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Métodos Numéricos e Estatísticos

Métodos Numéricos e Estatísticos. Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 04 : Sistemas Lineares. Sistemas lin e ares. n equações n incógnitas homogêneo: se b j =0  j , caso contrário, não homogêneo o sistema de equ a ções pode ser representado pelo produto de matrizes:

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Presentation Transcript

  1. Métodos Numéricos e Estatísticos Prof. Marcone Jamilson Freitas Souza Aula 04: Sistemas Lineares

  2. Sistemas lineares n equações n incógnitas homogêneo: se bj=0  j , caso contrário, não homogêneo o sistema de equações pode ser representado pelo produto de matrizes: AX=B , onde

  3. Eliminação de Gauss Reduzir o sistema para forma triangular: elimina-se x1 de E2 a En ; elimina-se x2 de E3 a En ; ...... Calcular xn a partir da última equação Fazer a substituição reversa: xn x(n-1).......x1

  4. LU Fatoração LU A matriz A pode ser escrita como A = LU, onde L é o triângulo de baixo (lower), e U é o de cima (upper). A = L U A é não singular quando tem uma inversa A-1, tal que A A-1 = I Para matrizes não singulares, as linhas podem ser reordenadas e a matriz A é fatorável. I =

  5. Os elementos da matriz L são os lij e os de U são os uij. Métodos Doolittle: A solução é obtida resolvendo-se em primeiro lugar L y = B e depois Ux = y A x = B = L U x = B

  6. Cholesky: Para A positiva, definida e simétrica: A = AT xT A x>0 para todo x 0, podemos escolher U= LT (ljk = ukj). A = L LT

  7. A = I + L + U A = I + L + U Agora L e U tem diagonal nula! Métodos iterativos: Para sistemas esparsos (com muitos coeficientes igauis a zero) ou sistemas com grandes coeficientes na diagonal principal. Gauss-Seidel - rearranjar as equações de tal forma que os ajj = 1. Ax = (I + L + U) x= B I x = B - (L + U) x I x = x x = B - (L + U) x x(t+1) = B - L x(t+1) - U xt

  8. C C C Convergência: Condição suficiente: || C || < 1, sendo Um método iterativo converge se a sequência x0  x1  X2 .....  x(t - 1)  xt tende para um valor xt tal que r = xt - x(t - 1) é dado por |rij| < , onde  é a tolerância do processo (<<1). O método de G.S. converge para todo X0 se e somente se todos os autovalores da matriz C = (I - L)-1U tiverem valores absolutos menores que 1. Se o maior autovalor for pequeno, a convergência é rápida.

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