1 / 25

Spektrala Transformer

Spektrala Transformer. Fouriertransformer. Fourier. Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor !. Jean-Baptiste Fourier 1768-1830. Fouriertransformen. Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar…

annick
Download Presentation

Spektrala Transformer

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Spektrala Transformer Fouriertransformer DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  2. Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor ! Jean-Baptiste Fourier1768-1830 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  3. Fouriertransformen • Transformerar kontinuerliga signaler från tids- till frekvensdomän = skriver om dem som en summa av sinusar… • … och tillbaks från frekvens till tid forward inverse DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  4. Fourierserier • Specialfall: då f(t) är periodisk blir ω diskret – vi samplar frekvensaxeln: • ω = kω0 där ω0=2π/T DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  5. Fourierserier Om f(t) är reell gäller att DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  6. Fourierseriens egenskaper • Beloppet |ck| ger signalens spektrum • Spektrumlutningen ger ett mått på jämnheten i signalen • för fyrkantvåg avtar spektrum med 1/n • för triangelvåg avtar spektrum med 1/n2 • Integrering i tidsdomänen ökar spektrumlutningen, derivering minskar den • Diskontinuiteter i insignalen orsakar ”ringningar” (Gibbs fenomen) 2f1120 Spektrala Transformer för Media • Jonas Beskow

  7. Transformer i Fourier-familjen DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  8. DFT – Diskret Fouriertransform Fouriertransform av verkliga, samplade signaler – inte bara matte: • Spektral analys • Spektrum & Spektrogram • Filtrering & bildbehandling • Snabb faltning av långa sekvenser/stora filterkärnor • Kodning • Spektralbaserad bildkodning (typ JPEG) • Ljudkodning (typ MP3) • Talteknologi • Särdragsextraktion för taligenkänning mm • Audio/musik • Pitch-shift/time-stretch Och så vidare… DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  9. DFT - domäner • DFT transformerar signaler mellan diskret tidsdomän och diskret frekvensdomän • N punkter i tidsdomänen ger N punkter i frekvensdomänen DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  10. 2 2 π/2 3 3 1 1 3π/4 π/4 n 4 4 0 0 π 0 ω = k2π/N -3π/4 -π/4 5 5 7 7 -π/2 6 6 n: 0 1 2 3 4 5 6 7 ω: 0 … π … DFT - domäner N=8 Tidsdomän Frekvensdomän k k: 0 1 2 3 4 5 6 7 DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  11. 2 π/2 3 1 3π/4 π/4 k π 0 4 0 ω = k2π/N -3π/4 -π/4 5 7 -π/2 6 DFT - basvektorer • Basvektorerna är N st. phasors DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  12. DFT Tid→Frekvens (DFT) Frekvens→Tid (Invers DFT, IDFT) DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  13. DFT som en matris DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  14. DFT som en matris Tid→Frekvens (DFT) Frekvens→Tid (Invers DFT, IDFT) DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  15. DFT för reella sekvenser • Om x(n) är reell blir X(k) symmetrisk kring N/2: X(N-k) = X(k)* DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  16. Några DFT-transformpar:impulser DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow ur Steven W. Smith ”Digital Signal Processing”

  17. Några DFT-transformpar:fyrkantpulser DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  18. Några DFT-transformpar:pulser DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  19. Några DFT-transformpar:gauss-funktioner DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  20. Ett praktiskt problem… • Vad innebär det att tidsdoänen blir cirkulär? • Diskontinuiteter - påverkar spektrum! • sidolober DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  21. Lösning: fönstring • Signalen multipliceras med ett fönster som går mot noll i intervallets ändar! • Undertrycker sidolober • Något försämrad upplösning i frekvensled DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  22. FFT – Fast Fourier Transform • FFT är en effektiv algoritm för att beräkna DFT • FFT är helt avgörande för att många applikationer av DFT ska vara praktiskt möjliga! • FFT fungerar genom att rekursivt dela upp problemet i mindre problem, s.k. ”söndra och härska” (divide-and-conquer)-metodik DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  23. Beräkningshastighet Antal multiplikationer: • DFT: ~N2 • FFT: ~N log(N) DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  24. DFT/IDFT • Kan vi snabba upp beräkningen av IDFT också? • Ja! IDFT{X} = DFT{X*}/N • FFT kan användas även för invers DFT DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

  25. Sammanfattning • Fouriertransformen uttrycker icke-periodiska signaler som kontinuerliga frekvensfunktioner • En Fourierserie uttrycker periodiska signaler som en summa av diskreta frekvenskomponenter • DFT transformerar mellan diskret tids-domän och diskret frekvensdomän • FFT är en algoritm för att beräkna DFT • FFT är fundamental i många DSP-tillämpningar DT1130 Spektrala Transformer • Jonas Beskow

More Related