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1. 第八章 效用理论与保险决策问题 《jgg 知识

2. [知识要点] • 1、边际效用递减原理与最大期望效用原理 • 个人对财富需求的满足程度是由他的效用值来衡量的，他对财富的满足程度随着财富的增加而增加，但增加的速度却在逐渐减小，这就是经济学中所述的边际效用递减原理。 • 最大期望效用原理是指在具有风险和不确定条件下，个人行为的动机与准则是为了获得最大期望效用值。 • 2、风险状态与效用曲线的 关系 • 3、Jensen不等式 • 一个决策者的效用函数u(x)如果满足u’ (x)>0,u”(x)<0,对于随机变量X，则有如下的不等式： • E[u(x)]≤ u[E(x)] • 4、Arrow-Prant指数 • 为了比较不同决策者之间风险态度的差异，引入了Arrow-Prant指数,定义： • Ra (x)= -u”(X)/u’(X)为绝对风险指数： • Rr (X)=- xu”(X)/u’(X)为相对风险指数。

3. 风险态度及Arrow-Prant指数的关系总结出如下的表格：风险态度及Arrow-Prant指数的关系总结出如下的表格： 5、效用原理与保险定价 保险人承保，必须满足如下的不等式： E[u( w+G –X)] ≥u(w) 其中w是保险人的初始资产，G是收取的保费，X是承保的损失随机变量，此式含义也就是承保后的财产效用期望值不能小于承保前的财富的效用值。 对于被保险人而言，同样有一笔要算，也就是说下面的不等式 成立： u(w1 -H) ≥E[ u(w1 –X)]

4. 其中w1是被保险人保险的财富，H是缴纳的保费，X是其面临的损失随机变量，此式表明了被保险人购买保险后的财富的效用值要大于购买前的效用期望值。其中w1是被保险人保险的财富，H是缴纳的保费，X是其面临的损失随机变量，此式表明了被保险人购买保险后的财富的效用值要大于购买前的效用期望值。 因此满足上述两个不等式的解，都有可能使保险合同成立。 6、效用理论的应用 （1）保险定价； （2）限额损失保险模型的最优性。 下面的定理表明了这一应用： 定理 设某人拥有w单位的财富，这笔财富面临着潜在损失随机变量为X; 假设此人的效用函数u(x)具有以下性质：u’(x)>0,u”<0; 假设保险市场上以E(Id)的价格提供各种I(X)形式的保单，其中0≤I(X) ≤X；假设财产拥有者愿意付出的保费为P，则：对他来说最优的保险是具有最优的免赔额d”的限额损失再保险Id (x),并且最优免赔额d”由下列方程确定：

5. 7、均值方差原理 • 此原理又称为 最大平均收益—最小风险原理，具体可表述为：在E(Y)=C的条件下，求Var(X—Id (x))的最小值问题。其中Y表示投保人投保后损失金额随机变量，Var (X—Id (x))表示剩余风险最小。 • 8、均值方差原理与期望效用原理的关系 • 它们之间在下述条件下可以互相协调： • （1）决策者的效用函数为二次多项式函数； • （2）策略所对应的概率分布为正态分布； • （3）策略所对应的概率分布为对数正态分布。 • 另外，如下定理也揭示了停止损失保险模型与其他形式的保险之间的关系。 • 定理 ： 对于泊松参数为 的复合泊松过程，个别理赔额随机变量为X, 设函数I(X)为针对个别理赔额X而任意设定的再保险规则，其中0≤ I(X) ≤ X，并记Ch 为与该规则相适应的费率；又设Iß (x)为限额损失再保险规则，其中ß 为免赔饿3，与其适应的费率记作Cß ；Rh和R ß 分别表示与两类规则及其费率相对应的Lundberg系数，若E(I(X))=E(Iß (X))且Ch= Cß ；则R ßRh.。

6. [重点难点解析] • 本章的重点内容是期望的效用理论及效用理论在保鲜定价中的运用，如何运用理论解决在实践中的一些问题便成为了本章的难点。 • 例1、 保险人承保的损失随机变量X的概率米队函数为： 另外，承保人的理赔函数I o(x)和I c/2 (x)的期望损失分别为P与Q，求P/Q. A.8 B16/5 C.2 D.16/11 E.8/7 解：

8. 此题考察了Id (X)的定义，d的含义可以理解为保险人的免赔额，又可以理解为再保险中的自留额问题。此题的出现将为以后免赔额或再保险的问题的解决作好铺垫。 • 例2、 一个投资者有6个单位的资产，他的效用函数为： • 这个决策者面临着的损失随机变量X的分布函数为：

9. 当他把这笔财富全部用于保险时，他应付多少保费，才能使他的期望效用最大？当他把这笔财富全部用于保险时，他应付多少保费，才能使他的期望效用最大？ • A. 1.8 B.2 C.2.4 D.3.8 E.3.6 • 解： X的概率密度函数为：

10. 此题有点与众不同，首先，损失随机变量既不是连续型随机变量也不是离散型随机变量；另外，效用函数也是分段线性效用函数，又由于保费未知，所以求保费时要根据效用函数的分段定义范围进行讨论。除此之外，此题在无其他悬念。此题有点与众不同，首先，损失随机变量既不是连续型随机变量也不是离散型随机变量；另外，效用函数也是分段线性效用函数，又由于保费未知，所以求保费时要根据效用函数的分段定义范围进行讨论。除此之外，此题在无其他悬念。 • 例3、 某人具有400个单位的财富，他的效用函数为： 另外，他面临的损失随机变量X的分布列为： • 他用30个单位的财富买了具有免赔额的保单，计算他的期望效用可能的最大值。 • A.18.6 B.18.6 C.18.7 D.19.6 E.19.8

11. 解：

12. 这题是典型精算师考题类型，弯不太多。但，没有d就没有本题的答案，所以应先求d，在求d的过程中，要讨论d的范围，如果损失随机变量是连续型的，则此题就直接一点，但是如果损失随机变量 X的值多一些，则要逐段进行讨论，就有点烦琐了 。 • 例4、 一个保守的决策者具有如下的特征： • A.a和b正确 B.a和c正确 C.b和c正确 D.a.b和c正确 • E.abcd都不正确

13. 解：

14. 例5 一个保守的投资者具有如下特征： • （1）效用函数为u(x)=x0.025,x≥ 0； • （2）他有1000个单位的财富。 • 他用375个单位购买彩票，并且以概率P得到50 000个单位，以概率（1-P）一无所获。求P，使该投资者购买彩票与不购买相当。 • A.0.09 B.0.07 C.0.06 • D.0.10 E.0.01

15. 解 设收益随机变量为X，则X的概率分布列为： • 投资者购买彩票之后的效用价值为： • 此题的结构虽然简单，但也有反常的地方，那就是该投资者购买了资产增加的可能，而不是像其他题目一样，资产的减少换来的是E（u（w0-X））。虽然大同小异，但多做一些也有益处。