初三数学教材辅导

1. 2005--2006 初三数学教材辅导 2005年10月 许建立

2. 第二单元 直线与圆的位置关系 一、主要内容 1.本单元首先是研究直线和圆的位置关系：相交、相切和相离，其中的重点是直线和圆的相切。要熟悉直线和圆相切的判定定理和性质定理。在此基础上进一步研究和圆相切的两条切线的性质----切线长定理，及圆的外切三角形和三角形的内切圆。 2. 弦切角。弦切角也是一种和圆有关的角，弦切角定理及其推论是本单元的另一重点，对于角及弧的度数的运算和等角的推证十分有用。 3.相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆 幂定理，是一组和圆有关的比例线段定理也是本单元的重点，对于推证比例线段和计算很方便。

3. 二、重点、难点分析 1.又一组重要的等价关系： ⊙o的半径为r，圆心O到直线L的距离为d ⑴ d＜r直线L和⊙o相交 ⑵ d =r 直线L 和⊙o相切 ⑶ d ＞r 直线和⊙o相离 • 这组等价关系接示出d与r相比较的三种数量关系和L与圆O的三种位置关系之间“一对一”的相互转换.既是性质定理又是判定定理。 • 研究直线和圆的位置关系，可以用d与r的大小关系来区别， • 也可以用直线和圆的交点个数来区别

4. 2.圆的切线的判定和性质 ⑴ 定理的剖析 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。实际是前面的等价关系⑵的同义语切线的判定定理 ，只是改述为“①直线经过半径外端；②直线垂直于这条半径。”就更加清楚更加形象，更易于应用了。 对于切线的性质及两个推论中“圆心o 到切线L的距离 的线段OA”具有如下三条性质： ①经过圆心O ② 垂直于切线 ③经过切点A 由于圆心O和切点A都是唯一确定的，所以过定点O或A和 直线L垂直的直线也是唯一确定的。因此具有①②③中的两个性质必有另一个性质。

5. ⑵ 定理的应用 在判定切线时，常使其先具备“过半径外端”和“垂直于半径”两个条件之一，再证明具备两条件中的一条。 • 判定直线和圆相切时常见的辅助线如： • ①连结O﹡，再证明垂直 • （既：连半径，证垂直） • ② 作O﹡垂直于﹡﹡于点﹡，再证明是半径 • （既：作垂直，证半径） 学生在此的困惑就是何时“连结”，何时“作垂直”。要使学生体会到， 两种应用的方法及过程有怎样的不同。 • 在应用切线的性质时，常作的辅助线是：连结过切点的半径。 • 既：过切点连半径必垂直。

6. 讲清书94页例3与例4使学生分清何时用“判定”，何时用“性质”讲清书94页例3与例4使学生分清何时用“判定”，何时用“性质” 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD 相等，且AB与小圆相切于点E 求证：CD与小圆相切 连结OE (性质“连半径必垂直”) 作OF⊥CD于F (判定“作垂直证半径”) 常见错误 ：作OE ⊥AB 连结OF

7. 已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B， OC平行于弦AD 求证：DC是⊙O的切线 连结OD (判定“连半径证垂直”) 常见错误：作OD⊥CD

8. 学完本小节后要及时帮助学生总结判定切线的方法和切线的性质学完本小节后要及时帮助学生总结判定切线的方法和切线的性质 判定切线有三种方法（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 （2）和圆心距离等于半径的直线是圆的切线 （3）过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 切线的性质主要有五个（1）切线和圆只有一个公共点 （2）切线和圆心的距离等于圆的半径 （3）切线垂直于过切点的半径 （4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点 （5） 经过切点垂直于切线的直线必过圆心

9. 3.切线 和切线长 切线长定理 由切线和切线长定理可以看出切线和切线长是两个不同的概念。切线 是一条直线，是指直线这一图形本身，而切线长是一条线段的长，是圆 外一点和切点之间的距离。作为切线是无长度可言的。 切线 长定理告诉我们 PA=PB PO平分∠APB 这些性质再次体现了圆的轴对称性。在这一图形中 直线OP就是对称轴， A、B关于OP对称，因此不仅 有上述两个结论，还可以得到OP垂直平分弦AB，平 分弧AB， ∠AOP= ∠BOP， ∠AOB 与∠APB互补等结论， 这些结论又可为推证等线段、等角、等弧、全等三角形、 相似三角形、比例线段等提供方便。 因此在学习切线长定理时，不仅要只得出定理的两个结论，还要进一步 追问还可推出哪些结论，而这些结论对解答填空题、选择题拿来就可用。

10. 等角、等弧、等线段、全等三角形、等腰三角形等角、等弧、等线段、全等三角形、等腰三角形 相似三角形、平行线等

11. 4.谈谈三角形的心 本教材给出了三角形的外心和内心两个概念。 要让学生知道三角形的外心是三角形外接圆的圆心又是三角形三边 垂直平分线的交点，由外心的位置可判断三角形的形状，同时由三角 形的形状也可判断外心的位置。 内心是三角形的内切圆的圆心又是三角形内角平分线的交点。 只有这样把前后的知识联系起来才能弄清这些概念，也就便于应用其 性质。 三角形的“心”是三角形所特有的性质，而一般的四边形或多边形就 不一定具有这样的性质，例如四边形必须具备对角互补的条件才能 有“外心”；四边形必须具备对边和相等的条件才能有内心。

12. 5.和圆有关的角-----弦切角 本教材中，和圆有关的角包括圆心角、圆周角、弦切角。 （1）本单元的弦切角是在学习了圆心角、圆周角的基础上提出的，所以要弄清与前两种概念的区别与联系。 （2）由和圆有关的角的各个定理可知，在解决弧或角的度数的计算时， 常遵循的思路是：求角问弧、求弧问角；知弧可求角；知角可求弧。 （3）由各种和圆有关的角的性质可知，在圆内证明角的相等关系比较 方便，在解题时应充分发挥这些优势。 （4）经常要加一些辅助线，构造弦切角、或圆心角、或圆周角来证 明等角问题。常见的辅助线有：过某点作圆的切线，构造弦切角。

13. 在讲弦切角定义时应强调以下两点： （1）顶点在圆上，(实际上顶点就是切点) （2）角的一边是过切点的一条弦，另一边是切线上以切点为端点的一条 射线。 如图②讲清什么是弦切角所夹的弧， 什么是弦切角所夹的弧对的圆周角 如图①指出哪个角是弦切角 ② ①

14. 例1 已知： AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD切 ⊙ O于D， DE⊥AB 求证：DB平分∠CDE

15. 解法一： 连结AD

16. 例2已知：如图，ABCD是圆的内接四边形，AB 是⊙O的 直径，MC切 ⊙O于C， ∠BCM=32° 求∠B的度数

18. 6.和圆有关的比例线段 相交弦定理，切割线定理统称为圆幂定理，这是在圆的特定 条件下的一组比例线段定理，它们和平行线截得的比例线段 定理，相似三角形的性质定理一样，是推证比例线段、进行线 段计算的重要理论依据。 相交弦定理和切割线定理的结论是等积式，应当注意等积式 中四条线段的排列规律。

19. （3） （2） （1） 在图（1）和（2）中都有PA·PB=PC·PD. 它们的共同点是①都有两条和 圆相交的直线AB和CD ②直线AB和CD 都交于P，不管P点在圆内还是 在圆外都有上述结论，PA与PB,PC与PD都在同一条直线上，都以P为一 个端点，而以直线与圆的交点为另一端点。而当C、D两点重合（PDC为 圆的切线），即PC=PD时，上面的等积式就成为 ------ 切割线定理。

20. 常见辅助线 常见错误：如图，PC·CA=PB·BD CE·AE=BE·ED

21. 例：已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为例：已知：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，E为 CH上一点，AE的延长线交⊙O于F，过F点作⊙O 的切线，交DC的延长线于P. 求证： =PC·PD

22. 过点A作⊙O的切线 交FP的延长线于Q, ∠PEF= ∠QAF= ∠QFA 作FG∥ CD ∠ PFE= ∠ AFG= ∠ AEH

23. 例：已知：AC、AB是⊙O的弦 （1）如图，能否在AB上确定一点E,使AC2= AE·AB，为什么？ （2）如图，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O 的位置关系，并说明理由。 （3）在（2）的条件下，如果E为PD的中点那么C是PE的中点吗？为什么？

24. （1）取AD弧=AC弧，连结BC， 可证 =AE · AB • 连结CF、BF 由BF是直径可得 • ∠F + ∠ CBF= • ∠PEB= ∠A+ ∠ACD • ∠PBE= ∠PBC+ ∠CBA • 可得∠A= ∠PBC 又∠F = ∠A • 所以可得 ∠PBC+ ∠ CBF= • 所以 OB ⊥ PB于B • 因而，PB与⊙O相切 （3）由 =PC · PD 及PB=PE=ED 得PE · ED=PC · 2ED 所以 PE=2PC 因此 C是PE的中点 简解：

25. 注意解题后的反思和小结 反思思维受阻之处，寻找学习薄弱环节； 反思解题漏洞，培养思维的严谨性； 反思多种解法，提高发散思维能力； 反思一题多变，挖掘内在联系； 小结一般规律，如：怎样论证等积式问题，在相似三角形一章曾遇到 过，现在结合圆后就更加丰富多彩，我们要拿出一定的时间作为一类 题加以小结，使学生在解题时有章可循，探索和研究等积式 的证明问 题，对提高学生的思维能力和数学素质非常有益。

26. 在解几何中要引导学生学会联想、学会分解综合题在解几何中要引导学生学会联想、学会分解综合题 如：若DF与⊙O切于F,A为直径FE延长线 上一点，AD与⊙O交于B、C，则依已知条 件可以把图分解为： 这样有利于掌握知识间的内在联系，有利于探求解题的 途径把复杂的、不熟悉的问题转化为简单的、熟悉的问 题加以解决。

27. 第三单元 圆和圆的位置关系 一、主要内容 平面上的两个圆，有五种位置关系：外离、外切、相交、 内切、内含（包括同心圆） 两圆的位置关系和两圆半径及圆心距之间的大小关系有一组 重要的等价关系，它既是两圆位置关系的判定，又是性质定理， 是本单元的一个重点。 在两圆的位置关系中，我们主要讨论相交和相切。在两圆相交 或相切时，两圆的连心线及公切线具有很重要的作用，要熟知 它们的性质，并在解题中熟练应用，这是本单元的另一个重点。

28. 二、重点、难点分析 1. 定义两圆位置关系的两要素 定义直线和圆的相离、相切、相交三种位置关系时，可以 完全考虑公共点的个数。而定义圆和圆的位置关系时，不仅要 考虑公共点的个数，而且还要考虑内部和外部的因素。 两圆没有公共点时，有外离和内含之分； 两圆有唯一公共点时，有外切和内切之分。

29. 2.”形”与“数”统一的又一等价关系 (1) d＞R+r 两圆外离 （2） d =R +r 两圆外切 （3）R- r ＜ d ＜ R+r (R≥ r) 两圆相交 （4）d =R-r (R ＞r) 两圆内切 （5）d ＜R -r (R ＞r) 两圆内含

30. 3.连心线与公切线的性质 公切线条数 (1)AB=CD; EF=GH; (2) AB、CD、 交于点P （3）EF、GH、 交于一点 4条 • (1)AB=CD • AB、CD、 交于点P • (AB与CD不平行时) • （3） ⊥EF于N 3条 2条 • (1)AB=CD • (2)AB、CD、 交于点P • (3) 垂直平分公共弦EF

31. 公切线条数 ⊥AB于M 1条 0

32. 4.几条常用的辅助线 • 两圆相交时，常作公共弦。作公共弦能产生在两圆内传递相等角 • 的功效（公共的圆周角，圆内接四边形的外角与内对角） （2）两圆相切时，常作公切线或连心线。作连心线必与两圆的半径或直径相重合，能得到两圆公共的圆周角；而作公切线，必垂直于连心线，并有公共的弦切角，这都将带来方便。 （3）有公切线时，常平移公切线。构造直角三角形，有利于计算和有关 证明。