微分方程建模中的若干问题

1. 微分方程建模中的若干问题 ————数模竞赛辅导札记

2. 1. 微分方程建模中假设的 提出 与 修改 问题 • 建立在 市场经济 下 价格变动模型 • 具体问题：试图建立一个 数学模型，描绘在健全的市场 • 经济框架下，商品价格受市场机制调节，偏高或偏低 • 的价格将会 自动趋于平衡。 • “ 商品价格变化的两大特点 ” ： • 平衡价格应是 商品供需平衡 的价位； • 趋于过程应具有惯性特征：呈现 阻尼震荡 过程特征 • 建模目的：建立一个价格随时间演变, 以 阻尼振荡 方式 • 逐渐趋于理性的 商品供需平衡价格 的模型。

3. 建模假设： (1) 商品需求 D ( t )随价格 p ( t )的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为线性关系: (2) 商品供应 S ( t )随价格 p ( t )的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为线性关系 ; (3) 商品价格的变化速度 p’ ( t )与市场的 过剩需求 D ( t )– S ( t )有关. 假定它们之间成 正比 :

4. 模型建立：

5. 模型分析： 当 时 , 当 时 , 说明商品价格是 单调 地趋向平衡价格. 结论未能达到建模目的！

6. 建模假设的 修改 ： (1) 商品需求 D ( t )随价格 p ( t )的增大而下降 . 假定它们之间的关系近似为线性关系: (2) 商品供应 S ( t )随价格 p ( t )的增大而上升 . 假定它们之间的关系也近似为线性关系 ; (3)* 商品价格的变化速度 p’ ( t )与市场的 过剩需求 D ( t )– S ( t ) 对时间 t的 累积量有关 ( 即考虑过剩 需求的时间滞后效应 ) . 假定它们之间成 正比 :

7. 模型再建立： 商品价格随时间演变而处在 等幅震荡之中。 结论还未能达到建模目的！

8. 建模假设的 再次修改 ： 假设 (1) 、(2) 不变 ； (3)** 商品价格的变化速度 p’( t )不仅与市场过剩需求 D ( t ) – S ( t )对时间 t 的累积量有关 , 仍假定它们之间 成 正比; 还与当时的价格与平衡价格 p*的 偏差程度 有关 ( 即考虑健全的市场有政府宏观调控因素 ) , 假定它们之间也成 正比 ， 且比例系数 ( 强调政府宏观调控只是微调 ) 。

9. 模型又一 • 次建立： 商品价格随时间演变而呈现 阻尼震荡现象。 该结论达到建模目的！ 模型可采用

10. 2. 微分方程模型在 模型分析 中的主要问题之一 ——稳定性分析 （1）微分方程模型的稳定性及其实际意义 用微分方程方法建立的动态模型问题 模型分析 中的一个 重要问题是：当时间充分长后，动态过程的 变化趋势 是什么？ 微分方程模型中 ,方程 ( 组 ) + 初始条件 → 解 初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的 解，换言之，对解的发展性态变化 , 往往具有影响作用 . 问题是这种对解的发展性态的影响作用是 长期存在的 , 还是当时间充分大以后 , 影响作用会 “消逝 ”?

11. 有时候 , 初始条件的微小变化会导致解的性态随时间变 大后 , 产生显著的差异 , 这时称 系统是不稳定 的 ; 有时候 , 初始条件变化导致解的性态差异会随时间变大 后而消失 , 这时称该 系统是稳定 的. 在实际问题中, 初始状态不能精确地而只能近似地确定, 所以稳定性问题的研究对于用微分方程方法建立的模型 具有十分重要的实际意义。 也就是说，在具有稳定性特征的微分方程模型中, 长远 来看, 最终发展结果与精确的初始状态究竟如何 , 两者 之间没有多大关系, 初始状态刻画得精确不精确是无关 紧要的。

12. 微分方程稳定性理论 可以使我们在很多情况下不求解 方程便可直接得到微分方程模型描绘的系统是 稳定 或 不稳定 的结论。 研究者对于微分方程稳定性理论的研究兴趣往往大于 该方程解有无解析表达式的研究兴趣。 在数学建模竞赛活动中，很多问题中涉及到的微分方 程是一类称为 自治系统 的方程 。 自治方程 是指方程中不显含自变量 t的微分方程，例如

13. 自治方程 中的解随时间不断变大如有稳定变化趋势， 则这个解的 最终趋势值 只能是该方程的 平衡点 。 的 平衡点 是指代数方程 的根 （可能不止一个根） ； 的 平衡点 是 指代数方程组 的解 （可能不止一组解）。 如果存在某个邻域，使微分方程的解 x ( t )从这个邻域 内的某个点 x ( 0 )出发， 满足 : 则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的；

14. 如果存在某个邻域，使微分方程的解 { x ( t ) ， y ( t ) } 从这个邻域内的某个点 { x ( 0 ) ， y ( 0 ) } 出发， 满足 : 则称微分方程 的 平衡点 是 稳定 的。 上述 一阶自治方程 和 二阶自治方程组 解的 稳定性理论 结果可简介如下：

15. 非线性方程 ( 一个方程 ) 情况 形式: x’( t ) = f ( x( t ) ) 平衡点 : 解 f ( x ) = 0 , 得 x = x0 . 注意: 有时该方程的 根不止一个. 稳定意义: 当 t →∞时, 如 x → x0 , 则称 x0是稳定的 平衡点; 否则称 x0是不稳定平衡点.

16. 研究方法: (a) 作 f ( x )的线性替代 ( 利用一元函数的泰勒展开式 ) : f ( x ) ≈ f ’( x0 )( x - x0 ) + f ( x0 ) = f ’( x0 )( x - x0 ) ; . (b) 线性问题研究: 求解 x’ = f ’( x0 )( x – x0 ) , 解得 由此 , 当 f ’( x0 ) ＜ 0 时, x → x0 ; 当 f ’( x0 ) ＞ 0 时, x → +∞. (c) 一阶非线性问题的稳定性结论:根据有关数学理论 , 一阶非线性问题的稳定性在非临界情况下，与一阶 线性问题结论完全相同.

17. 非线性方程 ( 两个方程 ) 组情况 形式 : x ’( t ) = f ( x ( t ) , y( t ) ) , y ’( t ) = g ( x ( t ) , y ( t ) ) 平衡点: 解 f (x , y) = 0 , 得 x = x 0 g ( x , y ) = 0 , y = y 0 . 上面的方程组有时可能不止一组解. 稳定意义: 当 t → +∞ 时, 如 x → x0 , y → y0 , 则称 ( x0 , y0 ) 是稳定的平衡点 ; 否则称 ( x0 , y0 ) 是不稳定平衡点.

18. 研究方法: • 作 f ( x , y ) 与 g ( x , y ) 的线性替代（利用二元函数 • 的泰勒展开式）: f ( x , y ) ≈ f’’x( x0 , y0 )·( x - x0 ) + f ’y ( x0 , y0 )·( y - y0 ) ; g ( x , y ) ≈ g ’x( x0 , y0 )·( x - x0 ) + g ’y ( x0 , y0 )·( y - y0 ). (b) 线性问题研究: 记 a1= f ’x( x0, y0 ) , a2 = f ’ y ( x0, y0 ) , b1 = g ’x ( x0, y0 ) , b2 = g ’ y ( x0, y0 ) , p = - ( a1 + b2 ) , q = a1 b2- a2 b1 , 并无妨设 x0 = 0 , y0 = 0 ;

19. 求解 或写为 其中 λ1 , λ2为特征方程 r 2 + p r + q = 0 的两根 . 这里 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q

20. (1) 当 p ＞ 0 , q ＞ 0时, 如果 p2 – 4q ≥ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λ1 •λ2 = q , 推得 λ1与 λ2均为负数 ， 故当 t → +∞ 时，e λ1 t与 e λ2t 均趋于零 ， 系统稳定; 如果 p2 – 4q ＜ 0，由 λ1 +λ2 = - p , λk = α±βi 中 α 为负数 （ k = 1 ，2 ） ， 故当 t → +∞ 时，eλkt = eαt（ sinβt ± cosβt ） （ k = 1 ，2 ） 也均趋于零 ， 系统仍为稳定的 ；

21. (2)当 p ＜ 0 时, 如果 p2 – 4q ≥ 0 ，由 λ1 +λ2 = - p , 可推出 λ1与 λ2 中至少有一个为正数， 故当 t → +∞ 时，eλ1 t与 eλ2 t 中至少有一个 趋于 +∞ ，系统不稳定 ; 如果 p2 – 4q ＜ 0，仍由 λ1 +λ2 = - p , 可推出 λk = α±βi （ k = 1 ，2 ） 中 α 为正数 ， 故当 t → +∞ 时, eλk t = eαt（ sinβt ± cosβt ） （ k = 1 ，2 ） 趋于 +∞ ，仍可推出 系统不稳定 。

22. (3) 当 q ＜ 0 时 , 此时必定有 p2 – 4q ≥ 0 ， 由 λ1 •λ2 = q , 可推出 λ1与 λ2 中至少有一个为 正数， 故当 t → +∞ 时，eλ1 t 与 eλ2 t 中至少有一个趋于 +∞， 此时 系统也必不稳定 。

23. 综述之，在线性方程组非临界（p ≠ 0 ) 情况中 当 p ＞ 0 , q ＞ 0 时 , 相应的平衡点是稳定的； 当 p ＜ 0 或当 q ＜ 0 时 , 相应的平衡点是不稳定的。

24. (C) 非线性问题的 稳定性结论: 在非临界情况下 （p ≠ 0 ) ， (i) 若相应的线性问题是 稳定 的 , 则对应非线性问题也 是 稳定 的 ； (ii) 若相应的线性问题是 不稳定 的, 则对应非线性问题 也是 不稳定 的.

25. 微分方程稳定性理论 的应用实例 —— 渔场防止捕捞过渡问题 • 建模目的：建立一个在有捕捞的情况下，渔场中鱼量 • 随时间变化的数学模型 ，藉此研究鱼量数 • 随时间变化的发展趋势。 • 建模假设： (1) 在无捕捞条件下，鱼量数 x ( t )的增长服从 Logistic规律： (2) 有捕捞时，单位时间的捕捞量 h 与渔场鱼量成正比：

26. 模型建立与分析： 令 当 k ＜ r 时, f ’( x1 ) = - r + k < 0 , x1为稳定点 , f ’( x2 ) = r – k > 0 , x2为不稳定点 ； 当 k ＞ r 时, f ’( x1 ) = - r + k > 0 , x1为不稳定点 ， f ’( x2 ) = r – k < 0 , x2为稳定点 .

27. 捕捞问题的深化 —— 二元方程组情况 • 建模假设： (1) 在无捕捞条件下，鱼量数 x ( t )的增长服从 Logistic规律： (2) 有捕捞时，单位时间的捕捞量 h 与渔场鱼量成正比： (3) 捕捞时，捕捞率 k 与时间 t 有关 ， 其关于时间的增长率与捕鱼获得的净利润成正比： (4) 鱼的销售单价与单位捕捞率的费用分别为常数 p 与 c ：

28. 模型建立与分析： 令 故平衡点 ( 0 , 0 ) 是 不稳定 的 ；

29. 当 p N ＜ c 时, p 2 > 0 , q 2 > 0 ; q 3 > 0 ;  ( x2 , k2 )是稳定的 ， ( x3 , k3 )是不稳定的 ；

30. 当 p N > c 时 , q 2 < 0 ; p 3 > 0 , q 3 > 0 ;  ( x 2 , k 2 )是不稳定的 ， ( x 3 , k 3 )是稳定的 ；

31. 3. 偏微分方程 建模问题 —— 休渔期鱼群分布规律模型 建立实行休渔政策下近海鱼群分布情况的数学模型。 建模假设：(1) 海岸线近似为直线；鱼群只沿垂直于海岸 线方向向外游动；故问题的空间维数可取为一维； 海岸 0 外海 x (2)规定休渔区域在沿海 l公里以内；休渔边界 x =l 外，鱼群将全部被外海渔船打尽； (3)任何地点 x 、任何时刻 t的鱼群密度分布函数 u ( x , t )为可微函数；

32. (4) 初始时刻的鱼群密度分布函数 u ( x , 0 ) 为已知函数 u 0 ( x ) ； (5) t 时刻 、x 处鱼群密度u ( x, t ) 的增长速度为 已知函数 f ( u ) ; (6) t 时刻 、x 处鱼群数向外游动的扩散量 Φ( x , t ) 与 u x ( x, t ) 成正比 ，比例系数为常数 a 2： 这个假设类似于热量扩散问题中的 Fourier 法则 。

33. 建模过程单位时间里 ，[ a , b ] 段上鱼群数的变化量为： 这个变化量可分为两项之和，一项为单位时间里，残留 在 [ a , b ]段内的鱼群数： 另一项为单位时间里， [ a , b ]段内的新生鱼群数：

34. 其中初边值 条件为：

35. t x 0 l 这个偏微分方程的初、边值问题是 适定的 ， 即问题的解是 存在、唯一 的，且 连续依赖 于初边值数据。

36. 4. 自由边界问题 自由边界问题是一类较为复杂的偏微分方程问题，这种 类型的问题在各种各样的应用中非常频繁地出现，例如 它可出现在物相变化过程、化学反应过程、生物扩散 过程、土壤冻过程等等的物理、化学现象之中，甚至 还出现在金融衍生物价格计算、抵押贷款评估研究等等 的经济现象之中。 （1）一相 Stefan 问题 考虑一根套在与四周完全绝缘隔热的管子中而正在融 化的细冰棍；其右端为冰，左端为融化而成的水。拟 建立一个融化水区域上任意点处温度随时间演变的模型。

37. 建模假设： （1）假定冰区域温度恒等于零度； （2）假定水区域中热量传导服从Fourier定律 ，即 单位时间中高温点到低温点的热流量大小与两点 之间的温差成正比； 由此可推出以下等式： （3）假定水的密度 ρ、比热 c、热传导系数k和 为了融化冰为水的潜热 L 均为常数 。

38. 取细棍的一小段 [ x , x +Δx ] , 设细棍的截面积为 s 0 厘米2； 记 q ( x , t ) 为热流密度（卡 / 秒 · 厘米2 , 单位时间内通过 单位面积 的热量）， 则在 Δt 时间内，沿 x 方向流入小段 [ x , x +Δx ] 的总热量数近似为：q ( x , t ) · s 0 ·Δt （卡） , 流出小段 [ x , x +Δx ] 的总热量数近似为： q ( x +Δx , t ) · s 0 ·Δt （卡） , 流入小段与流出小段的热量差使得小段中水的温度升 高，这个热量差可以根据下式计算： （ρ· Δx · s 0 ）·c · [ u ( x , t +Δt ) – u ( x , t )] （卡） ，

39. 这样便可得： 根据 Fourier 定律，有： 这个方程称为 热传导方程

40. 在融化而成的水域里 ，水的温度 u ( x , t )服从 热传导 方程 ： u t = a2 uxx , x  ( 0 , s0 ) , t  ( 0 , + ) . 为求解这个偏微分方程，还需知道左、右边界值和初值。 假定水温的 初值 为已知函数 ： u ( x , 0 ) =u 0 ( x ) ； 在 左边界上 水温为已知函数： u ( 0 , t ) = u 1 ( t ) > 0 ; 由于右边界端处的 热传导，冰在不断融化，故水域的 右边界是一条 移动边界 ，或称为 自由边界 。 这条 自由边界 本身也是需要求解的 未知一元函数！

41. t t4 t3 t2 x = s ( t ) t1 水 冰 x 0 s0 L 易知，在移动的右边界 s ( t )上水温函数应满足： u ( s ( t ) , t ) = 0 ； 为了决定 自由边界 的位置，还需导出边界上另一个条件 。

42. 设在 Δt 时段内，移动边界向右移动了一段路程Δx ， 为了融化边界移动中消失的冰， 需要一份热量，其数量应是： Δx 在 Δt 时段内，从边界左边水域中传入阴影冰区域内的 总热量根据 Fourier 定律，应是： 两者应该相等：

43. 令 Δt → 0 ， 可得： 于是，融化水区域上任意点处温度 u ( x , t ) 随时间 t 演变的模型为： x = s ( t ) t x 0 s0 偏微分方程理论研究证明了这个问题也是 适定 的 。

44. （2）两相 Stefan 问题 如果冰区域温度不恒等于零度，该区域中也有热传导 过程，则一相 Stefan 问题就变成了两相 Stefan 问题。 x = s ( t ) t s0 x 0 L 这个问题的 适定性 也已获得证明 。

45. （3） 细胞体内氧气的扩散与吸收问题 细胞体内氧气的会向周边 扩散 ，在 扩散 的同时，细胞 体也在 吸收 氧气以维持生命 ；如果细胞得不到氧气的 供给将会死亡。建立一个描绘该 扩散 — 吸收 过程的数 学模型。 为简单计，以下只考虑一个一维细胞体模型。

46. 建模假设： （1）假定氧气在细胞体中从氧气浓度大的左边 扩散 至 浓度小的右边；在扩散中，扩散流量q的大小与 左、右两点的氧气浓度 c的差成正比；即： （ k 为扩散系数 ） （2）假定任何时刻，每单位立方体的细胞体 吸收 氧气 的速度为一常数 D； （3）某一时刻起，断绝氧气供给；缺乏氧气的细胞体 即行死亡，不再参与氧气扩散过程 。

47. 考虑细胞体在位置 x 处、长为 Δx的一段细胞上扩散 和吸收氧气情况。 氧气 细胞体末端 在 Δt时段内，经扩散进入这段细胞内的氧气数量是 : 经扩散流出这段细胞内的氧气数量是 : 这段细胞内氧气的变化量是： 这段细胞氧气的吸收量是：

48. 进入量、流出量、变化量和吸收量之间应有关系： 根据假设（1）， 氧气扩散、吸收方程

49. 在细胞体左端，在 t = 0起断绝氧气输入，故有： 在细胞体右末端 x = s处，始终有条件： t 随着氧气的缺乏， 右末端的细胞逐渐 死亡，故有末端的 位置随时间而变动， 形成一条 自由边界 ： x = s ( t ) . x s0 0

50. 氧气扩散、吸收问题 ： 寻求未知函数对：{ c ( x , t ) ，s ( t ) } ， 使得它们满足：