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24.1.3 弧、弦、圆心角

人教版九年级上册. 24.1.3 弧、弦、圆心角. 雁门初中 袁琳. 雁门初中 袁琳. 观察与发现. A. D. O. B. C. 思考:. 圆是中心对称图形吗 ? 它的对称中心在哪里 ?. 圆是中心对称图形,. ·. 它的对称中心是圆心. ·. O. ┓. B. A. C. 弦心距. 圆心到弦的距离(即圆心到弦的垂线段的距离).. A. B. 圆心角∠ AOB 所对的弦为 AB ,所对的弧为 AB 。. ⌒. 概念:. 圆心角 :我们把 顶点在圆心 的角叫做 圆心角. ∠AOB 为圆心角. ·. O.

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24.1.3 弧、弦、圆心角

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  1. 人教版九年级上册 24.1.3 弧、弦、圆心角 雁门初中 袁琳 雁门初中 袁琳

  2. 观察与发现 A D O B C

  3. 思考: 圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里? 圆是中心对称图形, · 它的对称中心是圆心.

  4. · O ┓ B A C 弦心距 圆心到弦的距离(即圆心到弦的垂线段的距离).

  5. A B 圆心角∠AOB所对的弦为AB,所对的弧为AB。 ⌒ 概念: 圆心角:我们把顶点在圆心的角叫做圆心角. ∠AOB为圆心角 · O

  6. 1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。1、判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。 ① ② ③ ④

  7. A · O B 探究: 任意给圆心角,对应出现三个量: 弧 圆心角 弦 疑问:这三个量之间会有什么关系呢?

  8. ⌒ ∴AB=A1B1 ,AB=A1B1 . 如图,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置,你能发现哪些等量关系?为什么? A1 B · B1 O A ∵ ∠AOB=∠A1OB1

  9. ⌒ ∴AB=A1B1 ,AB=A1B1 . 如图,⊙O与⊙O1是等圆,∠AOB =∠A1OB1=600,请问上述结论还成立吗?为什么? B A1 · · · B1 O A O1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1

  10. B O α A α ⌒ ⌒ B1 ∴AB=A1B1 ,AB=A1B1 . A1 归纳: 圆心角定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 几何语言: ∵ ∠AOB=∠A1OB1

  11. 思 考: 1、在同圆或等圆中,如果两条弧相等,你能得什么结论? 2、在同圆或等圆中,如果两条弦相等呢?

  12. O 延伸: 等对等定理 同圆或等圆中,两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等。 B α A α B1 A1

  13. O 等对等定理整体理解: B (1) 圆心角 知一得二 α A (2) 弧 α (3) 弦 B1 A1 前提:同圆或等圆中

  14. 1、如图3,AB、CD是⊙O的两条弦。 (1)如果AB=CD,那么,。 (2)如果弧AB=弧CD,那么,。 (3)如果∠AOB=∠COD,那么,。 (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E, OF⊥CD于F,OE与OF相等吗? 为什么? 巩固:

  15. 弦所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦相等 那么 弦所对的弧相等 弦的弦心距相等 弦心距所对应的圆心角相等 弧所对的圆心角相等 在同圆或等圆中 如果弦心距相等 在同圆或等圆中 如果弧相等 那么 那么 弦心距所对应的弧相等 弧所对的弦相等 弦心距所对应的弦相等 弧所对的弦的弦心距相等

  16. O 等对等定理的延伸: B (1) 圆心角 知一得三 (2) 弧 α A α (3) 弦 (4) 弦心距 B ′ A′

  17. 证明: ∵AB=AC ∴AB=AC,△ABC是等腰三角形   又 ∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形,AB=BC=CA ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC A 例题 O C B ⌒ ⌒ 例1:如图1,在⊙O中,AB=AC,∠ACB=60°, 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC。 ⌒ ⌒

  18. AB=CD 例2:如图,在⊙O中, 11111111AC=BD, , 求∠2的度数。 (已知) 解: ∵ AC=BD ∴ AC-BC=BD-BC (等式的性质) ∴ (在同圆中,相等的弧所对的圆心角相等) ∴ ∠1=∠2=45°

  19. 一题多解 • 例3:如图,已知AB是⊙O的直径,M,N分别是OA,OB的中点,CM⊥AB,DN⊥AB. 求证:

  20. B A o 1 50 C 2 O D 随堂练习 前提条件 1.判断下列说法是否正确: (1)相等的圆心角所对的弧相等。( ) (2)相等的弧所对的弦相等。( ) (3)相等的弦所对的弧相等。( ) (4)等弧所对的弦相等。 ( ) × × × × 2. 如图,⊙O中,AB=CD, ,

  21. 3、如图4,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数。3、如图4,AB是⊙O的直径,BC=CD=DE,∠COD=35°,求∠AOE的度数。 E D C A B O ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 证明: ∵ BC=CD=DE ∴∠COB=∠COD=∠DOE=35° ∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE =750

  22. 4、如图6,AD=BC,那么比较AB与CD的大小. C A O B D ⌒ ⌒ 变式 如图,已知AB、CD为⊙O的两条弦, AD=BC, 求证AB=CD

  23. 5、如图,已知OA、OB是⊙O的半径,点C为AB的中点,M、N分别为OA、OB的中点,求证:MC=NC5、如图,已知OA、OB是⊙O的半径,点C为AB的中点,M、N分别为OA、OB的中点,求证:MC=NC ⌒

  24. 6、如图,BC为⊙O的直径,OA是⊙O的半径,弦BE∥OA,6、如图,BC为⊙O的直径,OA是⊙O的半径,弦BE∥OA, 求证:AC=AE ⌒ ⌒

  25. 7、如图7所示,CD为⊙O的弦,在CD上取 CE=DF,连结OE、OF,并延长交⊙O于点A、 B. (1)试判断△OEF的形状,并说明理由; (2)求证:AC=BD O E F C D B A ⌒ ⌒

  26. 8、如图,等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上,连接OA、OB、OC,延长AO分别交BC于点P,交BC于点D,连接BD、CD.8、如图,等边△ABC的三个顶点A、B、C都在⊙O上,连接OA、OB、OC,延长AO分别交BC于点P,交BC于点D,连接BD、CD. (1)判断四边形BDCO的形状,并说明理由; (2)若⊙O的半径为r,求△ABC的边长 A O P B C D ⌒

  27. 课堂小结 • 1.弧、弦、圆心角关系定理的内容? • 2.运用这个定理时应注意什么问题? • 3.要证明两条弦(线段)相等时,可以采用哪些方法?你能归纳一下吗?

  28. B O α A α B1 A1 归纳: 1、四个元素: 圆心角、弦、弧、弦心距 2、四组相等关系: (1) 圆心角相等 知一推三 (2) 弧相等 (3) 弦相等 (4) 弦心距相等

  29. 小林根据在一个圆中圆心角、弦、弧三个量之间的关系认为在如图中已知∠AOB=2 ∠COD,则有 =2 ,AB=2CD,你同意他的说法吗? ︵ ︵ . AB CD 思维拓展: C D O A B

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