第十四章虚位移原理

第十四章虚位移原理 • 第一节虚位移的基本概念 • 第二节虚位移虚功 • 第三节虚位移原理及应用

第一节虚位移的基本概念 • 约束和约束方程 • 约束的分类 • 自由度 • 广义坐标

自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等等）只取决于作用力和运动的起始条件。其运动称为自由运动。非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些限制条件）其运动称为非自由运动。 • 约束和约束方程约束：非自由质点系受到的预先给定的限制。约束方程：用解析表达式表示的限制条件称为。

在静力学中，考虑的是：如何将约束对物体的限制作用以约束力的形式表现出来。在静力学中，考虑的是：如何将约束对物体的限制作用以约束力的形式表现出来。在虚位移原理中考虑的是：如何将约束对物体的位置、形状以及运动的限制作用，用解析表达式的形式表现出来。

约束的分类 • 几何约束和运动约束 • 定常约束和非定常约束 • 完整约束和非完整约束 • 双面约束和单面约束

几何约束：约束只限制质点或质点系在空间 的位置。运动约束：如果约束对于质点或质点系不仅有位移方面的限制，还有速度或角速度方面的限制，这种约束称为运动约束。几何约束和运动约束

例图13-1中的单摆，摆锤M可简化为一质点，受到水平转轴O和摆杆OM的约束，且在Oxy平面内绕O轴摆动，设摆杆长l，则几何约束方程为方程只与位置r 有关，是几何约束方程。

例图13-2中，一个半径为r的车轮受到粗糙水平直线道路的约束，它限制轮心必须作直线运动，车轮则沿道路纯滚动，它们的约束方程为 yO＝r vO—r＝0 方程中包含了轮心的速度O和车轮的角速度，或轮心坐标xO和车轮转角对时间t的一阶导数，因此这是运动约束方程。

定常约束：约束方程中不显含时间变量t， 这种约束称为定常约束；定常约束和非定常约束非定常约束：显含时间变量t的约束。单摆、车轮的约束，都是定常约束。 vO—r＝0

图13-3为一变长度的单摆，摆锤M可简化为质点，约束它的是一软线。此软线的起始长度为l0 ，穿过固定在O点上的小圆环，以不变的速度v0向左下方拉曳，迫使摆锤M在铅直平面Oxyz内作变摆长的摆动。在任意瞬时t，其约束方程为 x2＋y2＝(l0–v0 t)2 式中显含时间变量t是非定常约束

完整约束:如果在约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者虽然包含坐标对时间的导数，但是它可以积分，转换为有限形式，完整约束:如果在约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者虽然包含坐标对时间的导数，但是它可以积分，转换为有限形式，这种约束称为完整约束。完整约束和非完整约束 vO—r＝0 b是积分常数，由运动的起始条件确定非完整约束: 如果约束方程中包含坐标对时间的导数，此导数还不能转换为有限形式，这种约束称为非完整约束。

约束方程： 约束方程: 双面约束和单面约束双面约束:约束不仅能限制质点在某一方向的运动，还能限制其在相反方向的运动。单面约束:约束只能限制某一方向的运动。单摆如用摆杆约束，则为双面约束；如改用不可伸长的软线约束，则只能限制摆锤沿软线受拉方向的运动，并不能限制摆锤沿软线受压方向的运动，其约束为单面约束方程

自由度 1. 以质点作为质点系的基本单元设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。在直角坐标系中，用3n个坐标来确定n个质点在空间的位置；但该质点系受到s个约束方程的限制。因此，确定该质点系位置的独立坐标的数目，即自由度数k为 k＝3n–s 如果质点系属于平面问题，例如，在Oxy平面内，zi≡0，则为 k＝2n–s

约束数＝ 3 例：曲柄连杆机构：自由质点系：A、B；自由度＝ 2×2 ＝ 4 约束方程：质点系自由度＝ 4 - 3 ＝ 1 质点系自由度＝自由质点系自由度 - 约束（方程）数

2. 以刚体作为基本单元 设某质点系由N个刚体、s个完整约束组成。一般地说，要用3N个线位移坐标（例如直角坐标系的三个直角坐标）和3N个角位移坐标（例如三个欧拉角），共计6N个坐标来确定这N个刚体在空间的位置；同时该质点系还要受到s个约束方程的限制。确定该质点系位置的独立坐标的数目亦即自由度数k为 k＝6N–s 如果质点系属于平面问题，例如在Oxy平面内，zi≡0，x＝y≡0，则为 k＝3N–s

例：自由刚体系：OA、AB； 自由度＝ 3×2 ＝ 6 约束方程：约束数＝ 5 质点系自由度＝ 6 — 5 ＝ 1 质点系自由度＝自由刚体系自由度 - 约束（方程）数

广义坐标 广义坐标：用来确定质点系位置的独立变参量称为广义坐标。若选1和2作广义坐标，则A、B两点的坐标方程为图示平面双摆由刚体OA、AB及铰链O、A组成。 N＝2，s＝4， k＝3×2–4＝2。在完整约束的质点系中，广义坐标的数目等于该系统的自由度数。

设某质点系由n个质点、s个完整约束组成。该系统有k＝3n-s个自由度。若选择 q1，q2，…，qk作为确定此系统位置的k个广义坐标。系统任一质点Mi的坐标可以表示为广义坐标的函数，即矢径的形式为：

第二节虚位移虚功 • 虚位移：在给定位置上，质点或质点系在约束所容许的条件下可能发生的任何无限小位移，称为质点或质点系的虚位移。质点系中第i个质点的虚位移用ri表示理解虚位移有4个要点： ①为约束所容许，即不能破坏系统的约束； ②可能发生的，即假想的，与时间无关； ③所有的，但不止一种； ④无限小，不改变系统位置。

在图 (a)中，设杆AB的虚位移是绕O的微小转动，即由AB转过一个微小角度 到。相应地，杆上A、B两点的虚位移rA、rB是分别以O点为圆心，OA、OB为半径的圆上的一段微小的弦、。由于 是微小的，所以可以认为rA、rB垂直于AB。各点的虚位移的方向如图所示。

图中的杆AB及曲柄OA，若向相反方向转动一个微小角度，也是约束所允许的，在此情况下，整个系统及其中各点将有相反方向的虚位移。

虚位移与实位移的比较

虚位移的表示方法 • 几何法可利用rA及rB在AB上投影相等的条件（虚速度法），求得rA与rB之间的关系

变分得 虚位移 • 解析法双摆A、B两点的实位移，用广义坐标1、2的变分表示为：

或式中，F：力；r：虚位移为力对轴或瞬心P之矩力偶所作的虚功： • 虚功W :作用于质点上的力在该质点的虚位移中所作的元功称为虚功。虚位移是虚设的，为约束所容许的无限小位移，因此虚功也是虚设的元功。

理想约束 理想约束：约束力虚功之和等于零的约束凡是没有摩擦或摩擦力不作功的约束都属于理想约束 • 光滑固定支承面和滚动铰链支座这两类约束的约束力FN总是垂直于力的作用点A的虚位移r，因此其虚功为零。

连接杆AB和AC的光滑铰链所受的力 ，在A点的虚位移所作的虚功 • 光滑固定铰链支座和轴承 • 连接物体的光滑铰链这两种约束在构件和轴出现微小转角的虚位移时约束力的作用点保持不动，因此约束力的虚功之和为零约束力的虚功之和为零

无重刚杆AB连接两个物体，设A和B点的虚位移分别为rA和rB ，则F与的虚功之和为 • 无重刚杆刚杆上A和B点之间的距离不变 W=0 无重刚杆约束力虚功之和为零

F1=F2 • 连接两物体的不可伸长的柔索穿过光滑环C的柔索，其A和B端分别与物体相连接。两个约束力的虚功之和为柔索不可伸长 W=0，即不可伸长柔索的约束力虚功之和为零

刚体在固定面上无滑动的滚动 约束力虚功之和 rA为刚体上A点的虚位移，刚体在固定面上无相对滑动 drA为刚体上A点的微小实位移。所研究的约束是定常约束，在此条件下实位移可转化为虚位移 W=0，刚体在固定面上作无滑动的滚动时，约束力的虚功之和为零

第三节虚位移原理及应用 虚位移原理的矢量表达式直角坐标系的投影表达式虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等于零。设任意质点Mi上的主动力和虚位移分别为Fi和ri

虚位移原理一般可用来分析以下两类平衡问题 • 已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置用虚位移原理处理刚体或刚体系统的平衡问题则有所不同，它毋需解除约束，只有在需要求解约束力（包括内力）时才解除相应的约束。它以整个系统为研究对象，根据约束的性质，分析整个系统可能产生的运动，建立该系统在已知位置上的虚功方程，就可求出未知数。 • 已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力在此情况下，需要解除对应的约束，用相应的约束力代替，使待求的内力或约束力“转化”为主动力。

已知质点系处于平衡状态，求主动力之间的关系或平衡位置

例13-1 图a所示顶重装置中，OA=AB=l。若在点A作用水平力F，试求当AOB=θ时所能顶起的重物重量W。解：设机构发生虚位移，如图b所示。因为AB为刚体杆，所以，若rA沿右上方，则rB的方向必为铅垂向上。则由虚位移原理

由于AB杆作平面运动，可用求实位移的方法求同一质点虚位移之间的关系.点的实位移与其速度成正比即由于AB杆作平面运动，可用求实位移的方法求同一质点虚位移之间的关系.点的实位移与其速度成正比即 drA=vAdt, drB=vBdt, 平面运动刚体AB的速度瞬心C* rA≠0

例13-2 如图13-15所示，在螺旋压榨机的手柄AB上作用一在水平面内的力偶(F,F)，其力偶矩等于2Fl。设螺杆的螺距为h，求平衡时作用于被压榨物体上的压力。解：研究以手柄、螺杆和压板组成的平衡系统。若忽略螺杆和螺母间的摩擦，则约束是理想的。作用于平衡系统上的主动力为：作用于手柄上的力偶(F, F)，被压物体对压板的约束力FN

给系统以虚位移，将手柄按顺时针转向转动极小角虚位移j，于是螺杆和压板得到向下位移z。由虚位移原理给系统以虚位移，将手柄按顺时针转向转动极小角虚位移j，于是螺杆和压板得到向下位移z。由虚位移原理对于单头螺纹，手柄AB转一周，螺杆上升或下降一个螺距所求的压力与约束力FN的大小相等、方向相反

变分得 例13-3 图示的平面双锤摆中，摆锤A、B各重P1及P2，摆杆各长l1和l2，设在B点上加一水平力F1以维持平衡，不计摆杆重量，求摆杆与铅垂线所成的角j1及j2。解：若选1和2作广义坐标，则A、B两点的坐标方程为

根据虚位移原理 将是dxA, dxB,dyB代入上式得 dj1≠0和dj2≠0 以上解法利用虚位移原理的解析投影式及求虚位移的变分法，故而此法称为解析法。但应注意所选坐标系必须是静坐标系。

已知质点系处于平衡状态，求其内力或约束力

H  例13-4 在图示的机构中，各杆之间均用铰链连接，杆长AE＝BD＝2l，DH＝EH＝l。D、E之间连一弹簧，弹簧刚度系数为k，弹簧的原长为l。杆和弹簧的自重及各处的摩擦均不计。今在铰链H上施加一铅直向下的力FH，并使该机构处于静止平衡状态，试确定力FH与杆件、水平线的夹角之间的关系。解：取为广义坐标。因为弹簧 DE不是理想约束，求解时应解除弹簧约束，用相应的弹性力F、F代替，并视之为主动力，如图(b)所示。

变分得 根据虚位移原理：主动力作用点的坐标为弹簧DE在图示位置的长度为2lcos，其原长为l，伸长量＝2l cos –l＝(2cos–1)l，于是弹簧作用于D、E上的拉力的大小为

由于虚位移是假想中的位移，它的给出不会引起弹簧的真实长度的任何变化。也就是说，在虚位移中，弹性力的大小是不变的，因此，弹性力的虚功应按常力来计算，这与实位移中弹性力的元功的计算方法有本质上的区别。代入得该机构静止平衡时，力FH与角应满足的条件

例13-5 图示滑块D和弹簧套在光滑直杆AB上，并带动杆CD在铅直滑道上滑动。已知＝0时，弹簧等于原长，弹簧刚度系数为5kN/m。求在任意位置角平衡时，应加多大的力偶M？解：解除弹簧约束，用弹性力F、F 代替，设机构发生虚位移

N·m 根据虚位移原理 D点的虚位移几何关系应满足点的合成运动的几何关系在求解虚位移之间的关系时，主要是利用了点的合成运动中有关速度的概念。所以此法称为虚速度法。

例13-6 如图a所示连续梁，其截荷及尺寸均为已知。试求A、B、C三处的支座反力。解：图a所示连续梁由于存在多个约束而成为没有自由度的结构。为用虚位移原理求约束力。可解除求其约束力的约束而代之以约束力，从而使结构获得相应的自由度。

1.求支座D处的约束力 如图b示，解除支座D约束，代之以约束力FD，系统具有一个自由度。给系统以虚位移dq，根据虚位移原理

解除支座B约束，代之以约束力FB（图c），给出虚位移dj ,根据虚位移原理 dj≠0 2、求支座B处的约束力

3、求支座A处的约束力 解除支座A约束，代之以约束力FAx及FAy（图d），系统具有二个自由度。可给出系统的一组虚位移为dx及dj。设先给系统一组虚位移dx≠0，dj =0，则由虚位移原理：再给系统一组虚位移dx＝０，dj≠0

例13-7 图示为三铰拱支架，求由于不对称载荷F1和F2作用在铰链B处所引起的水平约束力FBx。解：为了求出B点的水平约束力FBx，首先解除铰链B水平方向的约束而成为可动的铰链支座，并以约束力FBx代替其约束，如图 (b)所示，

第十四章 虚位移原理