Definizione e proprietà del parallelogramma

1. Definizione e proprietà del parallelogramma Si dice parallelogramma un quadrilatero convesso che ha un centro di simmetria. Proprietà dei parallelogrammi • I lati opposti sono paralleli: AB // DC e AD // BC • I lati opposti sono congruenti: AB ≅DC e AD ≅ BC • Gli angoli adiacenti sono supplementari: ADC supplementare di DCB

2. Definizione e proprietà del parallelogramma • Gli angoli opposti sono congruenti DAB≅DCB e ADC≅ABC • Le diagonali si incontrano nel punto medio Criteri per stabilire se un quadrilatero è un parallelogramma • Teorema. Un quadrilatero è un parallelogramma se: • ha i lati opposti paralleli oppure • ha i lati opposti congruenti oppure • ha gli angoli adiacenti supplementari oppure • ha le diagonali che si incontrano nel punto medio oppure • ha una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.

3. Parallelogrammi particolari Si chiama rettangolo un quadrilatero che ha tutti gli angoli congruenti. Un rettangolo ha le diagonali congruenti Per stabilire se un quadrilatero è un rettangolo basta verificare che sia un parallelogramma e procedere in uno dei seguenti modi: • verificare che ci sia almeno un angolo retto • verificare che le diagonali siano congruenti

4. Parallelogrammi particolari Si chiama rombo un parallelogramma con tutti i lati congruenti. Un rombo ha le diagonali che sono tra loro perpendicolari e bisettrici degli angoli opposti. Per stabilire se un quadrilatero è un rombo basta verificare che sia un parallelogramma e procedere in uno dei seguenti modi: • verificare che abbia due lati consecutivi congruenti. • verificare che le diagonali siano tra loro perpendicolari. • verificare che una diagonale sia bisettrice degli angoli cui si riferisce.

5. Parallelogrammi particolari Si chiama quadrato un parallelogramma che ha tutti i lati congruenti e tutti gli angoli congruenti. Un quadrato possiede tutte le proprietà dei parallelogrammi e quelle dei rettangoli e dei rombi, perciò: Le diagonali sono congruenti, sono perpendicolari, sono bisettrici degli angoli cui si riferiscono. Per stabilire se un quadrilatero è un quadrato basta verificare che sia un parallelogramma e procedere in uno dei seguenti modi: • verificare che ci siano due lati consecutivi congruenti e che ci sia un angolo retto. • verificare che le diagonali siano congruenti e perpendicolari. • verificare che le diagonali siano congruenti e che una di esse sia bisettrice degli angoli cui si riferisce.

6. Parallelogrammi e isometrie Per definizione tutti i parallelogrammi hanno un centro di simmetria. I parallelogrammi che possiedono assi di simmetria sono • il rettangolo che ha per assi le rette perpendicolari a due lati opposti passanti per il loro punto medio. • il rombo, che ha come assi le rette delle diagonali. • il quadrato, che ha come assi quelli del rombo e quelli del rettangolo.

7. Definizione e proprietà del trapezio Un trapezio è un quadrilatero che ha due lati paralleli. Classificazione dei trapezi in base ai lati obliqui: • se i lati obliqui sono diseguali il trapezio si dice scaleno. • se i lati obliqui sono congruenti il trapezio si dice isoscele. • se uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi il trapezio si dice rettangolo. • In un trapezio gli angoli adiacenti a ciascuno dei lati obliqui sono supplementari. BAD + ADC = πe ABC + BCD = π

8. Proprietà del trapezio isoscele In un trapezio isoscele: • gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti. • le diagonali sono congruenti. • la retta che passa per i punti medi delle basi è asse di simmetria. Per riconoscere se un trapezio è isoscele basta verificare che: • i lati obliqui siano congruenti (definizione); • gli angoli adiacenti a una base siano congruenti; • le diagonali siano congruenti; • la retta che passa per i punti medi delle basi sia asse di simmetria

9. Corrispondenza di Talete Teorema della corrispondenza di Talete Se un fascio di rette parallele interseca una trasversale r nei punti A, B, C, ….. e una trasversale s nei punti A’, B’, C’, ….., fra i due insiemi di punti si stabilisce una corrispondenza biunivoca che si chiama corrispondenza di Talete. In tale corrispondenza, a segmenti congruenti sulla prima trasversale corrispondono segmenti congruenti sulla seconda trasversale.

10. Corrispondenza di Talete Conseguenze del teorema di Talete nel caso dei triangoli • Se per il punto medio di un lato di un triangolo si traccia la parallela ad un altro lato, questa taglia il terzo lato nel suo punto medio. • Il segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e congruente alla sua metà.