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1. 了解函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的物理意义，能画出 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象，了解参数 A 、 ω 、 φ 对图象变化的影响 .

1. 了解函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的物理意义，能画出 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象，了解参数 A 、 ω 、 φ 对图象变化的影响 . 2. 了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数 模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 1. 用五点法画 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 一个周期内的简图 用五点法画 y ＝ A sin(ωx ＋ φ ) 一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. 0. 2π. π. [ 思考探究 1]

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1. 了解函数 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的物理意义，能画出 y ＝ A sin( ωx ＋ φ ) 的图象，了解参数 A 、 ω 、 φ 对图象变化的影响 .

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Presentation Transcript

  1. 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出 • y ＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ • 对图象变化的影响. • 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数 • 模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.

  2. 1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.

  3. 0 2π π

  4. [思考探究1] 找五个点时，在上表的三行中，应首先确定哪一行的数据？ 提示：第二行，即先使ωx＋φ＝0， ，π， , 2 π，然后求出x的值.

  5. 2.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤2.函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 法一　 法二

  6. [思考探究2] 　　上面两种方法中，左右平移的单位长度为什么不一样？ 提示：因为左右平移和伸缩变换都是对自变量x而言的. 法二中，由步骤2到步骤3变换时，左右平移变换必须是只针对x， 因为y＝sin(ωx＋φ)＝sinω(x＋ )， 所以y＝sinωx

  7. 1.将函数y＝sin4x的图象向左平移 个单位，得到y＝ sin(4x＋φ)的图象，则φ等于 () A.－ 　　　　　　　　　　　B.－ C. D. 解析：4(x＋ )＝4x＋ . 答案：C

  8. 2.将函数y＝sin(x－ )的图象上所有点的横坐标伸长到原 来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移 个 单位，得到的图象对应的解析式是 () A.y＝sin x B.y＝sin( x－ ) C.y＝sin( x－ ) D.y＝sin(2x－ )

  9. 解析：y＝sin(x－ )的图象 y＝sin( x－ )的图象 y＝sin[ (x＋ )－ ]＝sin( x－ )的图象. 答案：C

  10. 3.已知函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间[0,2π]的图象如 图所示，那么ω＝ () A.1 B.2 C. D.

  11. 解析：由图象可知，函数周期T＝π，ω＝ ＝2. 答案：B

  12. 4.一半径为10的水轮，水轮的圆心距水面7，已知水轮每 分钟旋转4圈，水轮上点P到水面距离y与时间x(s)满足 函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω＞0)，则A ＝，ω＝.

  13. 解析：由已知P点离水面的距离的最大值为17， ∴A＝10， 又水轮每分钟旋转4圈， ∴T＝ ＝15，∴ω＝ . 答案：10

  14. 5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜ ) 的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为.

  15. 解析：由图知：T＝8， ∴ ＝8.∴ω＝ ，A＝2. ∴f(x)＝2sin( x＋φ)，令x＝2， ∴2＝2sin( ＋φ). ∴sin( ＋φ)＝1. ∵|φ|＜ ， ∴φ＝0，∴f(x)＝2sin( x). 答案：f(x)＝2sin x

  16. 1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象在一个周期内的“五点”横向间 距必相等，为 ，于是“五点”横坐标依次为x1＝－ ， x2＝x1＋ ，x3＝x2＋ …这样可以快速地求出“五点” 坐标. 2.y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换最好是先平移再伸缩，每一 次变换都是对自变量而言的，要看自变量的变化，而不 是看角的 变化.

  17. [特别警示]　在实际画图象时，我们一般用“五点作图法”而不用图象变换法.[特别警示]　在实际画图象时，我们一般用“五点作图法”而不用图象变换法.

  18. 作出函数y＝3sin(2x＋ )(x∈R)的简图，并说明它与y＝sinx的图象之间的关系. [思路点拨]

  19. [课堂笔记]　按“五点法”，令2x＋ 分别取0， ，π， ,2π时，x相应取 的值，所对应的五点是函数y＝3sin(2x＋ )，x∈[－ ， ]的图象上起关键作用的五个点.

  20. 列表：

  21. 描点，连线，得图象如图所示： 利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展， 就得到y＝3sin(2x＋ )，x∈R的简图. 从图象可以看出，y＝3sin(2x＋ )的图象，是用下面方法得到的.

  22. 法一：(x→x＋ →2x＋ ) y＝sinx的图象 y＝sin(x＋ )的图象 y＝sin(2x＋ )的图象 y＝3sin(2x＋ )的图象.

  23. 法二：(x→2x→2x＋ ) y＝sinx的图象 y＝sin2x的图象 y＝sin2(x＋ )＝sin(2x＋ )的图象 y＝3sin(2x＋ )的图象.

  24. 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤： (1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝ ，b＝ . (2)求ω，确定函数的周期T， 则ω＝ ， (3)求φ，常用方法有： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).

  25. ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－ ,0)作为突破口.具体如下： “第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝ ；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的 “谷点”)为ωx＋φ＝ ；“第五点”为ωx＋φ＝2π. [特别警示]　当不能确定周期T时，往往要根据图象与y轴 的交点，先求φ.

  26. 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋ φ)＋b(ω＞0，|φ|＜ )的图象的 一部分如图所示： (1)求f(x)的表达式； (2)试写出f(x)的对称轴方程.

  27. [思路点拨]

  28. [课堂笔记](1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小[课堂笔记](1)由图象可知，函数的最大值M＝3，最小 值m＝－1， 则A＝ ， 又T＝2( π－ )＝π，∴ω＝ ＝ ＝2， ∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1， 将x＝ ，y＝3代入上式，得 sin( ＋φ)＝1，

  29. ∴ ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 即φ＝ ＋2kπ，k∈Z，∴φ＝ ， ∴f(x)＝2sin(2x＋ )＋1. (2)由2x＋ ＝ ＋kπ得 X＝ ＋ kπ，k∈Z， ∴f(x)＝2sin(2x＋ )＋1的对称轴方程为 X＝ ＋ kπ，k∈Z.

  30. 保持题目条件不变，(1)如何求f(x)图象的对称中心？保持题目条件不变，(1)如何求f(x)图象的对称中心？ (2)如何求f(x)的单调增区间？ 解：(1)f(x)＝2sin(2x＋ )＋1 令2x＋ ＝kπ，即x＝ 此时f(x)＝ 1,∴函数f(x)图象的对称中心为(－ ＋ π，1)，k∈Z.

  31. (2)－ ＋2kπ≤2x＋ ≤ ＋2kπ. － π＋2kπ≤2x≤ ＋2kπ ∴－ π＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z. ∴函数f(x)的单调增区间为[－ ＋kπ， ＋kπ]，k∈Z.

  32. 三角函数模型应用的程序： 第一步，阅读理解，审清题意，理解问题所反映的实际背景，在此基础上，分析条件和解题目标，提炼出其中的数学问题； 第二步，搜集整理数据，建立三角函数模型.根据搜集到的信息和数据，将实际问题转化为三角函数问题，即实际问题的数学化；

  33. 第三步，利用三角函数的知识解析模型，求得结果；第三步，利用三角函数的知识解析模型，求得结果； 第四步，还原为实际问题的解，即将三角函数模型的结论“翻译”为实际问题的解.

  34. 如图为一个缆车示意图，该缆 车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距 离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与 地面垂直，以OA为始边，逆时针转动 θ角到OB，设B点与地面距离是h. (1)求h与θ间的函数关系式； (2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的时间.

  35. [思路点拨]

  36. [课堂笔记](1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，[课堂笔记](1)以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

  37. 则以Ox为始边，OB为终边的角为θ－ ， 故点B的坐标为 (4.8cos(θ－ ),4.8sin(θ－ ))， ∴h＝5.6＋4.8sin(θ－ ). (2)点A在圆上转动的角速度是 ， 故t秒转过的角度数为 t， ∴h＝5.6＋4.8sin( t－ )，t∈[0，＋∞). 到达最高点时，h＝10.4 m. 由sin( t－ )＝1得 t－ ＝ ，∴t＝30. 答：缆车到达最高点时，用的时间为30秒.

  38. 三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象和性质一直是高考的热点，它的单调性、奇偶性及最值问题都是高考的重中之重且常以解答题的形式综合考查，其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的命题方向.三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象和性质一直是高考的热点，它的单调性、奇偶性及最值问题都是高考的重中之重且常以解答题的形式综合考查，其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的命题方向.

  39. [考题印证] (2009·福建高考)(12分)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜ . (1)若cos cosφ－sin sinφ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于 ，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.

  40. 【解】(1)由cos cosφ－sin sinφ＝0得 cos cosφ－sin sinφ＝0， 即cos( ＋φ)＝0. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ ┄┄┄ (2分) 又|φ|＜ ，∴φ＝ .┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分) (2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋ ). 依题意， ＝ ， 又T＝ ，故ω＝3，∴f(x)＝sin(3x＋ ). ┄┄┄(6分)

  41. 函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)＝sin[3(x＋m)＋ ]，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(8分) g(x)是偶函数当且仅当3m＋ ＝kπ＋ (k∈Z)， 即m＝ ＋ (k∈Z).从而，最小正实数m＝ .┄(12分)

  42. [自主体验] 已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0，0<φ< )的周期为π，且图象上一个最低点为M( ,－2). (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈ 时，求f(x)的最值.

  43. 解：(1)由最低点为M( ，－2)得A＝2. 由T＝π得ω＝ ＝ ＝2. 由点M( ，－2)在图象上得 2sin( ＋φ)＝－2，即sin( ＋φ)＝－1， ∴ ＋φ＝2kπ－ ，即φ＝2kπ－ ，k∈Z. 又φ∈(0， )，∴φ＝ ， ∴f(x)＝2sin(2x＋ ).

  44. (2)∵x∈ ，∴2x＋ ∈ ， ∴当2x＋ ＝ ，即x＝0时，f(x)取得最小值1； 当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f(x)取得最大值 .

  45. 1.(2009·山东高考)将函数y＝sin2x的图象向左平移 个单 位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 () A.y＝cos2xB.y＝2cos2x C.y＝1＋sin(2x＋ ) D.y＝2sin2x

  46. 解析：y＝sin2x图象向左平移 个单位得到y＝sin2(x＋ )＝sin(2x＋ )＝cos2x的图象，再向上平移1个单位得到y＝cos2x＋1＝2cos2x－1＋1＝2cos2x的图象. 答案：B

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