得p  p’, 定义如下：设p1, p2是两个赋值， p1Z- p2当且仅当对任一z  Z, 若p1(Z) = l, 则 p2(Z)= l。 史忠植 逻辑基础

38. 限定逻辑 定义 2.5 命题限定P或 CIRC(A,P)。设A是一个 包含命题集的公式，  是一个公式，AP当且仅 当在所有A的p-极小赋值中都为真。 定理 2.1 A p 当且仅当AP 史忠植 逻辑基础

39. 限定逻辑 定义 2.6 令L是一个一阶语言，T是一个L的公式，它 包含谓词元组集。设M[T]和 M*[T]是公式T的两个模型。 定义M*[T]优先于M[T],记为M*[T]M[T]，当且仅当 (1) M和M*有相同的对象域， (2) 除外，公式T中所有的其它关系和函数常数 在M和M*都有相同的解释， (3) 在M*中的外延是在M中的子集。 史忠植 逻辑基础

40. 限定逻辑 一个理论T的模型M称为优先的，当且仅当不存在T的 其它模型M'使得M'M。 定义 2.7 Mm是的最小模型，当且仅当 M  Mm , M = Mm 史忠植 逻辑基础

41. 限定逻辑 例如 设论域 D={1,2} T=xy(P(y)Q(x,y)) =[(P(1) Q(1,1)) (P(2) Q(1,2))]  [(P(1) Q(2,1)) (P(2) Q(2,2))] M: P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) T T F T F T M*: P(1) P(2) Q(1,1) Q(1,2) Q(2,1) Q(2,2) F T F T F T 史忠植 逻辑基础

42. 6.真值维护系统TMS • 1979年，Doyle提出了一种非单调推理系统—— • 真值维护系统(Truth Maintenance System) • 真值维护系统是大型推理系统的的一个子系统， • 实现知识库中信念(belief)的修改与维护。其基本问 • 题有： • 必须在不完全的、有限的信息基础上作出假设的决策，使得该假设成为知识库的信念； • 当这些决策的结论被以后的事实证明为错误时，如何对其信念进行修正。 史忠植 逻辑基础

43. 基本数据结构: 结点：表示信念 理由：表示信念的原因 信念既包括已知的知识，也包括假设的知识。 基本操作： 新结点的形成——将信念赋予该结点； 新理由的加入——把某个信念与该结点联接起来 实现过程： 默认假设的形成； 相关性回溯过程。 史忠植 逻辑基础

44. 6.1 信念知识表示 每一个命题或规则均称为结点，它分为两类： IN-结点：相信为真 OUT-结点：不相信为真，或无理由相信为真， 或当前没有任何有效的理由。 每个结点附有理由表，表示具体结点的有效性： 支持表SL：所在结点的信念的原因，理由； 条件证明CP：出现矛盾的原因。 史忠植 逻辑基础

45. （1）支持表SL (SL(<IN-结点表>)(<OUT-结点表>)) IN-结点表中的IN-结点表示知识库中的已知知识; OUT-结点表中的OUT-结点表示这些结点的否定。 例1: (1) 现在是夏天 (SL( )( )) (2) 天气很潮湿 (SL(1)( )) 　　结点(1)不依赖于任何别的结点中的当前信念或 默认信念,因而这种结点称为前提; 　　结点(2)则依赖于当前结点(1)的信念. 　　所以，与一阶逻辑不同的是,TMS可以撤消前提, 并可以对知识库作适当修改. 史忠植 逻辑基础

46. 例2: (1) 现在是夏天 (SL( )( )) (2) 天气很潮湿 (SL(1)(3)) (3) 天气很干燥 若结点(1)是IN,结点(3)是OUT,则结点(2)才为IN. 若在某个时刻出现结点(3)的证据,则结点(2)就变为 OUT,因为它不再有一个有效的证实.象结点(2)这样 的结点称为假设,它与非空的OUT结点表的SL证实有 关.OUT结点(3)是结点(2)的证实的一部分.但如果结 点(3)不存在,就不能这样表示了. 　　在TMS中,它仅利用证实来维持一个相容的信念 数据库,而它本身并不产生证实. 史忠植 逻辑基础

47. （2）条件证明CP (CP <结论> <IN-假设> <OUT-假设>) 如果结论结点为IN-结点,以及下列条件成立: (1) IN假设中的每个结点都是IN-结点; (2) OUT-假设中的每个结点都是OUT-结点. 那么条件证明CP是有效的. 　　一般说来,OUT-假设总是空集.TMS要求假设集划 分成两个不相交的子集,分别为不导致矛盾的假设和 导致矛盾的假设. 　　通常只要在IN-假设中的结点为IN,OUT-假设中 的结点为OUT,则结论结点为IN. 史忠植 逻辑基础

48. 6.2 默认假设 　　令{F1, F2, …, Fn}表示所有可能的侯选的默认假 设结点集,G表示选择默认假设的原因的结点,即由G 引起在{F1, …, Fn}中进行默认选择.这样我们结合结 点Node(Fi)以如下理由: (SL(G)(F1, …, Fi-1, Fi+1, …, Fn)) 而选取Fi为默认假设. 　　如果不存在任何其它关于如何进行选择的信息， 则可以认为除Fi之外其它任何时候选都不是可信的． 这样Fi为IN,其它Fj(i  j)均为OUT.但如果接收到一 个有效的理由支持某个其它的侯选Fj,则Fj就为IN, 而导致Fi的假设失败而变为OUT. 史忠植 逻辑基础

49. 6.3 相关回溯 　　当知识库中出现不一致时,TMS将寻找并删除已 做的一个不正确的默认逻辑,恢复一致性.它包括三 个步骤: (1) 从产生的矛盾结点开始,回溯跟踪该矛盾结点 的理由充足的支持以寻找矛盾的假设集,并从中去掉 至少一个假设信念以消除矛盾. (2) 构造一个结点记录矛盾产生的原因. (3) 从S中选取假设A(即不合理假设),并证实列在 其理由充足的支持条件中的一个OUT-结点. 史忠植 逻辑基础

50. 例3: (1) 会议日期为星期三 (SL( )(2)) (2) 会议日期不应是星期三 (3) 会议时间为14:00 (SL(32,40,61)()) (4) 矛盾 (SL(1,3)( )) (周三14:00没有空会议室) (5) 不相容 (CP4 (1,3)( )) (2) 会议日期不应是星期三 (SL(5)( )) 结点(2)与结点(5)为IN,就引起结点(1)为OUT,因为 结点(1)的证实依赖于结点(2)是OUT.结点(4)现在也 变成OUT.进而矛盾就消除了. 史忠植 逻辑基础