מודלים של שיווי משקל לצורכי תכנון תחבורה

1. מודלים של שיווי משקללצורכי תכנון תחבורה הלל בר-גרא המחלקה להנדסת תעשייה וניהול אוניברסיטת בן-גוריון בנגב

2. תכנית ההרצאה • מודלים לצורכי תכנון תחבורה • חשיבות דיוק החישוב לצורך השוואה בין תרחישים • עקביות בקביעת קבוצת המסלולים שבשימוש ובחלוקת הזרימה בין המסלולים

3. מודלים לצורכי תכנון תחבורה הציפיות ממודלים לתכנון תחבורה: • חיזוי סביר של תפקוד מערכת התחבורה בעתיד הקרוב (שנה שנתיים) והרחוק (20-50 שנה). • הערכה סבירה של ההשפעה של החלטות שונות (תרחישים) על תפקוד מערכת התחבורה. מודל לצורכי תכנון תחבורה: מערכת (ממוחשבת) לחיזוי התפקוד של מערכת התחבורה בתסריטים שונים. המטרה של מודלים לצורכי תכנון תחבורה: סיוע בתהליך קבלת ההחלטות בשלבי תכנון שונים.

4. כיצד נמדד דיוק של מודל? • דיוק חיזוי (accuracy) – התאמה בין תחזיות המודל לבין ההתרחשויות בפועל. • דיוק מבני – מידת הפירוט בה מבנה המודל תואם למציאות ולמאפייניה המורכבים. • יציבות/הדירות – שינויים קטנים בהנחות מובילים לשינויים מתאימים בתוצאות. • דיוק החישוב (precision) – דיוק התוצאות בהנחה שהנתונים של המודל נכונים.

5. מודלים של שיווי משקל • המערכת כוללת מספר מקבלי החלטות. • ישנן השפעות הדדיות בין מקבלי ההחלטות השונים. • במצב שיווי משקל אין לאף אחד ממקבלי ההחלטות סיבה לשנות את החלטתו. • הנחה: רוב הסיכויים למצוא את המערכת בקירוב במצב שיווי משקל. מודלים שלשיווי משקל מתמקדים באפיון התנאים שאמורים להתקיים במצב שיווי משקל. מודלים של תהליכים מתמקדים באופן התפתחות המערכת.

6. גידול האוכלוסייה בהירושימה ונגסקי Reproduced from Davis and Weinstein, 2002

7. דוגמא – כביש 6 • מטרת המודל: חיזוי מספר המשתמשים בכביש אגרה. • מבוסס על סקרי "נכונות לשלם" של כ-800 נהגים. • מספר המשתמשים בשנת 2004 הגיע לכ-85% מהתחזית. • התחזית מבוססת על מיצוע של מודלים מלאים לשנים 2000 ו – 2010. • המודל לשנת 2010 כולל את כל אורך הכביש אחוזם-אליקים, וכן את כל כבישי הרוחב והגישה. • המודל מבוסס על האגרה הבסיסית, ללא תוספת הגביה ללקוחות מזדמנים ולמנויי וידאו.

8. מודל בחירת מסלולים: שיווי משקל המשתמשים “The journey times on all the routes actually used are equal, and less than those which would be experienced by a single vehicle on any unused route.” (Wardrop, 1952) • כל משתמש מעוניין לבחור במסלול הקצר ביותר,בהתאם לתנאי העומס ברשת הכבישים הנוצרים מבחירת המסלולים של כלל המשתמשים. • במצב שיווי משקל, זמן הנסיעה בכל מסלול שבשימוש אינו ארוך יותר מזמן הנסיעה בכל מסלול חלופי.

9. מדד דיוק במודל בחירת המסלולים

10. מהו הדיוק (precision) הדרוש? מקרה לדוגמה: • במטרופולין פילדלפיה נשקלה האפשרות לקשר בין שני כבישים מהירים I-295 ו SR-42. • בהתחשב במרכזיות הכבישים, צפויה השפעה על נפחי התנועה בסביבה. • על המודל להיות מדויק מספיק בכדי לקבוע מהו טווח ההשפעה של הפרוייקט. • זהו מקרה קלאסי של ניתוח עם/בלי פרוייקט, אשר אופייני לרשויות תכנון תחבורה ברחבי העולם.

29. 1 r'1 r1 r'2 2 3 4 5 r2 6 7 9 8 10 ריבוי פתרונות זרימה במסלולים למודל שיווי המשקל אם נעביר כמות זרם  ממסלול r1 למסלול r’1 וממסלול r2 למסלול r’2 , סך הזרם בכל צלע יישמר, זמני הנסיעה לא ישתנו, ולכן "הצרחת" זרם מסוג זה לא משפיעה על תנאי שיווי המשקל.

32. 1 r'1 r1 r'2 2 3 4 5 r2 6 7 9 8 10 מציאת חלופות בסיסיות ניתן לנתח את כל פתרונות שיווי המשקל על ידי זיהוי קבוצה של חלופות בסיסיות. במקרה הזה החלופה הבסיסית היא בין המקטע [4,5,7] לבין המקטע [4,6,7]. זהו ההבדל בין r1 לבין r’1 , וגם בין r2 לבין r’2 .

33. דוגמא לקבוצה של 8 מסלולי שיווי משקל

34. חלופות בסיסיות בקבוצת מסלולים C A B E D E D

35. מספר מסלולי שיווי המשקל ומספר החלופות הבסיסיות ברשתות שונות network #OD pairs #basic alt. #routes Sioux Falls 528 35 770 Barcelona 7,922 74 11,309 Winnipeg 4,345 138 9,880 Tucson 366,087 284 1,568,387 C. sketch 93,513 270 127,248 C. regional 2,297,945 5,101 93,026,895

36. הצרחת זרם אלמנטרית הצרחת זרם בין שני זוגות מסלולים הנבדלים באותה חלופה בסיסית נקראת הצרחה אלמנטרית.

37. סיווג הצרחות בסיסיות within between network origin origins core total Sioux Falls 138 70 5 213 Barcelona 2,351 962 1 3,314 Winnipeg 2,455 2,942 0 5,397 Tucson 1,179,105 22,911 8 1,202,024 C. sketch 27,261 6,204 4 33,469 C. regional 89,822,183 901,656 92 90,723,931 elementary

38. 1 r'1 r1 r'2 2 3 4 5 r2 6 7 9 8 10 חלוקת זרם עקבית בהצרחה אלמנטרית חלוקת זרם בהצרחה אלמנטרית נקראת עקבית אם אותו יחס נשמר בשני זוגות המסלולים. למשל:

39. עקביות בקבוצת המסלולים ובחלוקת הזרם ביניהם • תנאי העקביות בחלוקה של זרם בין מסלולים שקול למציאת חלוקת הזרם בעלת האנטרופיה המקסימאלית, אשר נחשבת לחלוקה ה"סבירה ביותר". • בהינתן קבוצת מסלולים חלקית, הצרחה עלולה להיות חסומה אם המסלולים ה"מקוריים" נכללים בקבוצה, אבל אחד המסלולים החלופיים לא כלול בקבוצה. • קבוצת מסלולים חלקית ללא "חסימות" נקראת קבוצה עקבית. מציאת קבוצת מסלולים עקבית היא תנאי ראשוני למציאת חלוקה עקבית של הזרם בין המסלולים.

40. מציאת פתרונות עקביים ברשתות שונות

41. מסקנות • מודלים של שיווי משקל הם כלי שימושי בתכנון תחבורה • אלגוריתמים חדשים מאפשרים: • מציאת פתרונות מדויקים ויציבים. • מציאת קבוצת מסלולי שיווי המשקל. • מציאת חלוקת זרם עקבית בין המסלולים. • טיפול במודלים משולבים של בחירת מוצא יעד אמצעי ומסלול.