Intuizione:

1. Intuizione:

2. Calcolare • Calcolare il limite Come usare il Teorema dell’esperto T(n) = aT(n/b)+f(n) • Togliere eventuali arrotondamenti per eccesso o per difetto • Se il limite è finito e diverso da 0 siamo nel Caso 2 e

3. Se il limite è 0 potremmo essere nel Caso 1. Per esserne sicuri occorre trovare un valore positivo ε per il quale risulti finito il limite • nel qual caso possiamo concludere • Se per ogniε positivo tale limite risulta infinito il teorema dell’esperto non si può usare.

4. Se il limite è ∞potremmo essere nel Caso 3. Per esserne sicuri occorre trovare un ε positivo per il quale risulti diverso da 0 il limite Se è 0 per ogniε positivo non si può usare il teorema dell’esperto. Altrimenti prima di concludere bisogna studiare la disequazione a f(n/b) ≤k f(n)

5. Se tale disequazione è soddisfatta per qualche costante k strettamente minore di 1 e per tutti i valori di n da un certo valore N in poi possiamo concludere che Altrimenti il teorema dell’esperto non si può usare.

6. siccome e quindi possiamo applicare il Caso 2 e concludere Esempi: Trascurando gli arrotondamenti entrambe sono della forma: Con a=b=2 ed f(n)=(n)

7. In questo caso e quindi Se Per e si applica il Caso 1 Quindi Esempio: Caso 1? e

8. In questo caso e quindi e Se Per e Quindi Inoltre Si applica il Caso 3: Esempio: Caso 3?

9. ma e quindi per qualunque ma e quindi non esiste nessun k < 1 tale che per ogni n > N Esempio: Dunque non si può usare il metodo dell’esperto. Neanche la seconda condizione è soddisfatta

10. Quicksort (A,p,r) // Complessità media ifp < rthen q=Partition(A,p,r) Quicksort(A,p,q-1) Quicksort(A,q+1,r)

11. Per n = 2 Per n > 2 e dunque Per n > 1 e moltiplicando per n otteniamo

12. ponendo otteniamo dividendo per n(n+1)

13. la cui soluzione è

14. Infine Quindi