運算三律：交換律、結合律、分配律

1. 運算三律：交換律、結合律、分配律 洪有情 國立臺灣師範大學數學系

2. 數→運算→運算三律 • 數沒有運算，就好比人不能活動，是個廢人。 • 運算缺少三律，就好比人失去了活力，沒有生氣。

3. 什麼是運算三律呢？

4. 交換律

5. 交換律、結合律

6. 交換律、結合律、分配律

7. 交換律 • 交換律是指求二元運算的結果與次 序無關。 • 加法和乘法運算滿足交換律。 • 加法交換律：被加數與加數的位 置互換，其運算結果不變。 寫成一般式：a + b=b + a

8. 教學示例 桌上有2堆糖果，左邊那堆有3顆， 右邊那堆有5顆，桌上共有幾顆糖果？ 先記左堆再記右堆：寫成 3+5=8 先記右堆再記左堆：寫成 5+3=8

9. 乘法交換律： 被乘數與乘數的位置交換，其運算 結果不變。寫成一般式： a × b = b × a 在量的問題中，即將單位量與單位 數的個數交換，其總量不變。

10. 教學示例 ○○○ ○○○ 共有幾個○？ ○○○ ○○○ 每行4個○，有3行，寫成 4 × 3=12 每列3個○，有4列，寫成 3 × 4=12

11. 交換律的特性(1)可簡化計算 例 例 837+1234+1635 ×3751 ×2 =837+163+1234=3751 ×5 ×2 =1000+1234=3751 ×10 =2234=37510 ←交換律 ←交換律

12. 例 55 ×1324 寫成直式記錄 551324 ×1324×55 互換 被乘數與乘數

13. (2)簡化敘述 • 10元和5元銅板各1個，共有多少元？ （不分次序） • 有2堆蘋果，其中一堆有3粒，另一堆有5粒，共有多少粒蘋果？ （不分次序）

14. (3)在算術運算中可以不利用交換律， 但在代數運算中有時必須利用交換律 算術 代數 98+17+2x+5+x =115+2 =x+x+5 =117 =2x+5 ←由左而右計算， 不須用交換律 ←為了合併x 須用交換律

15. 算術 代數 5 ×29 ×25 ×x× 2 =145 ×2 =5 × 2 × x =290 =10 x ←得不到一個數， 須用交換律 ←由左而右計算， 不須用交換律 ←表示10和x的乘積

16. 結合律 • 加法和乘法運算滿足結合律。 • 加法結合律： 計算a、b、c三數的和時，先算(a + b)的 和後再算(a + b)加c的和與先算(b + c)的和後 再算a加(b + c) 的和，其結果相同，即：三數 相加時，前面兩數先算或後面兩數先算，其 結果相同。寫成一般式： (a + b)+ c= a+(b + c) 上式中可簡寫成a + b+ c（省略括號）

17. 可推廣到四個以上的數相加，如 a + b + c + d=(a + b)+(c +d) =((a + b)+c)+d =a+(b+(c + d)) =(a+(b + c) )+d = …

18. 教學示例： 桌上有3堆糖果，左邊那堆有2顆， 中間那堆有5顆，右邊那堆有8顆， 桌上共有幾顆糖果？

19. 乘法結合律 計算a、b、c三數的乘積時，先算(a×b)的積 後再算(a×b)乘以c的積與先算(b×c)的積後， 再算a乘以(b×c)的積，其結果相同。 即：三數相乘時，前面兩數先算或後面兩數 先算，其結果相同。寫成一般式： (a × b) × c= a × (b×c) 上式可簡寫成：a × b × c（省略括號）

20. 可推廣到4個以上的數相乘：如 a × b × c×d= (a×b) ×(c×d) = (a×(b × c))×d = a × ((b × c) ×d) =…

21. 教學示例 ○ ○ ○ ○ ○ ○ 每個皮球10元，共需付多少元？ 10 ×(3 ×2)=(10 ×3) ×2 每盒(10 ×3)元，共2盒 共有(3 ×2)個球

22. 結合律的特性：(1)可簡化計算 例 例 例 12+97+3 9879 ×5 ×2 =12+(97+3)=9879 ×(5 ×2) =12+100=9879 ×10 =112=98790 （利用結合律可 三個分數同時運算）

23. (2)可節省(或不需要)括號 若沒有結合律， 則a + b + c 需用1次括號，如(a+b)+c a + b + c + d需用2次括號，如 ((a+b)+c)+d 同理，n個數相加須用(n-2)次括號。 有結合律，則算式 不需要括 號。

24. (3)可簡化敘述 例 郁菁的月考成績：國文98分，數學 93分，自然87分，社會92分，求這 四科的總分是多少？

25. (4)在算術運算中可以不必利用結合 律，但在代數運算中有時必須利 用結合律 算術 代數 2 ×(5×7)2×(5×x) =2×35 =(2×5) ×x =70 =10 x 3 +(97+12) 3+(97+ x) =3+109 =(3+97) + x =112 =100 + x ←可算出5 ×7，得到35， 不須結合律 ←得不到一個數， 須用結合律 ←可算出(97+12)， 得到109，不須結合律 ←無法算出 (97+ x) ，須用 結合律

26. 分配律 • 分配律是結合乘法和加法這兩種運 算的重要定律。 • 乘法對加(減)法有分配律，即 (a ± b) ×c=a×c ± b ×c(右分配律) c ×(a ± b) =c×a ± c×b(左分配律)

27. 分配律可推廣 例 (a+b) ×(c+d) =(a+b) ×c+(a+b) ×d←左分配律 =a ×c+b ×c+a ×d+b ×d ←右分配律 • 可寫成(a+b)(c+d)=ac+bc+ad+bd • 因為有交換律，不必考慮運算次序。 • 因為有結合律，等號右邊不須加括號。

28. 教學示例 大長方形面積=3×(2+5) 長方形甲面積=3×2 長方形乙面積=3×5 大長方形面積=長方形甲面積+長方形乙面積 寫成 3×(2+5)= 3×2+ 3×5 3 甲 乙 2 5

29. 分配律的特性(1)可簡化計算 例 298×997+298×3 例 98×298 =298×(997+3)=(100-2) ×298 =298×1000=100×298-2×298 =298000=29800-2×(300-2) =29800-600+4 =29204 或98×298 =(100-2)× (300-2) = …

30. 例：

31. (2)乘法算則用到分配律 例 5454 ×38=54 ×(30+8) ×38=54×30+54×8 432 ←54 ×8 162 ←54 ×30 2052 ←54 ×8+ 54 ×30 ←54 ×38

32. (3)在算術運算中可以不必利用分配律，但在代數運算中有時必須利用分配律 算術 代數 3(5+2)-53 (x+2)-x =3 ×7-5 =3x+6-x =16=3x-x+6 =2x+6 (9-3) ×(9+2)(x-3) (x+2) =6×11=+2x-3x+6 =66=-x-6 ←無法算出(x+2)， 須用分配律 ←可直接算出 (5+2)， 得到7， 不須分配律 ←交換律 ←結合律 ←可直接算出 (9-3)和(9+2)的值， 不須分配律 ←無法算出(x-3) 和(x+2) ， 須用分配律

33. 代數運算 (如代數式的化簡、解 方程式、解不等式等)中必須用 到運算三律，因此學童在學算術 時，必須熟練並活用運算三律， 否則影響往後代數的學習。