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Notación. Límites laterales. Teorema. Definición. Explicación. Límites infinitos. Límite finito en el infinito. Límite infinito en el infinito. Regla de L’Hôpital. Notación.
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Notación Límites laterales Teorema Definición Explicación Límites infinitos Límite finito en el infinito Límite infinito en el infinito Regla de L’Hôpital
Notación Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno reducido del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Si existe un número L, tal que a medida que x se aproxima al número a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe: Ejemplo
La función f(x) = x.sen(1/x), verifica: Al aproximarnos a cero (a=0) por puntos x distintos de cero, f(x) se aproxima a 0 (L=0) Véase con la definición de límite.
Por la definición: En nuestro caso: DEMOSTRACIÓN Se tiene que verificar que: Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla Por muy pequeño que sea ε siempre se puede considerar un δ menor de tal forma que si x se aproxima a 0, entonces xsen(1/x) se aproxima al límite.
Límites laterales Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (a, b). Si a medida que x se aproxima al número a por la derecha, es decir con a<x, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe: Ejemplo Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que el dominio de f contiene un intervalo abierto (c, a). Si a medida que x se aproxima al número a por la izquierda, es decir con x<a, f(x) se aproxima a L, entonces L es el límite por la izquierda de f(x) cuando x tiende a “a”. Se escribe: Ejemplo
La función f(x) = , verifica: En este caso los límites laterales no coinciden, y por lo tanto, no existe el límite de esta función cuando x tiende a 1.
Teorema Sea f una función y a un punto interior al dominio de f, entonces, existe el límite de f(x) cuando x tiende a “a” si y sólo si existen los límites laterales y son coincidentes: Si Ejemplo entonces PROPIEDAD Si existe el límite de f(x) cuando x tiende a “a”, entonces es ÚNICO
La función f(x) = , verifica: En este caso los límites laterales coinciden, y por lo tanto, existe el límite de esta función cuando x tiende a 1 y vale 2.
Definición Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a “a” si: Ejemplo
Explicación: Para cada número positivo εexiste un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) cae dentro de un entorno de L de radio ε. Ejemplo
Límites infinitos Sea f una función y a un número real fijo. Supongamos que f está definida en un entorno (tal vez perforado) del punto a, es decir, el dominio de f contiene intervalos de la forma (a-δ, a) y (a, a+δ). • El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es infinito si: Ejemplo • El límite de f(x) cuando x tiende a “a” es menos infinito si: Ejemplo
Límites infinitos Para cada número positivo Mexiste un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M Ejemplo
Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Cualquiera que sea M Para cada número positivo Mexiste un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por encima de M Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla
Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Para cada número negativo Mexiste un número δ tal que para todo x de un entorno de a y radio δ su imagen f(x) está siempre por debajo de M Cualquiera que sea M Obsérvese que M es negativo Como se cumple que : , basta tomar para que se cumpla.
Límite finito en el infinito Sea f una función cuyo dominio contiene un intervalo de la forma (a, +∞). Existe un número L, tal que es el límite de f(x) cuando x tiende a “∞” si: L+ε L L-ε Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε. k Ejemplo
Demostrar que: DEMOSTRACIÓN Cuanto más pequeño sea ε debemos escoger un número k más grande para que la diferencia entre f(x) y L sea inferior a ε. 1+ε 1-ε Existe k Como se cumple que: , basta tomar para que se cumpla
Límite infinito en el infinito Sea f una función definida para todo número mayor que algún número b. El límite de f(x) cuando x tiende a ∞ es ∞, si: M Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x). k Ejemplo
Demostrar que: DEMOSTRACIÓN M Cuanto más grande sea M debemos escoger un número k más grande para que sea inferior a f(x). Existe k Como se cumple que: , basta tomar para que se cumpla
Regla de L’Hôpital Cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital: Sean f, g funciones derivables en un entorno de un punto ó , entonces existe y existe Si Ejemplo y se cumple que: La regla se puede aplicar a distintas indeterminaciones: 0.∞;∞-∞; 00; 1∞, mediante las transformaciones pertinentes pasamos a las indeterminaciones de la forma 0/0 ó bien ∞/∞ Ejemplo Si en la expresión se vuelve a presentar una indeterminación del tipo 0/0 ó ∞/∞ se puede volver a aplicar la regla (siempre y cuando se cumplan las hipótesis). .
Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital: Calcular SOLUCIÓN Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital Entonces existe el límite de la función senx/x cuando x tiende a cero: .
Ejemplo de cálculo de límites mediante la Regla de L’Hôpital: Calcular SOLUCIÓN INDETERMINACIÓN Aplicando logaritmos Comprobamos las hipótesis de la Regla de L’Hôpital .
