Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas

1. Augstāku kārtu vienādojumi un vienādojumu sistēmas x=colon(x1,x2,…xn), f: GRn+1Rn

2. f nepārtraukti diferencējama -> Košī problēmai ir viens vienīgs atrisinājums

3. n=2 Integrāllīnijas var krustoties n=3, integrāllīnijas var arī pieskarties savā starpā

4. Kārtas pazemināšanas metodes A) B)

5. C) D)

6. Lineāri augstāku kārtu vienādojumi 2.kārtas vienādojumi (1) (2) Teorēma: Ja x1 un x2 ir lineārā homogēnā vienādojuma (2) atrisinājumit maiņas intervālā I un c1, c2 ir patvaļīgas reālas konstantes, tad lineārā kombinācija x=c1x1+c2x2 arī ir šī vienādojuma atrisinājums tai pašā intervālā I.

7. Teorēma: Ja funkcijas p, q un f ir nepārtrauktas kopīgā t maiņas intervālā I, Košī problēmai eksistē viens pats atrisinājums, kurš ir turpināms uz visu t maiņas intervālu I

8. Definīcija: Funkcijas sauc par lineāri atkarīgām t maiņas intervālā I, ja eksistē tādas reālas konstantes , ka Definīcija: Par funkciju Vronska determinantu sauc determinantu Teorēma: Funkcijas ir lineāri atkarīgas intervālā I tad un tikai tad, ja visiem

9. Pierādījums. Teorēma: Ja ir vienādojuma (2) atrisinājumi un tad atrisinājumi ir intervālā I lineāri atkarīgi.

10. Teorēma: Vienādojumam (2) eksistē (vismaz 2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi. Pieņemsim Teorēma: Ja ir lineāri neatkarīgi vienādojuma (2) atrisinājumi, tad šī vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir kur ir patvaļīgas reālas konstantes. 1) ir vienādojuma atrisinājums.

11. 2) Katras Košī problēmas atrisinājumu var izteikt formā , piemēroti izvēloties Atrodam konstantes. Šai nolūkā jāatrisina lineāra nehomogēna vienādojumu sistēma Tā kā sistēmas determinants ir atrisinājumu Vronska determinants, kurš visos punktos ir atšķirīgs no 0, sistēmai eksistē viens pats atrisinājums.

12. Teorēma: Ja ir vienādojuma (2) lineāri neatkarīgi atrisinājumi, bet z ir vienādojuma (1) partikulārs atrisinājums, tad vienādojuma (1) vispārīgais atrisinājums ir Teorēmas pierādījums līdzīgs iepriekšējās teorēmas pierādījumam. Piezīme: partikulāro atrisinājumu var atrast ar konstanšu variācijas metodi, t.i., izmantojot substitūciju kur ir divas jaunas meklējamās funkcijas.

13. Vispārinājums Lineāri n-tās kārtas vienādojumi (3) (4) (3) - lineārs nehomogēns vienādojums (4) - lineārs homogēns vienādojums

14. Teorēma: Vienādojuma (4) vispārīgais atrisinājums ir n lineāri neatkarīgu atrisinājumu lineāra kombinācija ar patvaļīgiem koeficientiem. Šeit ir n lineāri neatkarīgi atrisinājumi. Teorēma: Ja z ir vienādojuma (3) partikulārs atrisinājums, šī vienādojuma vispārīgais atrisinājums ir