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第五章 固体电子论基础

第五章 固体电子论基础. 特鲁特认为 : 金属中的价电子 电子气体 同离子碰撞 达到热平衡 电子移动 电流 电导 , 热导 . 洛伦兹认为 : 电子气体服从麦克斯韦 玻尔兹曼统计 . 经典电子气的理论计算结果 : N 个价电子 ,3N 个自由度 , 总能量 , 只计算动能 , . 经典物理困难 : 试验值只有理论值的 1%.

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第五章 固体电子论基础

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Presentation Transcript

  1. 第五章 固体电子论基础 • 特鲁特认为:金属中的价电子 电子气体 同离子碰撞 达到热平衡 电子移动 电流 电导,热导. • 洛伦兹认为:电子气体服从麦克斯韦 玻尔兹曼统计. • 经典电子气的理论计算结果: N个价电子,3N个自由度,总能量 ,只计算动能 , . • 经典物理困难:试验值只有理论值的1%. • 索末菲认为:电子不服从经典统计分布而遵守量子

  2. 统计分布Fermi-Dirac统计,从而计算出电子气体 的 ,获得了成功. • 布洛赫和布里渊阐明了在周期场中运动的电子 的基本特征,为能带理论的建立奠定了基础. • 近自由电子模型:自由电子+微扰 能带 , 根据禁带宽度的大小(金属,绝缘体,半导体)

  3. 5.1电子气的能量状态 • 金属中的价电子好比理想气体,无相互作用. • 取平均势能为能量零点, . • 电子逸出体外相当于在一定深度的势阱中运动的粒子所具有的能量. • 三维无限深势阱中运动的粒子: L 0

  4. 取箱内势能,其薛定谔状态方程为:

  5. 两边同除 分离变量:

  6. 方程的解:

  7. 边界条件:在势箱中运动的电子.

  8. 只剩下正弦项,余弦项为零. • A为归一化常数,电子能量: • 推广到无限个线度都是L的势阱 • 各个势阱相应位置波函数相等:

  9. 电子波函数: • 波函数归一化: • 电子能量:

  10. 电子动量: • 电子速度: • 驻波: • 电子的平均动量,平均速度为零, • 波矢在k空间,由一组量子数 表示. • 为坐标的空间称为波矢空间也叫k空间. • 每个点代表一个状态.

  11. 轴相邻的两个代表点间的间距为 ,沿 轴相邻点的间隔也是 . • 因而k空间每个状态的代表点占有体积: • K空间单位体积含有的状态点数目: • 平面波状态波矢 由一组量子数 确定, • K空间: 为坐标轴的空间. • 点:每个许可的状态可用一个点来代表.

  12. 相邻两个代表点间距: • 波矢空间每个状态代表点占有的体积: • K空间单位体积中含有状态数目: • 从 中含有的状态数: • 每个 波矢状态可容纳自旋相反的两个电子,所以体积元中可容纳的电子数:

  13. 自由电子能量:

  14. 能级密度与能量关系， 能量越大，　也越大． E

  15. ５.２电子气的费米能量Fermi energy of electron gas • 电子气体中的粒子：电子，e • 满足：泡利不相容原理（Pauli’s exclusion principle） 服从费米——狄拉克统计（Fermi-Dirac statistics） • 电子处在能量为E状态的几率：

  16. 　是费米能量，或者化学势． • 意义：体积不变的条件下，系统增加一个电子所需要的自由能． • 　　　　　是温度和电子数的函数． • 当 • 意义：表示在费米能级 ,被电子填充的几率和不被电子填充的几率是相等的．

  17. 费米分布函数f(E)在不同温度时的图像. (1)T=0 k绝对温度,

  18. (2) (3)温度上升,函数f(E)发生大变化的能量范围变宽,但在任何情况,此能量范围约为 • 求费米(Fermi)能级 根据能级密度:

  19. 和热平衡时,电子处于能量为E的状态的几率: 以及能量E~E+dE之间的电子数 • (1)当:

  20. 令 代表系统电子浓度, 求 数值估计

  21. 电子气系统每个电子的平均动能 • (2) 每个电子的平均动能, 的解释:

  22. 即使在绝对零度,电子仍有相当大的平均能量。根即使在绝对零度,电子仍有相当大的平均能量。根 据热力学温度是平均动能的标志,T=0时,应该有 , 但是根据泡利不相容原理,每个状态只 能容纳两个自旋方向相反的电子,因此在绝对零度 不可能所有的电子都填在最低能态. • 当 此时能量E大于 的能级可能有电子,能量小于

  23. 的能级可能是空的, 系统总电子数N. 第一项: 所以, 令

  24. 此为奇函数 此为偶函数

  25. 求 的关系: 在绝对温度时系统的总电子数:

  26. 当温度升高时, 比 小, • 金属的费米能量:几个~几十个 eV • 费米温度:

  27. 一般温度下, • 自由电子能级: • 当 时, • 等能面的半径为:

  28. 物理意义(1)在绝对零度T=0k时,费米面以内的状态都被电子所占据,球外没有电子.物理意义(1)在绝对零度T=0k时,费米面以内的状态都被电子所占据,球外没有电子. (2) 时,费米球面半径 ,在 范围内能上的电子被激发到 之上约 的范围的能级.

  29. 5.3金属中电子气的热容The thermal capacity of electron gas in metal • 洛伦兹自由电子论,N个自由电子,3N个自由度. 服从经典的统计规律: 试验结果，电子比热只有这个数值的百分之一. • 索末菲认为:电子不遵守麦克斯韦-玻尔兹曼分 布,而是遵守费米-狄拉克分布. • 自由电子构成电子气,有N个自由电子.

  30. 每个电子平均能量:

  31. :绝对零度每个电子平均能量.

  32. 每个的电子对热容量的贡献: • 这是费米狄拉克统计方法计算的电子比热结果.

  33. 只有费米面附近 范围的电子受热激发才跃迁到较高的能级. • 每个电子的能量 之间的电子才能被激发. • 根据费米统计f(E)曲线可知,电子的能量范围约为 附近的 . • 受激发的电子数(下页)

  34. 每个电子具有热能 • 每个电子的平均能量是: • 每个电子对热容的贡献: • 讨论: (一)常温:

  35. 说明对增加系统热能有贡献的电子仅占总电子数的一小部分.所以通常温度下,金属的比热服从杜隆-珀替定律.说明对增加系统热能有贡献的电子仅占总电子数的一小部分.所以通常温度下,金属的比热服从杜隆-珀替定律. • 为了与试验结果相比较,计算金属没摩尔中自由电子对热容量的贡献: 每个原子有Z个自由电子(价电子),

  36. 常温晶格对热容量贡献为: 电子对比热贡献很小. • 当 • 电子气与晶格振动对热容量的贡献之比:

  37. 只有当温度很低时,才考虑电子对热容量的贡献.只有当温度很低时,才考虑电子对热容量的贡献. • 二.温度甚低: 金属的摩尔热容是两部分之和: • 截距r,斜率为b.

  38. 5.4功函数和接触势差 • 一.功函数: 　　电子在势阱内,势阱深度为 ,费米能级为 电子离开金属至少需要从外界得到　　　　　： 称脱出功．当电子获得能量>　时，电子逸出金 属，产生热电子发射电流． 发射电流密度 　　查孙－杜师曼公式．

  39. Ⅰ Ⅰ Ⅱ Ⅱ • 二．接触电势差： • （１）两块不同的金属Ⅰ和Ⅱ接触或用导线联结会彼此带电，产生不同的电势． • （２）推导接触电势差：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ⅰ

  40. 每秒从金属Ⅰ单位面积逸出电子数： • 每秒从金属Ⅱ单位面积逸出电子数： • 如果ΦⅡ＞ΦⅠ，金属Ⅰ逸出的电子数比金属Ⅱ 多，金属Ⅰ带正电，金属Ⅱ带负电 荷．V1>0,V2<0.附加静电势能：－e V1, －e V2. • 发射的电子数分别变为：

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