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第8章 函数

离散数学. 第8章 函数. 本章说明. 本章的主要内容 函数的定义 函数的性质 函数的逆 函数的合成 本章与后续各章的关系 是代数系统的基础. 本章内容. 4.1 函数的定义与性质 4.2 函数的复合与反函数 4.3 一个电话系统的描述实例 本章小结 习题 作业. 4.1 函数的定义与性质. 定义 4.1 设 F 为二元关系，若  x ∈dom F， 都存在 唯一的 y ∈ran F 使 x F y 成立，则称 F 为 函数 ( function ) ( 或称作 映射 ( mapping ) )。

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第8章 函数

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  1. 离散数学 第8章 函数

  2. 本章说明 • 本章的主要内容 • 函数的定义 • 函数的性质 • 函数的逆 • 函数的合成 • 本章与后续各章的关系 • 是代数系统的基础

  3. 本章内容 4.1 函数的定义与性质 4.2 函数的复合与反函数 4.3 一个电话系统的描述实例 本章小结 习题 作业

  4. 4.1 函数的定义与性质 定义4.1 设F为二元关系，若x∈dom F，都存在唯一的y∈ran F 使xFy成立，则称F为函数(function)(或称作映射(mapping))。 对于函数F，如果有 xFy，则记作y＝F(x)，并称y为F在x的值。 举例 判断下列关系是否为函数 F1＝{<x1,y1>,<x2,y2>,<x3,y2>}F2＝{<x1,y1>,<x1,y2>} 是函数 不是函数 说明 • 函数是特殊的二元关系。 • 函数的定义域为dom F，而不是它的真子集。 • 一个x只能对应唯一的y。

  5. 函数相等 定义4.2 设 F,G 为函数，则 F＝G FG∧GF 由定义可知，两个函数F和G相等, 一定满足下面两个条件： （1）dom F＝dom G （2）x∈dom F＝dom G，都有 F(x)＝G(x) 例如 函数F(x)＝(x21)/(x+1)，G(x)＝x1不相等, 因为 dom F＝{x|x∈R∧x ≠-1} dom G＝R 显然， dom F≠dom G，所以两个函数不相等。

  6. 从A到B的函数 定义4.3设A,B为集合，如果 f 为函数，dom f＝A，ran fB，则称 f 为从A到B的函数，记作 f：A→B。 例如：f：N→N，f(x)＝2x是从N到N的函数， g：N→N，g(x)＝2也是从N到N的函数。 定义8.4 所有从A到B的函数的集合记作BA，读作“B上A”，符号化表示为 BA＝{f | f：A→B} 。

  7. 例1 解答 BA＝{ f0, f1, f2, f3, f4, f5, f6, f7} 。其中 例1设A＝{1,2,3}，B＝{a,b}，求BA。 f0＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>} f1＝{<1,a>,<2,a>,<3,b>} f2＝{<1,a>,<2,b>,<3,a>} f3＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>} f4＝{<1,b>,<2,a>,<3,a>} f5＝{<1,b>,<2,a>,<3,b>} f6＝{<1,b>,<2,b>,<3,a>} f7＝{<1,b>,<2,b>,<3,b>} • 若|A|＝m，|B|＝n，且m,n>0，则|BA|＝nm。 • 当A或B至少有一个集合是空集时：  A＝且B＝，则BA＝＝{}。  A＝且B≠，则BA＝B＝{}。  A≠且B＝，则BA＝A＝。 说明

  8. 函数的像和完全原像 定义8.5 设函数f：A→B，A1A，B1B。 （1）令f(A1)＝{f(x)|x∈A1}，称 f(A1)为A1在f 下的像(image)。 特别地，当A1＝A时，称 f(A)为函数的像。 （2）令f 1(B1)＝{x|x∈A∧f(x)∈B1}，称f 1(B1)为B1在 f 下的完全原像(preimage)。 • 注意区别函数的值和像两个不同的概念。 函数值f(x)∈B，而函数的像f(A1)B。 说明

  9. 讨论 • 设 B1B，显然B1在 f 下的原像 f-1(B1)是A的子集。 • 设 A1A，那么 f(A1)B。 f(A1)的完全原像就是 f-1(f(A1))。 一般来说， f-1(f(A1))≠A1，但是A1 f-1(f(A1))。 • 例如函数 f:{1,2,3}→{0,1}，满足 f(1)＝f(2)＝0，f(3)＝1 令A1＝{1}，那么 f-1(f(A1))＝ f-1(f({1}))＝ f-1({0})＝{1,2} 这时，A1是f-1(f(A1))的真子集。

  10. 例3设f:N→N，且 令A＝{0,1}，B＝{2}，求f(A)和 f1(B)。 例3 解答 f(A)＝f({0, 1})＝{f(0), f(1)}＝{0, 2} f 1(B)＝ f 1({2})＝{1, 4} (因为f(1)＝2, f(4)＝2)

  11. 满射、入射、双射 定义8.6设f:A→B， （1）若ran f＝B，则称f:A→B是满射(surjection)的。 （2）若y∈ran f 都存在唯一的x∈A使得f(x)＝y，则称f:A→B是单射(injection)的。 （3）若f 既是满射又是单射的，则称f:A→B是双射(bijection)的(一一映像(one-to-one mapping)) 。 说明 • 如果f:A→B是满射的，则对于任意的y∈B，都存在x∈A，使得f(x)＝y。 • 如果f:A→B是单射的，则对于x1、x2A且x1≠x2，一定 有f(x1)≠f(x2)。 换句话说，如果对于x1、x2A有f(x1)＝f(x2)，则一定有x1＝x2。

  12. 1 1 a a 2 2 b b 3 3 c c 4 4 a 1 a 1 a 1 b 2 b 2 b 2 c 3 c 3 c 3 d 4 d 4 d 不同类型的对应关系的示例 单射 不是函数 双射 函数 满射

  13. 例4 例8.4判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么? (1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1(2) f：Z+→R，f(x)=ln x，Z+为正整数集(3) f：R→Z，f(x)=x(4) f：R→R，f(x)=2x+1(5) f：R+→R+，f(x)=(x2+1)/x，其中R+为正实数集。 分析 实数集合上函数性质的判断方法 （1）f 在x=1取得极大值0。既不是单射也不是满射的。 （2）f 是单调上升的，是单射的，但不满射。ran f={ln1, ln2, …}。 （3）f 是满射的， 但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。 （4）f 是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ran f=R。 （5）f 有极小值f(1)=2。 该函数既不是单射的，也不是满射的。

  14. 例8.5 例8.5 对于以下各题给定的A,B和 f，判断是否构成函数f:A→B。如果是，说明 f:A→B是否为单射、满射和双射的，并根据要求进行计算。 (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}，f＝{<1,8>,<3,9>,<4,10>,<2,6>,<5,9>} 能构成f:A→B， f 不是单射的，因为f(3)＝f(5)＝9, f 不是满射的，因为7ran f。 (1)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}，f＝{<1,7>,<2,6>,<4,5>,<1,9>,<5,10>} 不能构成f:A→B，因为<1,7>∈f 且<1,9>∈f 。

  15. 例5 (3)A＝{1,2,3,4,5}，B＝{6,7,8,9,10}，f＝{<1,8>,<3,10>,<2,6>,<4,9>} 不能构成f:A→B，因为dom f＝{1,2,3,4}≠A。 (4)A＝B＝R，f(x)＝x 能构成f:A→B，且 f 是双射的。 (5)A＝B＝R+，f(x)＝x/(x2+1)（x∈R+ ） 能构成f:A→B，但 f 既不是单射的也不是满射的。 因为该函数在 x＝1 取得极大值 f(1)＝1/2，函数不是单调的，且ran f≠R+。

  16. 例8.5 (6)A＝B＝R×R，f (<x,y>)＝<x+y,x-y>令L＝{<x,y>|x,y∈R∧y＝x+1}，计算 f(L)。 能构成 f:A→B，且 f 是双射的。 f(L)＝{<x+(x+1),x-(x+1)>|x∈R} ＝{<2x+1,-1>|x∈R}＝R×{-1} (7)A＝N×N，B＝N，f(<x,y>)＝|x2-y2|计算f(N×{0}),f-1＝({0})。 能构成f:A→B，但f 既不是单射也不是满射的。 因为f(<1,1>)＝f(<2,2>)＝0，且2ran f。 f(N×{0})＝{n2-02|n∈N}＝{n2|n∈N} f-1({0})＝{<n,n>|n∈N}

  17. 例.6 例8.6 对于给定的集合A和B构造双射函数 f:A→B。 （1）A＝P({1,2,3}), B＝{0,1}{1,2,3} （2）A＝[0,1], B＝[1/4,1/2] （3）A＝Z, B＝N （4）A＝[/2,3/2], B＝[1,1]

  18. 例8.6的解答 （1）A＝P({1,2,3}), B＝{0,1}{1,2,3} A＝{,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。 B＝{f0,f1,…,f7}, 其中 f0 ＝{<1,0>,<2,0>,<3,0>}, f1 ＝{<1,0>,<2,0>,<3,1>},f2 ＝{<1,0>,<2,1>,<3,0>}, f3 ＝{<1,0>,<2,1>,<3,1>},f4 ＝{<1,1>,<2,0>,<3,0>}, f5 ＝{<1,1>,<2,0>,<3,1>},f6 ＝{<1,1>,<2,1>,<3,0>}, f7 ＝{<1,1>,<2,1>,<3,1>}。 令f: A→B, f() ＝ f0, f({1})＝f1, f({2})＝f2, f({3}) ＝ f3, f({1,2})＝f4, f({1,3})＝f5, f({2,3}) ＝ f6, f({1,2,3})＝f7

  19. 例.6的解答 （2） A＝[0,1], B＝[1/4,1/2] 令f: A→B, f(x)＝(x+1)/4。 （3） A＝Z, B＝N 将Z中元素以下列顺序排列并与N中元素对应：Z：01 1 2233 …  ↓↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓N：0 12 3 4 5 6 … 则这种对应所表示的函数是： （4） A=[/2,3/2], B=[1,1] 令f: A→B ，f(x)＝sin x。

  20. 常用函数—常函数和恒等函数 • 设f：A→B，如果存在c∈B，使得对所有的x∈A都有f(x)＝c，则称f：A→B是常函数。 • 设f：A→B，对所有的x∈A都有IA(x)＝x，称IA为A上的恒等函数。

  21. 常用函数—单调递增函数 • 设<A,≤>， <B,≤>为偏序集，f：A→B，如果对任意的x1, x2∈A， x1＜x2，就有f(x1)≤ f(x2)，则称f为单调递增的； 如果对任意的x1, x2∈A, x1＜x2, 就有f(x1)＜f(x2), 则称f为严格单调递增的。 • 类似的也可以定义单调递减和严格单调递减的函数。 • 举例：f: R→R, f(x)＝x+1是严格单调递增的。 偏序集<P({a,b}), R>，<{0,1}, ≤>， R为包含关系，≤为一般的小于等于关系。 令f：P({a,b})→{0,1}， f()＝f({a})＝f({b})＝0， f({a,b})=1， f是单调递增的, 但不是严格单调递增的。

  22. 1，a∈A  0， a∈AA  A (a) ＝ 常用函数—特征函数 • 设A为集合，对于任意的AA，A的特征函数 A : A→{0,1}定义为 • 举例: A的每一个子集A都对应于一个特征函数，不同的子集对应于不同的特征函数。 例如A＝{a,b,c}, 则有 ＝{<a,0>,<b,0>,<c,0>}， {a} ＝{<a,1>,<b,0>,<c,0 >} {a,b} ＝{<a,1>,<b,1>,<c,0 >}

  23. 常用函数—自然映射 • 设R是A上的等价关系， 令  g：A→A/Rg(a)=[a]，a∈A 称g是从A到商集A/R的自然映射。 • 给定集合A和A上的等价关系R，就可以确定一个自然映射g：A→A/R。 例如A＝{1,2,3}，R＝{<1,2>,<2,1>}∪IA g(1)＝g(2)＝{1,2}, g(3)＝{3} 不同的等价关系确定不同的自然映射，其中恒等关系所确定的自然映射是双射， 而其他的自然映射一般来说只是满射。

  24. 定义在自然数集合上的计数函数 • 对于给定规模为n的输入，计算算法所做基本运算的次数，将这个次数表示为输入规模的函数。 • 排序和检索问题的基本运算是比较。 • 矩阵乘法的基本运算是元素的相乘。 • 估计算法在最坏情况下所做基本运算的次数记为W(n)。 • 估计算法在平均情况下所做基本运算的次数记为A(n)。 • 设f是定义在自然数集合上的函数，当n变得很大时，函数值f(n)的增长取决于函数的阶。阶越高的函数，算法的复杂度就越高，同时意味着算法的效率越低。 • 算法分析的主要工作就是估计复杂度函数的阶。阶可以是： n，n2，n3，nlog n，log n，2n……

  25. 定义在自然数集合上的计数函数 • 若存在正数c和n0，使得对一切n≥n0，有0≤f(n)≤cg(n)，记作 f(n)＝O(g(n))。 • 若存在正数c和n0，使得对一切n≥n0，有0≤cg(n)≤f(n)，记作 f(n)＝Ω(g(n))。 • 若f(n)＝O(g(n))且 f(n)＝Ω(g(n))，则f(n)＝Θ(g(n))。 • 例如 • f(n)＝1/2 n2-3n，则 f(n)＝Θ(n2) • g(n)＝6n3，则 g(n)＝Θ(n3)

  26. 4.2 函数的复合与反函数 • 函数的复合就是关系的右复合，一切和关系右复合有关的定理都适用于函数的复合。本节重点考虑在复合中特有的性质。

  27. 定理4.1(复合函数基本定理) 定理4.1设F, G是函数，则FG 也是函数，且满足 （1）dom (FG)＝{x|x∈dom F∧F(x)∈dom G} （2）x∈dom (FG)，有FG(x)＝G(F(x))

  28. 定理4.1的证明 证明： 先证明FG是函数。 因为F、G是关系，所以FG也是关系。 若对某个x∈dom (FG)，若有xFGy1和xFGy2， 则 <x, y1>∈FG ∧ <x, y2>∈FG  t1(<x, t1>∈F∧<t1, y1>∈G)∧t2(<x, t2>∈F∧<t2, y2>∈G)  t1t2(t1＝t2∧<t1,y1>∈G∧<t2,y2>∈G) （F为函数）  y1＝y2  （G为函数） 所以FG为函数。

  29. 定理4.1的证明 任取x，(要证明dom (FG)＝{x|x∈dom F∧F(x)∈dom G})  x∈dom (FG)  ty(<x, t>∈F ∧ <t, y>∈G)  t(x∈dom F ∧ t＝F(x) ∧ t∈dom G)  x∈{x|x∈dom F ∧ F(x)∈dom G} 所以（1）得证。 任取x， （要证明x∈dom (FG)，有FG(x)＝G(F(x))）  x∈dom F ∧ F(x)∈dom G  <x, F(x)>∈F ∧ <F(x), G(F(x))>∈G  <x, G(F(x))>∈FG x∈dom(FG) ∧ FG(x)＝G(F(x)) 所以（2）得证。

  30. 定理4.1的推论1 推论1设F, G, H为函数，则(FG)H和F(GH)都是函数， 且(FG) H=F(GH) 证明：由定理8.1（复合函数基本定理）和定理7.2（关系合成具有结合性）得证。

  31. 定理4.1的推论2 推论2设f：A→B，g：B→C，则fg：A→C，且x∈A都有fg(x)=g(f(x))。 证明：由定理8.1（复合函数基本定理）可知fg是函数，且 dom (fg) ＝ {x|x∈dom f ∧ f(x)∈dom g} ＝ {x|x∈A ∧ f(x)∈B} ＝ A ran (fg)  ran g C 因此 fg：A→C，且x∈A有 fg(x)＝g(f(x))。

  32. 函数的复合运算的性质 定理8.2设 f：A→B，g：B→C。 （1）如果 f：A→B， g：B→C都是满射的， 则fg：A→C也是满射的。 （2）如果 f：A→B， g：B→C都是单射的，则fg：A→C也 是单射的。 （3）如果 f：A→B， g：B→C都是双射的，则fg：A→C也 是双射的。 分析 该定理说明函数的复合能够保持函数单射、满射、双射的性质。 说明

  33. 定理4.2的证明 (1)如果f：A→B，g：B→C都是满射的，则fg：A→C也 是满射的。 证明： 任取c∈C， 由g：B→C的满射性，所以b∈B使得g(b)=c。 对于这个b，由f：A→B的满射性，所以a∈A使得f(a)=b。 由合成定理有 fg(a) ＝ g(f(a))＝g(b)＝c 所以，fg：A→C是满射的。

  34. 定理4.2的证明 (2)如果f：A→B，g：B→C都是单射的，则fg：A→C也是单射的。 证明：假设存在x1, x2∈A使得 fg(x1)＝fg(x2)，由合成定理有 g(f(x1))=g(f(x2)) 因为g：B→C是单射的，故f(x1)＝f(x2)。 又由于f：A→B也是单射的，所以x1＝x2。 所以，fog：A→C是单射的。 (3)如果f：A→B， g：B→C都是双射的，则fg：A→C也是双射的。 证明：由（1）和（2）得证。

  35. 定理4.2之逆不为真 • 考虑集合A＝{a1,a2,a3}， B＝{b1,b2,b3,b4}，C＝{c1,c2,c3}。 令f ＝{<a1, b1>,<a2, b2>,<a3, b3>}g＝{<b1, c1>,<b2, c2>,<b3, c3>,<b4, c3>} 则fg={<a1, c1>,<a2, c2>,<a3, c3>} 那么f: A→B和fg: A→C都是单射的，但g: B→C不是单射的。 • 考虑集合A={a1,a2,a3}，B={b1,b2,b3}，C={c1,c2}。 令f＝{<a1,b1>,<a2,b2>,<a3,b2>}  g ＝{<b1,c1>,<b2,c2>,<b3,c2>} 则fg＝{<a1,c1>,<a2,c2>,<a3,c2>} 那么g: B→C和fg: A→C是满射的，但f : A→B不是满射的。

  36. 定理4.3 定理4.3设 f：AB，则f ＝ f o IB ＝ IAof 证明：由定理8.1的推论2可知 f o IB ：AB和 IAof ：AB 任取<x,y>， <x,y>∈ f o IB  t(<x,t> ∈ f ∧<t,y>IB )  <x,t> ∈ f ∧t=y  <x,y> ∈ f 所以， f o IBf <x,y>∈f  <x,y> ∈ f ∧ yB  <x,y> ∈ f ∧<y,y>IB  <x,y> ∈ f o IB 所以，f f o IB 所以，f ＝f o IB 同理可证f ＝IAof

  37. 反函数 什么样的函数f：A→B，它的逆f 1是从B到A的函数呢？ • 任给函数F, 它的逆F 1不一定是函数, 只是一个二元关系。 F＝{<x1,y1>，<x2,y1>} F -1＝{<y1,x1>，<y1,x2>} • 任给单射函数f：A→B, 则f 1是函数, 且是从ran f到A的双射函数, 但不一定是从B到A的双射函数。 因为对于某些y∈B－ran f，f -1没有值与之对应。 • 任给满射函数f：A→B，则f 1不一定是函数。 • 对于双射函数f：A→B, f 1：B→A是从B到A的双射函数。

  38. 反函数存在的条件 定理4.4设f：A→B是双射的，则f 1：B→A也是双射的。 证明：  先证明f- 1：B→A是函数，且dom f 1＝B，ran f 1＝A。 因为 f 是函数，所以 f 1 是关系，且 dom f1 ＝ ran f ＝B , ran f 1＝dom f ＝ A， 对于任意的x∈B ＝ dom f 1， 假设有y1, y2∈A，使得<x, y1>∈f 1∧<x, y2>∈f 1成立， 则由逆的定义有，<y1, x>∈f∧<y2, x>∈f。 根据f 的单射性，可得y1＝y2。 所以，f-1是函数。

  39. 定理4.4的证明 再证明f- 1：B→A的双射性质。  • （证明单射）若存在x1, x2∈B，使得f1 (x1)= f1 (x2)=y， 从而有<x1,y>∈f1∧<x2 ,y>∈f1    <y ,x1>∈f∧<y ,x2>∈f x1＝x2 （因为 f 是函数） 所以，f-1是单射的。 • （证明满射）对于任意的 y∈A，因为f 是双射的， 所以必存在 x∈B，使得<y, x>∈f，所以<x, y>∈f1， 所以，f1是满射的。 综上所述，f1是双射函数。 说明 对于双射函数f：A→B，称f-1：B→A是它的反函数。

  40. 反函数的性质 定理8.5设f：A→B是双射的， 则f- 1f = IB， f f-1 = IA 证明：根据定理可知f- 1：B→A也是双射的， 且f- 1f：B→B， f f- 1：A→A。 任取<x,y> <x,y> f1f  t( <x,t> f 1∧<t,y> f )  t( <t,x> f ∧<t,y> f )  x=y ∧ x, y  B  <x,y>IB 所以，f- 1f IB <x,y> IB  x＝y ∧ x, y  B  t( <t,x> f ∧<t,y> f )  t( <x,t> f 1∧<t,y> f )  <x,y> f- 1f 所以，IBf- 1f 综上所述，f- 1f ＝IB。同理可证f f-1 ＝ IA

  41. 例8.8 例8.8设f：R→R, g：R→R 求fg，gf。如果f 和g 存在反函数，求出它们的反函数。 解答 g：R→R是双射的，它的反函数是g1：R→R，g1(x)=x2

  42. 本章主要内容 • 函数的基本概念与性质（单射，满射，双射）。 • 函数的合成与反函数。

  43. 本章学习要求 • 掌握函数、A到B的函数、集合在函数下的像、集合在函数下的完全原像的概念及表示法；当A与B都是有穷集时，会求A到B的函数的个数。 • 掌握A到B的函数是单射、满射、和双射的定义及证明方法。 • 掌握常函数、恒等函数、单调函数、特征函数、自然映射等概念。 • 掌握合成函数的主要性质和求合成函数的方法。 • 掌握反函数的概念及主要性质。

  44. 例题 证明f 既是满射的，也是单射的。其中 证明： 任取<u,v>RR，存在 RR，使得 因此f是满射的。 对于任意的<x,y>, <u,v>RR, 有 因此f是单射的。

  45. 若mn，有个单射。 例题 令X＝{x1,x2,…,xm}，Y={y1,y2,…,yn}，问 （1） 有多少不同的由X到Y的关系？ （2） 有多少不同的X到Y的映射？ （3） 有多少不同的由X到Y的单射、双射？ 解：（1） 有2mn不同的由X到Y的关系。 （2） 有nm不同的X到Y的映射。 （3）X到Y的单射个数为： 若mn，有0个单射。 若m＝n，有m!个单射。 只有m＝n时，才存在X到Y的双射，个数为m! 。

  46. 例题 设A、B、C、D是任意集合，f是A到B的双射，g是C到D的双射。令h:ACBD，且<a,c>AC，h(<a,c>)=<f(a),g(c)>，那么h是双射吗？请证明你的判断。 证明：先证明h是满射。 <b,d>BD，则bB，dD， 因为f是A到B的双射，g是C到D的双射, 所以，aA，cC，使得f(a)=b，g(c)=d， 也就是<a,c>AC，使得h(<a,c>)= <f(a),g(c)> =<b,d>, 所以，h是满射。

  47. 例题 再证h是单射。 <a1,c1>, <a2,c2> AC，若h(<a1,c1>)= h(<a2,c2> )，则 <f(a1),g(c1)> = <f(a2),g(c2)> 所以，f(a1) = f(a2)， g(c1) = g(c2)。 因为 f是A到B的双射，g是C到D的双射, 所以，a1= a2，c1 = c2。 所以， <a1,c1>= <a2,c2> ， 所以，h是单射。 综上所述，h是双射。

  48. 作业 习题八：1、2、3、4、15、16、17、24

  49. 单射和满射的证明方法 • 证明函数 f:A→B是满射的，基本方法是： 任取y∈B，找到x∈A(x与y相关，可能是一个关于y的表达式)或者证明存在x∈A，使得f(x)＝y。 • 证明函数 f:A→B是单射的，基本方法是： 假设A中存在x1和x2，使得f(x1)＝f(x2)，利用已知条件或者相关的定理最终证明x1＝x2。

  50. 实数集合上函数性质的判断方法 • 对于实数集合上的函数，通常可以通过求导找到极值点。而有的极小值（或极大值）恰好是函数的最小值（或最大值），这样就可以求出函数的值域，从而判断函数是否为满射的。 • 如果函数存在极值，那么可以断定函数不是单射的，因为在极值点两侧可以找到不相等的x1和x2满足 f(x1)＝f(x2)。 • 证明函数不具有某种性质的一般方法就是给出反例。 • 为证明函数不是单射的，需要找到x1≠x2且f(x1)＝f(x2)。 有时可能不容易找到具体的x1和x2，但是可以证明这样的x1和x2是存在的。 • 证明函数不是满射的一般方法就是找到 y∈B－ran f。

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