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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I. Quatrième cours. Rappel du dernier cours. Escompte composé. Rappel du dernier cours. Escompte composé Escompte simple. Rappel du dernier cours. Escompte composé Escompte simple Taux nominal d’intér êt. Rappel du dernier cours. Escompte composé

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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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Presentation Transcript


  1. MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Quatrième cours

  2. Rappel du dernier cours • Escompte composé

  3. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple

  4. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt

  5. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt • Taux nominal d’escompte

  6. Rappel du dernier cours • Escompte composé • Escompte simple • Taux nominal d’intérêt • Taux nominal d’escompte • Équivalence de taux

  7. Rappel: Taux nominal d’intérêt Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est

  8. Rappel: Taux nominal d’escompte Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est

  9. Rappel: L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes en calculant la valeur actuelle de 1$ payable dans un an ou encore

  10. Rappel:(suite) en calculant la valeur accumulée par 1$ après un an.

  11. Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

  12. Exemple 1: Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois. (a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années? (b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?

  13. Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est c’est-à-dire

  14. Solution: (a) Pour les deux premières années, nous avons que le taux d’intérêt est c’est-à-dire Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est c’est-à-dire

  15. Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.

  16. Solution: (a) Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois. Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois.

  17. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est

  18. Solution: (a) Le montant accumulé après les deux premières années est Le montant accumulé après les trois dernières années est

  19. Solution: (a) Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.

  20. Solution: (b) Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et après deux ans et les soustraire l’un de l’autre.

  21. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est

  22. Solution: (b) Le montant accumulé dans le placement après les trois premières années est Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est

  23. Solution: (b) Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est

  24. Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.

  25. Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: (suite) Notons la fonction d’accumulation par Alors le taux instantané de l’intérêt est

  26. Exemple 2: Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire Alors la force de l’intérêt sera

  27. Exemple 3: Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire Alors la force de l’intérêt sera

  28. Remarque 1: Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante.

  29. Remarque 2: Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet,

  30. Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons montrer que

  31. Remarque 2: (suite) De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale:

  32. Remarque 3: Dans la situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire nous obtenons que

  33. Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé.

  34. Remarque 3: (suite) Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé. De plus, nous obtenons que où est le taux d’intérêt composé équivalent.

  35. Exemple 4: Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané de l’intérêt de 5% par année. Quel montant doit-il investir aujourd’hui?

  36. Solution: Nous voulons calculer le valeur actuel de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt

  37. Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

  38. Solution: (suite) Nous avons vu que la fonction de capitalisation est Conséquemment la fonction d’actualisation est

  39. Solution: (suite) De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui

  40. Si Proposition 1: et désignent respectivement un taux nominal d’intérêt et un taux instantané de l’intérêt et que ces taux sont équivalents, alors

  41. CHAPITRE IIPrincipes de base

  42. Principe de base: La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé.

  43. Conséquence du principe de base: Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.

  44. Définition: L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée l’équation de valeur.

  45. Définition de l’équation de valeur: La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même date de comparaison

  46. Exemple 5: Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un seul versement de X dollars dans 5 ans. Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

  47. Solution: Le taux d’intérêt par période de 6 mois est Prenons comme date de comparaison

  48. Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est Alors l’équation de valeur est

  49. Solution: (suite) alors le diagramme d’entrées et sorties est Si nous avions pris comme date de comparaison

  50. Solution: (suite) alors le diagramme d’entrées et sorties est Si nous avions pris comme date de comparaison et l’équation de valeur est

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