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回民中学 付灵强

精彩的三角板. 回民中学 付灵强. B. D. F. A. C. E. 你可以说出这副三角板所反映的直角三角形性质吗?. 畅所欲言. A. A. D. D. F. B. B. E. C. C. 图 2. 图 1. 1. 用两个全等的等边三角形△ ABC 和△ ACD 拼成菱形 ABCD. 把一个含 60° 角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的 60° 角的顶点与点 A 重合,两边分别与 AB , AC 重合图 1. 将三角尺绕点 A 按逆时针方向旋转 .

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Presentation Transcript


  1. 精彩的三角板 回民中学付灵强

  2. B D F A C E 你可以说出这副三角板所反映的直角三角形性质吗? 畅所欲言

  3. A A D D F B B E C C 图2 图1 1.用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合,使三角尺的60°角的顶点与点A重合,两边分别与AB,AC重合图1.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转. (1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时,(如图2),通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论?并证明你的结论; 牛刀小试

  4. A D F B E C 图2 解:(1)BE=CF 证明:在△ABE和△ACF中, ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°, ∴∠BAE=∠CAF. ∵AB=AC,∠B=∠ACF=60°,∴△ABE≌△ACF(ASA) ∴BE=CF. 牛刀小试

  5. F A D E C B 图3 (2)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图3),你在(1)中得到的结论(BE=CF)还成立吗?简要说明理由. 解:(2)BE=CF仍然成立. 根据三角形全等的判定公理,同样可以证明△ABE和△ACF全等,BE和CF是它们的对应边.所以BE=CF仍然成立. 牛刀小试

  6. 2.如图1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按逆时针方向旋转.2.如图1,一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起.现正方形ABCD保持不动,将三角尺GEF绕斜边EF的中点O(点O也是BD中点)按逆时针方向旋转. (1)如图2,当EF与AB相交于点M,GF与BD相交于点N时,通过观察或测量BM,FN的长度,猜想BM,FN满足的数量关系,并证明你的猜想; D C O A B 图2 F D( F ) C N O G M A( G ) B( E ) 图1 E

  7. F N D C G M O E A B 图2 解:(1)BM=FN.   证明:∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ∴ ∠ABD =∠F =45° OB = OF. 又∵∠BOM=∠FON, ∴△OBM≌△OFN. ∴ BM=FN.

  8. N D C F O E A M B G 图3 (2)若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时,线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M,线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N,此时,(1)中的猜想(BM=FN)还成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由

  9. N D C F O E A M B G 图3 (2)BM=FN仍然成立. 证明: ∵△GEF是等腰直角三角形,四边形ABCD是正方形, ∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF. ∴∠MBO=∠NFO=135°又∵∠MOB=∠NOF, ∴ △OBM≌△OFN. ∴ BM=FN.

  10. 图1 细心试一试你仍然可以 将两块全等的含30°角的三角尺按如图1摆放在一起,设较短直角边为1. (1)四边形ABCD是平行四边形吗? 说出你的结论 和理由:________________________.

  11. 答: __________________ ___________________ ____. 图1 图2

  12. A B C D

  13. A B C D

  14. A D M E B N C 图1 F 我们一起来.如图1,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转。 (1)在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N。 ①证明DM=DN;

  15. ②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积;②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积; A D M E B N C 图1 F

  16. A D N B C M E F 图2 (2)继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

  17. F A E D M B C N 图3 (3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?请写出结论,不用证明。 答: DM=DN仍然成立

  18. G F A B C 图1 开动脑筋就会成功 在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC边在一条直线上,另一条直角边恰好经过点B. (1)在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度,猜想并写出BF与CG满足的数量关系,然后证明你的猜想; 解;(1)BF=CG; 证明:在△ABF和 △ACG中, ∵∠F=∠G=90°,∠FAB=∠GAC, AB=AC, ∴△ABF≌△ACG(AAS) ∴BF=CG.

  19. F (2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边在同一直线上,另一条直角边交BC边于点D,过点D作DE⊥BA于点E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度, 猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系,然后证明你的猜想; G A H E B C D 图2

  20. F G A H E B C D 图2 (2)DE+DF=CG; 证明:过点D作DH⊥CG于点H(如图2). ∵DE⊥BA于点E,∠G=90°,DH⊥CG, ∴四边形EDHG为矩形, ∴DE=HG,DH∥BG. ∴∠GBC=∠HDC. ∵AB=AC, ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC. 又∵∠F=∠DHC=90°, CD=DC, ∴△FDC≌△HCD(AAS), ∴DF=CH. ∴GH+CH=DE+DF=CG, 即DE+DF=CG.

  21. F (3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) G A E H B C D 图3

  22. F F (4)当三角尺在(3)的基础上沿射线AC方向继续平移到图4所示的位置(点F在线段AC的延长线上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由) E G A B C D 图4

  23. F F F F E G A H B C D 图4 E G A B C D H 图4

  24. 中考赏析 F F C E C 45° C E (N) C F F E N M M N M 60° E A A G H B D D B A B A G G D D H B H 图④ 图③ 图① 图② 第24题图 第24题图 (07武汉本题10分)已知:将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放,点E、A、D、B在一条直线上,且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE、AC相交于点M,直线DF、BC相交于点N,分别过点M、N作直线AB的垂线,垂足为G、H。 (1)当α=30°时(如图②),求证:AG=DH; (2)当α=60°时(如图③),(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由; (3)当0°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图④说明理由。

  25. 中考赏析 河北省05年 23题、(本小题满分8分) 如图14―1,14―2,四边表ABCD是正方形,M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合),另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。 ⑴如图14―1,当点E在AB边的中点位置时: ①通过测量DE,EF的长度,猜想DE与EF满足的数量关系是; ②连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是; ③请证明你的上述两猜想。 ⑵如图14―2,当点E在AB边上的任意位置时,请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF,进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

  26. 课后絮语 三角板是我们数学课经常用的作图工具,如果我们将三角板进行简单的组合或者进行旋转、平移变换,这时最简单、最基本的几何问题会变得精彩起来! 尤其是我们河北省从2004年起每年都有一个有关三角板的考题, 只要我们能抛开三角板的物理性质,抓住其几何性质,相信每一名同学会揭开其神秘的面纱,考出理想的成绩! 祝同学们学业有成

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