統計學

統計學 楊志強博士 cyang@tea.ntue.edu.tw http://tea.ntue.edu.tw/~cyang

統計量數Statistical Measures

集中趨勢量數 Measures of Central Tendency

平均數（Mean） • 母體： • 樣本： • 所有資料皆列入計算 • 易受其極端值（Extreme Value）影響 • 離差（Deviation）之和為零 • 離差平方和為最小

中位數（Median，Me） • n是奇數時： • n是偶數時： • 不受極端值影響。 • 敏感度不夠。

眾數（Mode，Mo） • 一組資料中出現最多的數值。 • 不受極端值影響。 • 不具唯一存在特性。

相對地位量數 Measures of Relative Position

百分位數（Percentile，Pk） • 將資料依大小排序並分割成100等分（即有99個等分點），每個等分點則為百分位數。 • 計算步驟： • 排序由小而大：X1,X2,X3…Xi • i有小數，無條件進一。 • i為整數，則取i與i+1的數值平均值。

四分位數（Quartile，Qk） • 第一四分位數（First/Lower-Quartile） • 第二四分位數（Second-Quartile） • 第三四分位數（Third/Upper-Quartile）

差異量數 Dispersion Measures

全距（Range） • 易於計算 • 易受最大與最小值影響 • 無法測出中間各觀察值間的差異情形

四分位差（Quartile Deviation， QD） • IQR為四分位距（Interquartile-Range） • 較不受極端值影響 • 只考慮50%的資料 • 若以中位數為一組資料集中趨勢量數，則輔以四分位差來代表其差異情形。

變異數（Variance） • 母體： • 樣本： • 變異數小，代表大部分數值集中於平均數附近，平均數代表性高；反之，平均數代表性低。 • 每個觀察值皆列入計算，敏感度高。 • 易受極端值影響。 • 若以平均數為一組資料的集中趨勢量數，則輔以變異數或標準差來代表其差異情形。

標準差（Standard Deviation） • 母體： • 樣本： • 變異數單位為平方，較難解釋；開平方根得標準差，使單位還原。 • 特性與變異數相同。

以統計量數診斷資料分配的型態

中位數、眾數與平均數間的位置關係 • 對稱（Symmetrical）分配 • 右偏（Positively Skewed， Skewed to the Right）分配 • 左偏（Negatively Skewed， Skewed to the Left）分配

盒鬚圖（Box-and-Whisker Plot） 盒狀圖（Box Plot）

以盒鬚圖檢視界外值 1.5IQR 1.5IQR 3IQR 3IQR • 1.5IQR為內圍值（Inner Fence） • 3IQR為外圍值（Outer Fence） • 觀察值落在內、外圍值之間，稱為平穩界外值（Mild outlier） • 觀察值落在外圍值之外，稱為極端界外值（Extreme outlier）

常見的資料分配

標準常態分配 • Z～N(0,1) • 以μ為中心，兩邊完美對稱。 • 平均數、中數、中位數同為0。 • 完美鐘型（bell-shaped）。

常態分配 • x～N(μ,σ2) • 分配形狀為鐘型。 • 以平均數為中心，兩邊完全對稱。 • 標準化公式：

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