1 / 21

Platónova tělesa

Platónova tělesa. Pravidelné mnohostěny. Konvexní mnohostěn Všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky (K-úhelníky) V každém vrcholu se stýká stejný počet hran (L hran). Jaké pravidelné mnohostěny mohou existovat. V … počet vrcholů S … počet stěn H … počet hran

alicia
Download Presentation

Platónova tělesa

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Platónova tělesa

  2. Pravidelné mnohostěny • Konvexní mnohostěn • Všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky (K-úhelníky) • V každém vrcholu se stýká stejný počet hran (L hran)

  3. Jaké pravidelné mnohostěny mohou existovat • V … počet vrcholů • S … počet stěn • H … počet hran • Pro každý konvexní mnohostěn platí Eulerova formule V + S = H +2

  4. Existence pravidelných mnohostěnů • Dále platí vztahy z podmínek pro pravidelnost mnohostěnu • K.S = 2.E S = 2E/K • L.V = 2.E V = 2E/L • Po dosazení do Eulerovy formule 2E/L + 2E/K = E +2 1/L + 1/K = 1/E + 1/2

  5. Jaká čísla K,L,E vyhoví vztahu 1/K+1/L = 1/E +1/2 • K a L jsou celá čísla větší nebo rovna 3 • Pro K = 3 • L=3, E=6: 1/3+1/3 = 1/6+1/2 • L=4, E=12: 1/3+1/4 = 1/12+1/2 • L=5, E=30: 1/3+1/5 = 1/30+1/2 • Pro L=>6 nelze vyhovět • Pro K = 4 • L=3, E=12: 1/4+1/3 = 1/12+1/2 • Pro L=>4nelze vyhovět • Pro K = 5 • L=3, E=30: 1/5+1/3 = 1/30+1/2 • Pro L=>4nelze vyhovět • Pro K => 6 nelze vyhovět ani pro L=3

  6. Důkaz neexistence více než 5ti pravidelných mnohostěnů • Z výše uvedených rovnic vyplývá, že nemohou existovat jiné pravidelné mnohostěny, než následující • Ještě není jasné, zda taková tělesa opravdu existují, musíme je zkostruhovat

  7. Pravidelný 4 stěn • Má 4 3-úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

  8. Pravidelný 4 stěn • Má 4 3-úhelníkové stěny, 4 vrcholy, v každém 3 hrany, celkem 6 hran

  9. Pravidelný 8 stěn • Má 8 3-úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

  10. Pravidelný 8 stěn • Má 8 3-úhelníkových stěn, 6 vrcholů, v každém 4 hrany, celkem 12 hran

  11. Pravidelný 20 stěn • Má 20 3-úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

  12. Pravidelný 20 stěn • Má 20 3-úhelníkových stěny, 12 vrcholů, v každém 5 hran, celkem 30 hran

  13. Pravidelný 6 stěn • Má 6 4-úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

  14. Pravidelný 6 stěn • Má 6 4-úhelníkových stěny, 8 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 12 hran

  15. Pravidelný 12 stěn • Má 12 5-úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

  16. Pravidelný 12 stěn • Má 12 5-úhelníkových stěny, 20 vrcholů, v každém 3 hrany, celkem 30 hran

  17. Souřadnice vrcholůpravidelný 6 stěn, krychle • (±1, ±1, ±1) • A(1,1,1) B(-1,1,1) C(-1,-1,1) D(1,-1,1) E(1,1,-1) F(-1,1,-1) G(-1,-1,-1) H(1,-1,-1) • Stěny ABCD, EFGH, ABFE, BCGF, CDHG, DAEH

  18. Souřadnice vrcholůpravidelný 4 stěn, tetrahedron • A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) D(1,1,1) • Stěny ABC, ABD, BCD, ACD

  19. Souřadnice vrcholůpravidelný 8 stěn, octahedron • (±1,0,0) (0, ±1, 0) (0,0, ±1) • A(1,0,0) B(-1,0,0) C(0,1,0) D(0,-1,0) E(0,0,1) F(0,0,-1) • Stěny ACE, AED, ADF, AFC, BCE, BED, BDF, BFC

  20. Souřadnice vrcholůpravidelný 12 stěn, dodecahedron • Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 „zlatý řez“ • (±1, ±1, ±1) (0, ±1/Φ, ±Φ) (±1/Φ,±Φ,0) (±Φ,0, ±1/Φ)

  21. Souřadnice vrcholůpravidelný 20 stěn, icosahedron • Φ = (1+√5)/2 ≈ 1.618 „zlatý řez“ • (±1, ±Φ, 0) (0,±1, ±Φ) (±Φ, 0, ±1)

More Related