1 / 28

Stabiilsus

Stabiilsus. Olgu mittelineaarne dünaamiline süsteem antud kujul. kus x(t) n x 1 olekuvektor f n x 1 mittelineaarne vektorfunktsioon. maatrikskujul. – mitteautonoomne süsteem. – autonoomne süsteem. n – süsteemi järk. x(t) – olekutrajektoor.

aldon
Download Presentation

Stabiilsus

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Stabiilsus Olgu mittelineaarne dünaamiline süsteem antud kujul kus x(t) nx1 olekuvektor f nx1 mittelineaarne vektorfunktsioon. maatrikskujul – mitteautonoomne süsteem – autonoomne süsteem n – süsteemi järk x(t) – olekutrajektoor

  2. Tasakaaluolukord (equilibrium states) on olekud, mille puhul kõik olekumuutujad rahuldavad tingimusi Tähistame tasakaaluoleku – xe. Olgu xe isoleeritud tasakaaluolek st. tema ümbruses teisi tasakaaluolekuid ei ole. Tasakaaluolek xe on stabiilne parajasti siis, kui iga algoleku x0 puhul, mis asub xe ümbruses, lahend x [ x0,t ] on xe ümbruses.

  3. Definitsioon Tasakaaluolek xe on stabiilne, kui iga R>0 leidub r>0 selline, et // x(t0)-xe // < r, siis // x[x(t0),t]-xe // < R kõikide t ≥ t0 puhul. 1 – stabiilne 2 – asümptootiliselt stabiilne 3 - mittestabiilne 2 ● Sr xe ● x(t0) 1 SR 3

  4. Kokkuvõte lineariseerimisest mittelineaarne lineaarne mittestatsionaarne lineaarne statsionaarne

  5. Teoreem Ljapunovi esimene (lineariseerimise) meetod 1. Lineariseeritud süsteem on stabiilne, kui maatriksi A omaväärtused asuvad s tasandil vasakus pooltasandis. Tegeliku mittelineaarse süsteemi tasakaaluolek on asümptootiliselt stabiilne. 2. Lineariseeritud süsteem on mittestabiilne, kui vähemalt üks A omaväärtustest asub s tasandil paremas pooltasandis. Tegeliku mittelineaarse süsteemi tasakaaluolek on mittestabiilne. 3. Lineariseeritud süsteem on neutraalselt stabiilne, kui vähemalt üks A omaväärtustest asub s tasandi iω teljel. Tegeliku mittelineaarse süsteemi tasakaaluolek võib olla stabiilne, asümptootiliselt stabiilne või mittestabiilne.

  6. Mõned z-teisendused: Pidev Diskreetne x(k), k ≥ 0 x(t), t ≥ 0 z=esh, h-diskreetimissamm s z R=1 alati alati ei saa !

  7. Juhitavus, Jälgitavus Juht- arvuti Süsteem Juhitavus (A,B) Definitsioon (juhitavus) Süsteem (A,B) on täielikult juhitav parajasti siis, kui on võimalik selline juhttoime u(t), mis viib süsteemi algolekust x(0) suvaliselt valitud lõppolekusse x(T) etteantud aja T>0 jooksul.

  8. Juhitavuse kriteeriumid Süsteem (A,B) on täielikult juhitav, kui maatriksi astak on n. rank QC = n, kus n = dim[x(t)] Diskreetne süsteem:

  9. Jälgitavus Definitsioon (jälgitavus) Süsteem (A,C) on täielikult jälgitav parajasti siis, kui algolek x(0) on määratav väljundi vaatluste alusel vahemikus 0  t  T. Jälgitavuse kriteeriumid: 1. (A,C) on täielikult jälgitav, kui maatriksi astak on n. rank Q0 = n, kus n = dim[x(t)] Diskreetne süsteem:

  10. Juhitavuse ja jälgitavuse rakendused Juhtimissüsteem: süsteem tagasiside u(t)= -Kx(t) Olgu süsteem (A,B) täielikult juhitav Mida juhtimissüsteem peab tegema? Sisuliselt stabiliseerimissüsteem, hoiab süsteemi olekus

  11. tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand. Karakteristlik polünoom * kus • tagasisidestatud süsteemi (soovitavad) omadused on antud φ(s) • kujul; 2) võrrandist * leitakse tagasisidemaatriks K.

  12. Diskreetaja süsteemi variant: täielikult juhitav tagasiside tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand karakteristlik polünoom ? antud arvutatakse ?

  13. Jälgimissüsteem: täielikult jälgitav u(t) y(t) kus Võrrand on tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand

  14. NB! Vabaliikumise võrrandi karakteristlik polünoom antud karakteristlik polünoom (soovitud omadused) ? Sisuliselt L on tagasisidemaatriks.

  15. Diskreetaja süsteemi variant: Süsteem: Olekutaastaja (olekuhindaja): Tagasisidestatud süsteemi vabaliikumise võrrand - antud ?

  16. Näide No.1 Antud: 1) 2) 3) tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom (finiitne süsteem) ! Leida: 1) K; 2) Analüüs Lahendus: 1) Juhitavuse kontroll 2) K arvutus ?

  17. 3) Analüüs 

  18. Näide No.2 Antud: 1) 2) u(t) = -Kx(t) 3) tagasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom Leida: 1) K 2) Tagasisidestatud süsteemi analüüs:

  19. Lahendus: 1) Juhitavuse kontroll täielikult juhitav 2) K arvutus

  20. 3) Analüüs x(0) m.o.t.t.

  21. Näide No.3 Pidevaja jälgimissüsteem Antud: 1) 2) 3) Tadasisidestatud süsteemi karakteristlik polünoom (soovitud omadused) Leida: 1) L 2) analüüsida süsteemi

  22. Lahendus: 1. Jälgitavuse kontroll Veenduge, et antud süsteem on täielikult jälgitav!? 2. Tagasisidemaatriksi L arvutus ? vt. Näide No.1 ja võrdle !? K=LT

  23. Kontroll: 3. Analüüs

  24. Kontrolliks kasutame veel piirväärtusteoreeme. m.o.t.t.

  25. Näide No.4 Diskreetaja jälgimissüsteem Antud: 1) 2) 3) Karateristlik polünoom Leida: 1) L 2) Analüüsida tagasisidestatud süsteemi ?

  26. Lahendus: 1. Jälgitavuse kontroll Veenduge, et antud süsteem on täielikult juhitav. 2. Tagasisidemaatriksi L arvutus kus

  27. Kontroll: 3. Analüüs k=0 k=1 

More Related