Динамика распространения эпидемий

1. МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В.Ломоносова Динамика распространения эпидемий Презентацию подготовила ЛопатухинаЕ.В. Учебная группа №218 Факультет Биологический Москва, 2014г.

2. Современные эпидемии Крупнейшие эпидемии в истории человечества • Малярия • СПИД, 1981 • Грипп • Эпидемии сыпного тифа • Юстинианская чума, 541 г. н. э. • Антонианская чума, 165-180 г.г. • «Черная смерть», XIV-XV века, последующие вспышки вплоть до XVIII в. • Эпидемия ветряной оспы среди коренного населения Америки, 1492-1900 гг. • Первая пандемия холеры, 1817-1823 гг. • Азиатский (российский) грипп, 1889-1890 гг. • Эпидемия сальмонеллеза, 1906 • Грипп «испанка», 1918 - 1919 гг.

3. Страны мира с наиболее высокой степенью распространения ВИЧ/СПИДа среди взрослого населения, 2005 год, доля населения 15-49 лет с выявленным вирусом ВИЧ

4. ВИЧ (зеленый) на поверхности лимфоцита Эритроциты, зараженные P.vivax Чумная палочка при флюоресцентной микроскопии Вирионы оспы Вирус гриппа Сальмонелла

5. Прикладные задачи • Нахождение пороговых значений • Оценка степени тяжести эпидемии • Прогнозирование динамики развитие эпидемии • Моделированиеразвития ситуации при борьбе с эпидемией Цель данной работы – рассмотреть классическую модель динамики эпидемий

6. Классическая модель Кермака-МакКендрика, 1927г. R • Скорость прироста инфицированных особей пропорциональна произведению количества восприимчивых и инфицированных особей • Число восприимчивых особей убывает с такой же скоростью • Скорость перехода инфицированных особей в устраненный класса пропорциональна количеству инфицированных особей • Инкубационный период мал, так что им можно пренебречь, то есть заболевшая особь сразу же переходит в класс инфицированных • Постоянство численности популяции S I S – восприимчивые особи I – инфицированные особи R – устраненные особи

7. R I S S(t)+I(t)+R(t)=N или условие постоянства численности, где N – общая численность популяции • Начальные условия: • S(0)=So>0 • I(0)=Io>0 • R(0)=0 r>0, скорость инфицирования а>0, скорость убыли инфицированных - время пребывания в инфицированном классе

8. S(t) нет эпидемии эпидемия! Пороговый эффект

9. ρ = ; σ= относительная интенсивность устранения интенсивность контактов базовое репродуктивное число при >1 • Уменьшение – вакцинация; • «Коллективный иммунитет» – защита всего сообщества, вакцинация чужих детей количество вторичных заболеваний, появившихся в результате передачи первичного заболевания в популяции, полностью состоящей из восприимчивых особей

10. Roпри t

11. Imaxдостигается при S Imax o нет эпидемии эпидемия r=2, a=1, N=1

12. 0 0 0 Так как I = Io + So - Эпидемия угасает из-за уменьшения числа инфицированных особей, а не восприимчивых

13. ), R(0) = 0; ,так как (разложение в ряд Тейлора) Гиперболические функции

14. Скорость устранения , где ,

15. Пример. Бомбейская чума 1905-1906 гг.

16. Перекрестные инфекции • Шистосоматоз – перекрест между людьми и определенным видом улиток • Бычий туберкулез – перекрест между барсуками и крупным рогатым скотом • Венерические заболевания Mycobacterium bovis – возбудитель бычьего туберкулеза Яйца Schistosomasp. Гонококк

17. Моделирование венерических заболеваний I S R I S R S I S* R* S* S* I* R* I* I* S, I, R– группы мужчин S*, I*, R*- группы женщин отсутствие иммунитета

18. Начальные условия: I

19. Стационарные состояния: 1). I = 0 2). , где S S* Ненулевые стационарные состояния при - пороговое условие среднее число мужчин, зараженных одной женщиной; для аналогично.

20. Линеаризация системыи отыскание характеристических значений Для I Для ненулевых корней = 0 Reустойчивый фокус

22. Модель гонореи Четные номера – мужчины Нечетные номера - женщины N1 + N3 + N5 + N7 = 1 N2+ N4 + N6+ N8= 1 Ii(t), где i=1, 2, …, 8 – доля инфицированных 1-Ii(t) – доля восприимчивых

23. Di– среднее время (в мес.) инфицирования для группы • - вероятность излечения за каждый месяц • - интенсивность устранения в месяц - матрица контактов 8×8; (1-Ii) – восприимчивый из группыiзаразился от кого-то изj заболеваемость выздоровление скорость инфицирования

24. Географическое распространение эпидемий Безразмерные переменные: • S (x, t) – восприимчивые • I (x, t) – инфицированные

25. - базовое репродукционное число При поиске решений в виде бегущей волны получаем солитон - уединенную волну в средах различной физической природы, сохраняющую неизменной свою форму и скорость при распространении.

26. Заключение Анализирование данных моделей позволяет: • предсказать эволюцию эпидемического процесса • оценить потребность в вакцинации, если вакцина от данного заболевания существует • планировать профилактических и противоэпидемических мероприятий

27. Использованная литература • Дж.Мюррей«Математическая биология», изд. УдГУ, 2011 • Andrew J Black and Alan J McKanе «WKB calculation of an epidemicoutbreak distribution». Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment10.1088/1742-5468/2011/12/P12006 • С.Л.Плавинский «Моделирование ВИЧ-инфекции и других заразных заболеваний человека и оценка численности групп риска. Введение в математическую эпидемиологию». Москва, 2009