第 5 课时等差、等比数列的应用（二）

第5课时等差、等比数列的应用（二） • 要点·疑点·考点 • 课前热身 • 能力·思维·方法 • 延伸·拓展 • 误解分析

要点·疑点·考点 1.涉及到利息、产量、价格、分期付款等实际问题均可以转化为相应的数列问题，建立数列模型时应明确是等差数列还是等比数列模型，还是递推数列模型？要弄清是求Sn还是an？项数n是多少？ 2.单利公式—等差数列利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为 y=a(1+xr) 3. 复利公式---等比数列按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和为 y=a(1+r)x 4.增减率---等比数列原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的产值 y=N(1±p) x

课前热身 1.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去一个…，按此规律，6小时后细胞存活的个数是( ) (A)63 (B)65 (C)67 (D)71 B 2.某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是a元，则现在的成本是( ) (A)a(1+q%)3元 (B)a(1-q%)3元 (C)a(1-q%)-3元 (D)a(1+q%)-3元 C 3.某债券市场发行的三种债券：A种面值100元，一年到期本利共获103元．B种面值50元，半年到期，本利共50.9元，C种面值为100元，但买入时只需付97元，一年到期拿回100元，则三种投资收益比例便从小到大排列为( ) (A)BAC  (B)ACB (C)ABC (D)CAB B

4.国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为4.国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为，各种类型家庭的n如下表所示： n= ×100% 食品消费支出总额消费支出总额家庭类型贫困温饱小康富裕最富裕 n n＞60% 50%＜n≤60% 40%＜n≤50% 30%＜n≤40% n≤30% 根据某市城区家庭抽样调查统计，1998年初至2002年底，每户家庭消费支出总额每年平均增加680元，其中食品消费支出总额每年平均增加100元.1997年底该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为8600元，则该市城区家庭达到富裕的是( ) (A)1999年底 (B)2000年底 (C)2001年底 (D)2002年底 D

5.某林场年初有森林木材存量S m3，木材以每年25%的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量为 x m3.为实现经过2次砍伐以后木材存量增长50%，则x的值应是( ) (A) (B) (C) (D) C 6.某同志为了支持2008年“北京奥运”，决定从2003年起，每年的7月1日在银行存入一年期定期存款a 元，并开通自动转存业务，若年利率为r 保持不变，问该同志到2008年7月1日将所有存款及利息取回，他应该得到多少元？返回

能力·思维·方法 1.一梯形的上、下底长分别是12cm，22cm，若将梯形的一腰10等分，过每一个分点作平行于底边的直线，求这些直线夹在两腰之间的线段的长度的和. 【解题回顾】本题若不认真审题，易误认为答案是187cm，即将梯形的上、下底也算在了其中.

2.某电子管厂，2001年全年生产真空电子管50万个，计划从2002年开始，每年的产量比上一年增长20%，问从哪一年开始，该厂的真空电子管年产量超过200万个? 【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-1×50≤200.

3.某村2002年底全村共有1000人，全年工农业总产值为840万元. (1)若从2003年起该村每年的工农业总产值较上年增加14万元，每年人口较上年净增数相同，要使该村人均产值年年都增长，那么该村每年人口的净增数不能超过多少人? (2)若从2003年起该村每年工农业总产值较上年增长10%，每年人口较上年净增10人，则到2012年该村能否实现年人均产值较2002年翻一番的经济发展目标?

4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长，但每年年底要砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴，问：4.某林场去年有木材贮量2万m3，从今年开始，林场加大了对生产的投入量，预测林场的木材贮量将以每年20%的速度增长，但每年年底要砍伐1000m3的木材出售作为再生产的资金补贴，问： (1)多少年后木材贮量达到翻番的目标? (2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标?

延伸·拓展 5.某下岗职工准备开办一个商店，2000年初向银行贷款若干，这笔贷款按复利计算(即本年利息计入下一年的本金生息)，年利率为q(0＜q＜1).据他计划从2001年初开始每年偿还A元，分30年还清. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元? 【解题回顾】本例是生活中与数列有关的应用问题.必须认真审题，弄清题意，解决问题的关键在于理解复利的概念及其运算，养成运用数学的意识. 返回

5. ①求贷款金额； ②若贷款后前7年暂不偿还，从第8年开始，每年偿还A元，仍然在贷款后30年还清，试问：这样一来，贷款金额比原贷款金额要少多少元?

则由题 100n + ≥3250　　　　例6、某地区有荒山 3250 亩，2000 年春季在荒山植树100 亩，以后每年春季植树面积都比上一年多 50 亩，直到荒山全部绿化为止。（1）若所植树木全部成活，问到哪一年春季可将荒山全部绿化？（2）若新植树木的每亩木材量为2立方米，树木的每年自然增长率为20%，那么到荒山全部绿化时，该山的木材总量为 S，试写出S 的表达式。（3）若 1. 29 ≈ 5.16，计算S ( 精确到 1 立方米 ) 解：（1）设植树 n 年可将荒山全部绿化，因为每年春季的植树面积构成等差数列{an}

（2）设从2000 年春季开始，第n年春季的木材总量为Sn ，则2000年春季的木材量为200m 3，到2009年春季该木材量则自然增长为 200×1.2 9m 3 2001年春季所植树木材量300m 3 ，到2009年春季变为木材量为 300×1.2 8m 3， 2002年春季所植树木材量400m 3 ，到2009年春季变为木材量为 400×1.2 7m 3，……. 2008年春季所植树木材量1000m 3 ，到2009年春季变为木材量为 1000×1.2m 3，则到2009年春季所植树木材总量为 S =S10 = 200×1.2 9 + 300×1.2 8 + 400×1.2 7 + …… + 1000×1.2 +1100 ( m 3 ) （3）用错位相减法可求 S=S10 ≈ 13172 ( m 3 )

巩固练习 1.零存整取是一种存款方式，设某人每月第一天存入银行100元，一年后取出全部本金和利息，已知月利率为0.165%，利息税率为20%，问此人应取得的本利和是多少？（按单利计算）分析：利息为100× 0.165% ×12+ 100× 0.165% ×11 +…..+100× 0.165% ×2+ 100× 0.165% ×1 = 100× 0.165% ×（1+2+…+12）=12.87 又税率为20%，所以应纳税12.87 ×20% 所以此人应取得的本利和是1200+12.87 ×80% 2.十*五期间，某工厂生产总值的月平均增长率为P，求该厂生产总值的年平均增长率。返回

误解分析 1.数列应用题的误解往往是由审题不清，误解题意引起的，因此仔细审题，准确地找出模型是解题关键. 2.数列应用题的计算往往较复杂，需认真仔细. 返回

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