Studenti: Matea Šutalo Nikolina Martinec Ivana Tomašković

1. Sveučilište u ZagrebuFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije ZAVOD ZA MATEMATIKU DIPLOMSKI STUDIJ EKOINŽENJERSTVO SEMINARSKI RAD MODEL SUŽIVOTA GDJE JEDNA VELIČINA OMETA DRUGU Voditelj rada: dr. sc. Ivica Gusić, dr. sc. Miroslav Jerković Studenti: Matea Šutalo Nikolina Martinec Ivana Tomašković Lipanj, 2012

2. Uvod Dinamički sustavi Model suživota gdje jedna veličina ometa drugu Primjer modela u programskom paketu Matlab Zaključak Literatura SADRŽAJ

3. Svaki organizam rođenjem pripada populaciji određene vrste koja na istom staništu koegzistira s populacijama istih ili drugih vrsta. uvod Jednostavnija međudjelovanja mogu se modelirati pa tako i odnos među populacijama gdje jedna populacija na drugu utječesamo redukcijom broja njenih jedinki, dok ta druga populacija na prvu ne utječe uopće. Model suživota gdje jedna vrsta ometa drugu jednostavan je matematički model koji se može koristiti u svrhu promatranja i shvaćanja kako će se razvijati i ponašati dvije skupine jedinki dviju različitih vrsta, a da su pritom na neki način izolirane od ostalih vrsta, pri čemu jedna vrsta na drugu utječe samo tako da joj smanjuje kapacitet.

4. opisuje međusobnu zavisnost sustava varijabli i njihovu promjenu u vremenu mogu biti kontinuirani, diskontinuirani ili kombinacijanavedenih (hibridni) opisani su diferencijalnim jednadžbama ponašanje dinamičkih sustava moguće je predočiti orbitama (trajektorijama- putanja ili orbita točke (x0, y0) kroz sva vremena) važno je također opisati fiksne točkeili stacionarna stanja danog dinamičkog sustava (varijable koje se neće promijeniti s vremenom) te periodične točke jer su to stanja sustava koja se ponavljaju nakon određenog perioda vremena dinamički sustavi mogu biti linearni(jako rijetko) ili nelinearni(sustav čiji je model opisan nelinearnim jednadžbama) Dinamički sustavi

5. jedan od najjednostavnijih nelinearnih diferencijalnih jednadžbi 1. reda kojom je moguće opisati rast neke populacije ovaj model često se naziva populacijskim modelom upravo zato jer se koristi za modeliranje kretanja neke populacije Logistički model • K – koeficijent rasta populacije • M – nosivi kapacitet • t – vrijeme • dx/dt – brzina rasta populacije (kraće x’)

6. jedna nesimetrična situacija promatra način na koji jedna vrsta utječe na drugu smanjujući joj kapacitet, a da pritom druga ne ometa prvu može se opisati situacijom u zatvorenom sustavu gdje su prisutne x, y, i t varijable Model suživota gdje jedna vrsta ometa drugu a - koeficijent razvoja veličine x (napadača / agresora) b - koeficijent razvoja veličine y (žrtve) c - koeficijent nasrtljivosti napadača K - maksimalna teoretska količina populacije x L - maksimalna teoretska količina populacije y kada ne bi bilo varijable x x – broj agresivaca y – broj žrtava t – vrijeme dx/dt – promjena gustoće populacije x po vremenu dy/dt – promjena gustoće populacije y po vremenu

7. primjeri su prikazani u Matlabu proučavali smo utjecaj početnih uvjeta i parametara na sudbinu dviju vrsta populacija jedne vrste (x) nazvana je “napadači” ("agresori“), a druge (y) "žrtve" parametri početni uvjeti - x0, y0 početna količinu agresora, odnosno žrtve PRIMJERI MODELA SUŽIVOTA GDJE JEDNA VELIČINA OMETA DRUGU U MATLABU a - koeficijent razvoja veličine x (napadača / agresora) b - koeficijent razvoja veličine y (žrtve) c - koeficijent nasrtljivosti agresora K - maksimalna teoretska količina populacije x L - maksimalna teoretska količina populacije y kada ne bi bilo varijable x

8. Početno stanje sustava – ravnoteža i . Sustav se sastoji od dvije diferencijalne jednadžbe Sustav je u ravnoteži ako je: što znači da je iz toga slijedi da je • Sustav je u ravnoteži • ako je x = 10 i y = 10 ako je

9. Primjer 1. • Jednadžbe modela suživota gdje jedna veličina ometa drugu Početni parametri • Početne vrijednosti x i y

10. SUSTAV JE U RAVNOTEŽI  kapaciteti žrtava i napadača su uravnoteženi  promjenom vremena (t) broj populacija se ne mijenja Graf 1. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je sustav u ravnoteži

11. Primjer 2. • proučava se utjecaj promjene koeficijenata, parametara i početnih uvjeta • u Primjeru 2 broj do kojega se napadač može razviti je 30, a broj do kojeg se žrtva može razviti je 40 •  početne vrijednosti napadača i žrtve su 10 kao u Primjeru 1

12. Graf 2. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu  poboljšanjem uvjeta za život obje vrste su se počele razmnožavati  također možemo vidjeti u kojem je vremenu broj napadača prešao određenu količinu te se kapacitet žrtava počeo smanjivati

13. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 •  povećanje gustoće napadača (x) direktno utječe na gustoću žrtava (y) • trajektorije su definirane za različite početne uvjete x0 i y0 koji se kreću od vrijednosti 10 do 50 sa korakom 5 •  točka ponora trajektorija, (30,22) - to je fiksna točka u kojoj x ide prema svom kapacitetu, a y prema svom relativnom kapacitetu Graf 3. prikaz skupa trajektorija koje opisuju životne cikluse dviju vrsta  različite boje – različiti x

14. utjecaj nasrtljivosti napadača c sa 0,6 na 0,7 Utjecaj nasrtljivosti napadača - povećanje koeficijenta c Graf 4. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je c = 0,7

15.  pri manjem broju napadača broj žrtava počinje padati Utjecaj nasrtljivosti napadača - povećanje koeficijenta c • Graf 5. Ovisnost gustoće populacije vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je c= 0,7

16. Utjecaj nasrtljivosti napadača – smanjenje koeficijenta c • ako smanjimo utjecaj nasrtljivost napadača na • c = 0,1 vidimo da je broj žrtava veći od broja napadača jer je njihov kapacitet veći od kapaciteta napadača •  kako napadači usporavaju rast žrtvi, te žrtve nikad neće dostići svoj maksimalni kapacitetL = 40 Graf 6. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je c = 0,1

17. . Utjecaj nasrtljivosti napadača – smanjenje koeficijenta c • primjećujemo da se točka ponora trajektorija kod c = 0,1 podigla po y osi, s obzirom na točku ponora kod • c = 0,6 •  utjecaj napadača je u ovom slučaju manji pa se samim time i relativni kapacitet žrtava povećao Graf 7. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je c = 0,1

18. Utjecaj parametra K, odnosno utjecaj kapaciteta napadača • Povećanje parametra K, za K = 50 Graf 9. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je K = 50 Graf 8. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je K = 50 • povećanje kapaciteta napadača na K = 50 tijekom vremena direktno se povečava brojčano stanje napadača, a samim time i na smanjenje kapaciteta žrtava

19. Smanjenje parametra K, za K = 20 Utjecaj parametra K, odnosno utjecaj kapaciteta napadača Graf 11. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je K = 20 Graf 10. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je K = 20 •  smanjenjem kapaciteta napadača K = 20 direktno se utječe na njihovo brojčano smanjenje • u skladu s tim vidljivo je smanjenje utjecaja napadača na žrtve • iz grafa 11. vidljivo je kako se zbog smanjenja parametra utjecaj gustoće napadača na gustoću žrtava smanjio

20. Utjecaj parametra L, odnosno utjecaj kapaciteta žrtve Povećanje parametra L, za L = 50 Graf 13. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je L = 50 Graf 12. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je L = 50  povećanjem parametra L dolazi do povećanja broja žrtava, ali s obzirom da je napadača još dovoljno da taj rast zaustave na određenom nivou, žrtve se ne mogu razviti do punog potencijala

21. Utjecaj parametra L, odnosno utjecaj kapaciteta žrtve Smanjenje parametra L, za L = 35 Graf 15. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je L = 35 Graf 14. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je L = 35 • smanjenjem parametra L na 35 smanjuje se kapacitet žrtve • budući da smo smanjili kapacitet žrtava, ranije će doći do pada njihove gustoće • porastom broja napadača broj žrtava brže pada tj. veći je utjecaj napadača na žrtve

22. Promjena koeficijenta a, za a = 0,5 Utjecaj inteziteta razmnožavanja pojedinih vrsta Graf 17. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je a = 0,5 Graf 16. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je a = 0,5  promjenom parametra a broj napadača puno brže dosegne svoj maksimum (intenzitet njihovog razvoja je puno veći), pa samim time i broj žrtvi brže padne

23. Promjena koeficijenta b, za b = 0,5 Utjecaj inteziteta razmnožavanja pojedinih vrsta Graf 19. Ovisnost promjene gustoće vrste 1 o promjeni gustoće vrste 2 kada je b = 0,5 Graf 18. Promjena gustoće populacije vrsta u vremenu kada je b = 0,5  promjenom parametra b se povećava intenzitet razvoja žrtvi pa brže dosegnu maksimalan broj koji mogu dostići, ali čim se napadači (agresori) dovoljno razviju, opet broj žrtvi opada

24. Model suživota gdje jedna veličina ometa drugu je vrlo jednostavan i razumljiv. Mijenjanjem određenih parametara i početnih uvjeta dolazimo do različitih odnosa populacija. Možemo zaključiti da se povećanjem početnog intenziteta razvoja ili razmnožavanja, nasrtljivosti te maksimalnog kapaciteta napadača povećava utjecaj na žrtvu. Do istog učinka dolazi ako se neki od tih parametara i koeficijenata kod žrtve smanjuju. Promjena bilo kojeg parametra ili koeficijenata žrtve ili napadača nema utjecaj na razvoj napadača. Ovaj model se zbog svoje pouzdanost može koristiti za izračunavanje kretanja neke populacije. ZAKLJUČAK

25. HVALA NA PAŽNJI!!!

26. 1) http://elgrunon.wordpress.com/2007/04/18/mala-povijest-deterministickog-kaosa-iii/ 2) http://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systems_theory 3) http://www.inet.hr/~ivnakic/kaos/2-1-Uvod_u_kaoticne_sustave.htm 4) Damir Marinić; Teorije dinamičkih sustava kao metateorijski okvir za istraživanja ličnosti; pregledni rad; Osijek 2008. 5) Petra Sabljić; Diskretni dinamički sustavi – logistički model, Kaos; seminarski rad; Zagreb 2009. 6) Ivica Gusić; Uvod u matematičke metode u inženjerstvu; predavanja s Fakulteta kemijskog inženjerstva i tehnologije u Zagrebu. literatura