函数的作图

函数的作图 利用初等描点作图可以绘出函数的大体形状，一般来说，描点越多，作出的图形越准确，但也存在缺陷。 1) 选点带有一定的盲目性,往往漏掉某些关键点. . 2) 选点少了,不能准确的确定函数的弯曲方向, 选多了,计算较复杂下面我们借助微分学的知识,来深入研究函数整体形态, 从而比较准确作出函数图形. 一. 曲线的凹凸性与拐点函数的单调性与极值,对于了解函数的图形,是有很大的帮助, 但仅是这些还不能比较准确的描绘出函数的研究图形。

例如在[a，b]上虽然都是单调增加，但图形却有显著不同。是上凹的曲线弧是下凹的曲线弧 y y O x O x

y y O x O x 凸：凹：定义1设曲线y=f (x)上各点处都有不垂直于x轴的切线，若这段曲线总位于曲线上每一点切线的上方，则称该曲线段是凹弧（或向上凹的）；若这段曲线总位于曲线上每一点切线的下方，则称该曲线段是凸弧（或向上凸的），如图下面借助于二阶导函数的符号，给出判定曲线凹凸性的判别法。

的凹凸性。 例1讨论曲线解定理1（凹凸性判别法）设函数在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数。（i）如果在(a, b)内f (x) > 0，则曲线y=f (x)在[a, b]上是凹弧，此时称区间[a, b]为曲线的凹区间；（ii）如果在(a, b)内f (x) < 0，则曲线y=f (x)在[a, b]上是凸弧，此时称区间[a, b]为曲线的凸区间。当x < 0时，y< 0, 所以曲线在(, 0]上是凸弧；当x > 0时，y> 0, 所以曲线在[0, +)上是凹弧。

注意：拐点是曲线上的点 的凹凸区间。例2 求曲线解当x < 0时，y> 0, 所以曲线在(, 0]上是凹弧；当x > 0时，y< 0, 所以曲线在[0, + )上是凸弧。于是，曲线的凹区间为 (, 0]，凸区间为[0, + ) 。定义2 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点。

例1中，点（0，0）是曲线y = x3上凹弧与凸弧的分界点，因此是曲线的拐点，在该点处，y=0；例2中，（0，0）点是曲线的拐点，在该点处y不存在。因此，曲线y = f (x)的拐点的横坐标只能是使f(x) = 0的点或f(x)不存在的点。求连续曲线的拐点的方法如下：（i）求出所有使函数f (x) 的二阶导数f(x) = 0的点和f(x)不存在的点；（ii）对于（i）中所求出x0，若f(x)在x0两侧符号相反，则点(x0 , f (x0))是曲线的拐点；若f(x)在x0的两侧符号相同，则点(x0 , f (x0))不是拐点。

的凹凸性及拐点。 例3讨论曲线令y = 0，得 x 0 不 0 + + 无拐点 y 有拐点   是凹弧；上是凸弧，在于是，曲线在拐点为解函数的定义域为（）。当x = 0时，y不存在。列表讨论如下：

或（A为常数），如果二、渐近线定义3 若曲线上一动点M无限远离原点时，动点M到某一固定直线L的距离趋近于零，则称该直线L 渐近线有以下三种：为曲线的渐近线。（i）水平渐近线：水平的渐近线。则称直线 y =A为曲线（ii）垂直渐近线或如果 y = f (x)的垂直渐近线。则称直线x = x0为曲线（iii）斜渐近线：设直线Y = ax +b是曲线y = f (x)的渐近线。 a 0 时，称该渐近线为曲线y = f (x)的斜渐近线。斜渐近线

例4 求曲线 的渐近线。又解由于所以x=0,x =2是曲线的两条垂直渐近线。于是，y = x 1是曲线的斜渐近线

三、函数作图 函数作图的一般步骤： (1) 确定函数f (x)的初等性质：定义域、奇偶性、周期性等； (2) 确定函数的连续区间及间断点； (3) 求出f(x)，讨论曲线的增减性与极值； (4)求出f(x)，讨论曲线的凹凸性与拐点； (5) 考察曲线的渐近线； (6) 确定曲线的某些特殊点（比如，曲线与坐标轴的交点等）. 必要时，可根据函数表达式补充一些点。 (7) 绘出函数图形。

x 0 0 0 + 拐点极大值的图形。例5作出函数 1 解（1）函数的定义域为（），在此区间上函数连续且为偶函数，图形关于y轴对称。（2） (3) 列表讨论（由对称性，仅讨论x[0, +）的情形）：

（4）因为 y 是拐点例6 绘的图形 x O ，所以y=0是水平渐近线。（5）作图由以上讨论可作出曲线在[0，+）内的图形，再由对称性可得全图. 该曲线在概率论中也称为正态分布曲线或高斯曲线。解：定义域

令令

垂直渐近线 水平渐近线

例作函数的图形 解：定义域令不存在当

极大极小垂直渐近线渐近线无水平渐近线

斜渐近线

函数的作图

函数的作图

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