6.1 离散系统状态空间描述的基本特性 6.2 状态反馈控制律的极点配置设计 6.3 状态观测器设计 6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合） 6.5 控制系统最优二次型设计

6.1 离散系统状态空间描述的基本特性 6.2 状态反馈控制律的极点配置设计 6.3 状态观测器设计 6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合） 6.5 控制系统最优二次型设计

6.1.1 可控性与可达性 离散系统： (6-1) • 可控性定义： • 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k)，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)=0，则称该系统是状态完全可控的（简称是可控的）。 • 可达性定义： • 对式(6-1)所示系统，若可以找到控制序列u(k) ，能在有限时间NT内驱动系统从任意初始状态x(0)到达任意期望状态x(N)，则称该系统是状态完全可达的。

推导离散系统可控及可达应满足的条件 1. 可达性条件利用迭代法 (6-3) 唯一存在，应满足下述充分必要条件：为使（1）x是n维向量，所以(6-3)必须是n维线性方程，故N=n。（2）必须满足：依式(6-3)可得允许控制

推导离散系统可控及可达应满足的条件 2. 可控性条件 (6-3) 或 N=n 系统状态完全可控的充分必要条件为使上述线性方程组有解，必须可控阵可控性与可达性一致若F 是可逆的，则由于采样系统的状态转移阵F=eAT可逆，故采样系统的可达性与可控性一致。

6.1.2 可观性 离散系统： (6-1) • 可观性定义： • 对式(6-1)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。系统的可观性只与系统结构及输出信息的特性有关，与控制矩阵G无关，为此，以后可只研究系统的自由运动(6-6) ： (6-6)

6.1.2 可观性 离散系统： (6-6) • 可观性定义： • 对式(6-6)所示系统，如果可以利用系统输出，在有限的时间NT内确定系统的初始状态x(0) ，则称该系统是可观的。 (6-8) 已知，为使x(0)有解，要求： (1)式(6-8)代数方程组一定是n维的。 (2)令k=n-1，则应有其中可观阵

6.1.3 可控性及可观性某些问题的说明 1. 系统组成部份 S1:可控可观部分 S2:不可控及不可观部分 S3:可控不可观部分 S4:可观不可控部分。图6-3 系统的分解系统脉冲传函只反映了系统中可控可观那部分状态S1的特性。 2.表示系统可控性及可观性的另一种方式可以采用系统模态可控及可观的表示方式。 3. 系统脉冲传递函数不能全面反映系统特性的原因系统传递函数中发生了零点和极点相对消的现象。

6.1.4 采样系统可控可观性与采样周期的关系 连续对象：采样对象：对于采样系统，不加证明给出下述结论： (1) 若原连续系统是可控及可观的，经过采样后，系统可控及可观的充分条件是：对连续系统任意2个相异特征根λp、λq，下式应成立： • 若连续系统的特征根无复根时，则采样系统必定是可控及可观的。 (2) 若已知采样系统是可控及可观的，原连续系统一定也是可控及可观的。

6.2.1 状态反馈控制 (6-12) 取线性反馈控制根据(6-14)有结论： (1) 闭环系统的特征方程由[F-GK]决定，系统的阶次不改变。通过选择状态反馈增益K，可以改变系统的稳定性。 (2) 闭环系统的可控性由[F-GK]及G决定。可以证明，如开环系统可控，闭环系统也可控，反之亦然。 (3) 闭环系统的可观性由[F-GK]及[C-DK]决定。如果开环系统是可控可观的，加入状态反馈控制，由于K的不同选择，闭环系统可能失去可观性。，得闭环系统状态方程令图6-7 状态反馈控制系统结构图 (6-14)

根据(6-14)有结论： (4) 状态反馈时闭环系统特征方程为 • 可见，状态反馈增益矩阵K决定了闭环系统的特征根。可以证明，如果系统是完全可控的，通过选择K阵可以任意配置闭环系统的特征根。 (5) 状态反馈与闭环系统零点的关系状态反馈不能改变或配置系统的零点。

6.2.2 单输入系统的极点配置 • 基本思想: • 由系统性能要求确定闭环系统期望极点位置，然后依据期望极点位置确定反馈增益矩阵K。(本节主要讨论单输入系统的极点配置方法) 1. 系数匹配法状态反馈闭环系统特征方程闭环系统期望特征根为: 闭环系统期望特征方程：对应系数相等，得n个代数方程可求得n个未知系数

单输入系统的极点配置 2. Ackermann公式 • 建立在可控标准型基础上的一种计算反馈阵K的方法，对于高阶系统，便于用计算机求解. 其中闭环系统期望特征方程：

3. 使用极点配置方法的注意问题 (1) 系统完全可控是求解该问题的充分必要条件。若系统有不可控模态，利用状态反馈不能移动该模态所对应的极点。 (2) 实际应用极点配置法时，首先应把闭环系统期望特性转化为z平面上的极点位置。 (3) 理论上，反馈增益，系统频带，快速性。 u(k) 执行元件饱和系统性能。实际要考虑到所求反馈增益物理实现的可能性。 (4)系统阶次较低时，可以直接利用系数匹配法；系统阶次较高时，应依Ackermann公式，利用计算机求解。

6.2.3 多输入系统的极点配置 • 对于n阶系统，最多需要配置n个极点。 • 单输入系统状态反馈增益K矩阵为1×n维，其中的n个元素可以由n个闭环特征值要求唯一确定。 • 对于多输入系统，K阵是m×n维，如果只给出n个特征值要求，K阵中有m×(n-1)个元素不能唯一确定，必须附加其他条件，如使‖K‖最小，得到最小增益阵；给出特征向量要求，使部分状态量解耦等。 • 事实上，对于多输入多输出系统，一般不再使用单纯的极点配置方法设计，而常用如特征结构配置、自适应控制、最优控制等现代多变量控制方法设计。

6.3.1 系统状态的开环估计 (1) 如果原系统是不稳定的，那么观测误差将随着时间的增加而发散； (2) 如果F 阵的模态收敛很慢，观测值也不能很快收敛到的值，将影响观测效果。 (3) 开环估计只利用了原系统的输入信号，并没有利用原系统可测量的输出信号。状态估计：图6-10 开环估计器结构图估计误差：估计误差状态方程：

6.3.2 全阶状态观测器设计 预估 1. 预测观测器闭环观测器方程估计误差状态方程： (6-35) 图6-11 闭环状态估计器 • 观测器设计的基本问题： • 要及时地求得状态的精确估计值，也就是要使观测误差能尽快地趋于零或最小值。 • 从式(6-35)可见，合理地确定增益L矩阵，可以使观测器子系统的极点位于给定的位置，加快观测误差的收敛速度。

观测误差产生的原因 (1)构造观测器所用的模型参数与真实系统的参数不可能完全一致。 (2)观测器与对象的初始状态很难一致。 (3)外干扰→有稳态误差状态观测器极点配置的目的，使一般，而设

计算观测器增益L 观测器特征方程方法一：系数匹配法期望特征方程：对应系数相等，得m个代数方程可求得m个未知系数方法二 Ackermann公式计算法 (6-36) 系统可观阵其中：观测器期望特征多项式：

6.3.2 全阶状态观测器设计 预估 2. 现今值观测器预测值观测误差得修正值图6-12 现今值观测器估计误差状态方程： (6-41) • 观测器极点的配置由[FCF]的可观性决定。 • 分析表明，若[FC]可观，则[FCF]必定也可观。 • 选择反馈增益L亦可任意配置现今值观测器的极点。

现今值观测器与预测观测器比较 • 主要差别： • 预测观测器利用陈旧的y(k)测量值产生观测值 • 现今值观测器利用当前测量值y(k+1)产生观测值，进行计算控制作用。 • 由于ε≠0，故现今值观测器是不能准确实现的，但采用这种观测器，仍可使控制作用的计算减少时间延迟，比预测观测器更合理。计算时间 ε≠0 图6-13预测观测器与现今值观测器的区别

6.3.3 降维状态观测器 维可测 • 假设系统有p个状态可测，有q=n-p个状态需要观测维需观测系统状态方程可直接测得动态方程输出方程可直接测得降维系统观测误差方程: 其中观测器增益L的求法可以采用系数匹配法，也可以利用Ackermann公式。

6.4.1 调节器设计分离原理 图6-14观测器与控制律的组合被控对象组合系统方程反馈状态预测观测误差的状态方程特征方程

调节器设计分离原理: 组合系统的特征方程分离原理： • 控制规律与观测器可以分开单独设计，组合后各自的极点不变。图6-14观测器与控制律的组合组合系统的阶次为2n，它的特征方程分别由观测器及原闭环系统的特征方程组成，反馈增益K只影响反馈控制系统的特征根，观测器反馈增益L只影响观测器系统特征根。

6.4.2 调节器系统的控制器 • 把观测器系统与控制规律组合起来，构成控制器控制器状态方程特征方程图6-14观测器与控制律的组合对SISO系统，控制器的输入为测量输出y(k)，输出为u(k)

6.4.3 控制律及观测器极点选择 • 控制律的极点由系统期望特性确定。 • 观测器极点 • 通常选择观测器极点的最大时间常数为控制系统最小时间常数的(1/2~1/4) ，由此确定观测器的反馈增益L。 • 观测器极点时间常数越小，观测值可以更快地收敛到真实值，但要求反馈增益L越大。过大的增益L，将增大测量噪声，降低观测器平滑滤波的能力，增大了观测误差。 • 若观测器输出与对象输出十分接近，L的修正作用较小，则L可以取得小些。 • 弱对象参数不准或对象上的干扰使观测值与真实值偏差较大，L应取得大些。 • 若测量值中噪声干扰严重，则L应取得小些。 • 实际系统设计L时，最好的方法是采用较真实的模型(包括作用于对象上的干扰及测量噪声)进行仿真研究

6.5.1 概述 最优控制问题常被称为“二次型最优控制问题。通常的性能指标（代价函数）：最优控制实质：将寻求一种最优控制策略，使某一性能指标最佳。离散系统代价函数：为使代价函数有意义，应要求：最优控制存在 S、Q至少是对称半正定的，R是对称正定的。有限时间最优代价函数是有限的无限时间最优代价函数连续系统离散系统

6.5.2 无限时间离散最优二次型 有限时间情况：代价函数最优控制存在其中的S、Q对称半正定的，R对称正定最优控制：为Riccati阵，满足其中，有

无限时间离散最优二次型代价函数 稳态最优调节器问题注意：N趋于无穷大时，并不是所有有限时间最优调节器问题都有解。 1. 被控对象及代价函数应满足的条件： (1) 被控对象（FG）应是完全可控或可稳定的——稳态解存在的必要条件。 (2) 控制加权阵R是正定的，状态加权阵Q也是正定的——解存在的充分条件。此时Riccati方程的解为：或写成：即有最优控制为常值反馈增益阵

2. 二次型最优稳态调节器的特性 (1)上述所得到的设计结果不仅可以用于SISO系统，也可以用于MIMO系统及时变系统。通过改变Q、R各元素相对比值可以很容易地改变系统响应，协调系统响应速度和控制信号模值之间的关系。 (2)若Q、R是正定的，P亦是正定的。若Q是半正定的，且（FD）对完全可观，其中D满足则在这种条件下也可以证明P是正定的。 (3)对于无限时间的最优控制，若Q半正定，R正定，可以证明最优控制使闭环系统渐近稳定，同时还具有一定的相位稳定裕度和增益稳定裕度。 (4)最优控制闭环极点轨迹：二次型最优调节器闭环极点与代价函数加权阵密切相关，加权变化时闭环极点随之变化，形成闭环极点轨迹。

6.5.3 采样系统最优二次型设计 1. 采样系统最优调节器问题采样系统特点：对象连续积分代价函数J最小不同于离散系统最优调节器问题寻求分段常值控制不可采用连续系统最优调节器理论与结果思路：采样系统最优调节器问题离散系统最优调节器问题

6.5.3 采样系统最优二次型设计 1. 采样系统最优调节器问题采样区段内，系统状态应连续变化其中：

1. 采样系统最优调节器问题 通过简化处理，得到其中，各等价加权矩阵为：该最优控制问题可通过MATLAB中的最优控制工具箱求解。

2. 等价加权矩阵的计算 其中：一种较为简单的方法：离散化处理

2. 等价加权矩阵的计算（续） 式中 (6-80) (6-81) 式(6-80)可以看作是矩阵微分方程(6-81)在零初始条件下的解。数值积分中的许多方法，如阿达姆预报校正法都可用于解该矩阵方程

6.5.4 离散最优二次型调节器 • 按离散或采样系统二次型设计所得的控制规律仍然是一种全状态反馈。由于全状态反馈难于实现，常要采用状态观测器，从而形成了一种组合系统，在不考虑指令信号时，也构成了一种调节器。 • 问题： • 使用观测器后，为使代价函数最小是否仍使用原设计的最优反馈增益； • 如仍使用原设计的最优反馈增益，代价函数是否仍是最小。 • 通常： • 仍取原设计的最优反馈增益 • 最优代价函数的最小值要增大，且直接与观测器设计有关。

最优代价函数的最小值增大原因的简单说明 直接状态反馈采用观测器代价函数的增量结论：最优代价函数损失量完全是由观测误差引起的，它与观测器动态特性有关。在最优调节器中引入观测器时，应把最优代价函数的损失量作为选择观测器特性的一种考虑。

第6章内容结束！

6.1 离散系统状态空间描述的基本特性 6.2 状态反馈控制律的极点配置设计 6.3 状态观测器设计 6.4 调节器设计（控制律与观测器的组合） 6.5 控制系统最优二次型设计