光在各向同性介质中的传播

1. 第 1 章 光在各向同性介质中的传播

2. 本 章 内 容 1.1 光波的特性 1.2 光波在介质界面上的反射和折射 1.3 光波在金属表面上的反射和折射 1.1 光波的特性 1.2 光波在介质界面上的反射和折射

3. 主要内容 1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组 1.1.2 几种特殊形式的光波 1.1.3 光波场的时域频率谱 1.1.4 相速度和群速度 1.1.5 光波的横波性、偏振态 1.1 光波的特性

4. 可见光          波长 1014m 0.1nm 1nm 10nm 100nm 1m 10m 100m 1mm1cm 10cm 1m 10m 100m 1km X-rays Microwave Infra-red Ultrviolet Radio waves       1021 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 频率(Hz) 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 1. 电磁波谱 Long-waves -rays Cosmic rays   

5. 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 2. Maxwell方程 (1.1-1) (1.1-2) (1.1-3) (1.1-4)

6. (1.1-5) (1.1-6) (1.1-7) 各向异性介质 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 3. 物质方程 各向同性介质 说明：物质的不同决定了物质特性的不同

7. (1.1-8) (1.1-9) (1.1-10) (1.1-11) 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 4. 波动方程 , = 0 无源空间

8. 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 对(1.1-10)式两边取旋度，并将(1.1-11)式代入，可得 利用矢量微分恒等式 对于各向同性均匀介质并考虑到 (1.1-8)式，可得 (1.1-12a) (1.1-12b) 同理得

9. 波动方程 (1.1-16) 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 令 (1.1-13) (1.1-14) 真空中的光速 介质折射率 一般介质，r 或 n 是频率(波长)的函数，其取决于介质结构。

10. 能流密度矢量——坡印廷矢量 定义为 (1.1-17) 则平面光波的能流密度 表示为： 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 5. 光电磁场的能流密度 沿 z 方向传播的平面光波的光场可表为：

11. 由(1-10) 式，平面光波场有：  1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 (1.1-18) 该式表明，平面光波的能量沿 z 方向以波动形式传播。 实际应用中，通常用能流密度的时间平均值〈S〉表征光电磁场能量传播的平均效果，并称其为光强，以 I 表示。 如果光电探测器的响应时间为T，则

12. 即在同一种介质中 1.1.1 光电磁波及Maxwell电磁方程 将(1-18)式代入， 进行积分可得 (1.1-19) 式中， 是比例系数。 某些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，只关心光强的相对值，因而往往省略比例系数，把光强写成 如果考虑的是不同介质中的光强，则比例系数不能省略。

13. 1.1 光波的特性 主要内容 1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组 1.1.2 几种特殊形式的光波 1.1.3 光波场的时域频率谱 1.1.4 相速度和群速度 1.1.5 光波的横波性、偏振态

14. 交变电场 和交变磁场 所满足的波动方程一般形式： (1.1-20) 1.1.2 几种特殊形式的光波 对于不同的边界条件（或者边值条件），其解的具体形式不同。 说明：只讨论电场矢量

15. 1.1.2 几种特殊形式的光波 1. 平面光波 1）波动方程的平面光波解 直角坐标系 假设 f 不含 x、y 变量，则波动方程可表示为 (1.1-21) 改写为

16. 1.1.2 几种特殊形式的光波 令 可以证明 因此 求解得 (1.1-22)

17. 1 (zvt) 表示沿 z方向以速度 v 传播的波 ——右行波。 1.1.2 几种特殊形式的光波 2 (z+vt) 表示沿 z方向以速度 v 传播的波——左行波。 图 1-2 平面波示意图

18. 1.1.2 几种特殊形式的光波 2）单色平面光波 ① 三角函数表示 若平面波沿 z方向传播，其电场表示式为 (1.1-23)

19. 1.1.2 几种特殊形式的光波 2）单色平面光波 ② 复数表示 (1.1-24) 则 又 复振幅 考虑到初相位

20. 若单色平面光波沿任一波矢 方向传播，则 1.1.2 几种特殊形式的光波 三角函数表示 (1.1-28) (1.1-29) 复数表示 相应复振幅 (1.1-30)

21. x  O z 假定平面光波的波矢量 平行于xOz平面，则在 z = 0平面上其复振幅可表 为：  为 与 z 轴的夹角，

22. 则与之相应的相位共轭光波的复振幅可表为: 该式表明：此相位共轭光波是与波来自同一侧的平面光波，其波矢量也平行于xOz平面、并且与z轴夹角为 。 对照(1-30)式，可将(1-28)式的复数共轭写成下列形式：

23. 1.1.2 几种特殊形式的光波 说明： ① 凡是描述真实物理量的参量都必须是实数。采用复数形式来描述，只是为了数学运算上的方便。 ② 对复数形式的量进行运算，只有取实部后才有物理意义，并且才能得到与三角函数运算相同的结果。 ③ 由于对 ei(t  kz)和 e i(t  kz)取实部可得到相同结果，因此对于平面简谐光波而言，采用ei(t  kz)和ei(t  kz) 两种形式完全等效。

24. 1.1.2 几种特殊形式的光波 2. 球面光波 一个各向同性的点光源，向外发射球面光波，等相位面是以点光源为中心、随距离的增大而逐渐扩展的同心球面。 采用标量波理论，且令 f = f (r, t) ，波动方程的形式为 球坐标系下

25. 1.1.2 几种特殊形式的光波 解 (1.1-19) 单色球面光波 f1(rvt) — 从原点沿 r 向外发散的球面光波； f2(r+vt) — 向原点(点光源)传播的会聚球面光波。 可以看出：球面光波的振幅与球面的曲率半径 r成反比。 单色球面光波的波函数 复数形式为

26. 1.1.2 几种特殊形式的光波 3. 柱面光波 一个各向同性的无线长线光源，向外发射柱面光波，等相位面是以线光源为中心轴、随距离的增大而逐渐展开的同轴圆柱面。 圆柱坐标系中波动方程 单色柱面光波 (1.1-19)

27. 1.1.2 几种特殊形式的光波 4. 高斯光束 概念： 研究表明，从稳定球面腔和共焦腔中所发出的激光束是高斯激光束。这种高斯激光束最显著的特征就在于，它的外轮廓是圆形双曲面（即旋转双曲面）或者椭圆形双曲面。 特点： ·等相面曲率半径在正无限大和负无限大之间连续变化； · 曲率中心在正无限大和负无限大之间连续变化； · 在垂直光传播轴线的平面内光场振幅分布遵循高斯分布。

28. 圆柱坐标系下，波动方程的形式： 1.1.2 几种特殊形式的光波 基模圆高斯光束的标量波解 光斑半径：中心振幅值下降到1/e的点所对应的光斑宽度。

29. 1.1.2 几种特殊形式的光波 高斯分布与光斑半径 光斑半径随z 的变化按双曲线规律扩展 基模圆高斯光束在其传播轴线附近，可以看作是一种非均匀的球面波，其等相位面是曲率中心不断变化的球面，振幅和强度在横截面内保持高斯分布。

30. 光束的分类 1.1.2 几种特殊形式的光波 波动方程的特解 1 —— 同心光束解 均匀平面光波 均匀球面光波 均匀柱面光波 波动方程的特解 2 —— 非同心光束解 高斯光束 高次曲面光波

31. 1.1 光波的特性 主要内容 1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组 1.1.2 几种特殊形式的光波 1.1.3 光波场的时域频率谱 1.1.4 相速度和群速度 1.1.5 光波的横波性、偏振态

32. 1.单色光波与复色光波 频率为ω的单色平面光波可表为 1.1.3 光波场的时域频率谱 复色光波可表为不同频率单色光波的叠加 (1.1-51)

33. 1.1.3 光波场的时域频率谱 2.频率谱 exp(i2t) ——傅氏空间(或频率域)中频率为 的基元，取实部得cos(2t)。因此可将exp(i2t)视为频率为 的单位振幅简谐振荡。E()随 的变化称为E(t)的频谱分布，或简称频谱。 只考虑光波场在时间域内的变化，表示为E(t)。 傅里叶变换： (1.1-52)

34. 1.1.3 光波场的时域频率谱 因此可理解为：一个随时间变化的光波场振动E(t)，可以视为许多单频成分简谐振荡的叠加，各成分的振幅为E()， 一般情况下，由上式计算出来的E()为复数，它就是 频率分量的复振幅， 可表示为： 式中，|E()|为模，()为辐角。因而，|E()|2就表征了 频率分量的功率，称|E()|2为光波场的功率谱。可见，一个时域光波场 E(t) 可以在频率域内通过它的频谱进行描述。

35. E(t) E0   t E() 2 E02  0 1.1.3 光波场的时域频率谱 • 无限长时间的等幅振荡——理想单色光波 即：等幅振荡光场对应的频谱只含有一个频率成分0，我们称其为理想单色振动，其功率谱为|E()|2。

36. 1.1.3 光波场的时域频率谱 (2)持续有限时间的等幅振荡 ——无吸收损耗作用的有限长波列（串） (设振幅为1) 或 相应的功率谱

37. E(t) 1 E() 2 t T2  T 102  1.1.3 光波场的时域频率谱 其频谱的主要部分集中在从1到2的频率范围之内，主峰中心位于0 处，0 称为振荡的表观频率或中心频率。

38. 1.1.3 光波场的时域频率谱 为表征频谱分布特性，定义最靠近0的两个强度为零的点所对应的频率2和1之差的一半为这个有限正弦波的频谱宽度，即 = (2 1)/2 。 当=0 时， E(0)|2 =Ｔ2 当 =0±1/T 时，|E()| = 0 所以： 可见，振荡持续的时间越长，频谱宽度愈窄。

39. 1.1.3 光波场的时域频率谱 (3)衰减振荡——有吸收损耗作用的半无限长衰减波列 表达式 频谱 功率谱

40. E(t) t E() 2 1/2  1/(22) 102  1.1.3 光波场的时域频率谱 可见，该衰减振荡也可看作无限多个振幅不同、频率连续变化的简谐振荡的叠加,0为中心频率。把最大强度一半所对应的两频率2和1之差，定义为这个衰减振荡的频谱宽度。

41. 1.1.3 光波场的时域频率谱 由于1= 2时，|E(2)|2= |E(ν0)|2/2，即： 化简得： 所以：

42. 1.1.3 光波场的时域频率谱 注意： 在上面的有限正弦振荡和衰减振荡中，尽管表达式中含有exp(i20t)的因子，但E(t)已不再是单频振荡。 换言之，我们只能说这种振荡的表观频率为0，而不能简单地说振荡频率为0。只有以某一频率作无限长时间的等幅正弦振荡，才可以说是严格的单色光。

43. 1.1.3 光波场的时域频率谱 3. 准单色光 理想的单色光是不存在的，实际上能够得到的只是接近于单色光的准单色光。例如： (1) 持续有限时间的等幅振荡，如果其振荡持续时间很长，以致于1/T<<0，则E( )的主值区间 (01/T)< < (01/T)很窄，可认为接近于单色光； (2) 对于衰减振荡，若 很小(相当于振荡持续时间很长) ，则频谱宽度很窄，也接近于单色光。

44. 1.1.3 光波场的时域频率谱 对于一个实际表观频率为0的振荡，若其振幅随时间的变化比振荡本身缓慢得多，则这种振荡的频谱就集中于0附近的一个很窄的频段内，可认为是中心频率为0的准单色光。 场表达式：

45. E(t) A t t 1.1.3 光波场的时域频率谱 例如：在空间某点以表观频率0振动、振幅为高斯函数的准单色光波 振动曲线在t = t0 时，振幅最大，且为A ；当|t t0|=t/2时，振幅降为A/e。参数t 表征着振荡持续的有效时间。 场表达式：

46. E() 2 E(0) 2  E(1) 2/e 102  1.1.3 光波场的时域频率谱 频谱： 变量代换，并将被积函数分为实部和虚部分别积分，得： 相应的功率谱：

47. 1.1.3 光波场的时域频率谱 根据上述定义，有|E(2)|2=|E(0)|2/e， 计算可得 该频谱宽度 表征了高斯型准单色光波的单色性程度。 因此

48. 1.1 光波的特性 主要内容 1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组 1.1.2 几种特殊形式的光波 1.1.3 光波场的时域频率谱 1.1.4 相速度和群速度 1.1.5 光波的横波性、偏振态 主要内容 1.1.1 光电磁波及Maxwell方程组 1.1.2 几种特殊形式的光波 1.1.3 光波场的时域频率谱 1.1.4 相速度和群速度 1.1.5 光波的横波性、偏振态

49. 1.单色光波的速度——相速度 1.1.4 相速度和群速度 单色光波场表示式： ——随距离变化的相位项。 相应于 的空间曲面为该单色光波的等相位面， 满足该式的 是这个相位状态在不同时刻的位置。 对 求微分，得：

50. 设 0为 d方向上的单位矢量，并写成 d =0 ds，则 ： 该v( )就是等相位面的传播速度，简称为相速度。 对于波矢量为 的平面单色光波，其空间相位项为： 1.1.4 相速度和群速度 当 0垂直于等相位面，即 0=   ||时，上式值最小：