数学建模竞赛中的优化问题

1. 数学建模竞赛中的优化问题 数学建模 培训组 2009.3

2. 本次讲座目的 • 让大家了解数学建模中常常遇到的问题——优化问题； • 初步认识数学建模需要准备的算法，软件。

3. 优化问题 • 优化问题的解题步骤： 1、确定最优目标函数。 2、寻找构成目标函数的各元素应该遵守的约束条件。 3、利用相应软件或算法求解。

4. 数学规划 线性规划(linear programming) 是康托洛维奇1939年提出的，1947年（G.B.Dantzig）提出求线性规划的单纯形法（simple method），理论上趋向成熟，实际上的应用也越来越广泛，几乎各行各业都可建立线性规划模型。

5. §1 . 1 线性规划问题 例1 生产计划问题 某企业要在计划期内安排生产甲、乙两种产品，这个企业现有的生产资料是：设备18台时，原材料A 4吨，原材料 B 12吨；已知单位产品所需消耗生产资料及利润如下表。问应如何确定生产计划使企业获利最多。

6. 表1

7. Formulation as a linear programming problem • x1=number of units of product 1 • x2 =number of units of product 2 • z=total profit from producting these two products x1, x2 are the decision variables for the model. maximizez=3x1+5x2

8. + £ 3 x 2 x 18 1 2 设备限制 原料A的限制 原料B的限制 非负约束

9. 相应的数学模型

10. 资源的合理利用问题 -the allocating resources to activities 一般的资源利用问题可表述为： 设某企业利用 m 种资源来生产 n 种产品，已知该企业拥有的第 i 种资源的数量是b i , 生产单位第 j 种产品所消耗的第 i 种资源的数量为 aij，第j种产品的单位利润是 c j。现制定一个生产计划方案，使总利润最大。

11. z=value of overall measure of performance xj=level of activities j (for j=1,2,…,n) cj=increase in z that would resule from each unit increase in level of activity j--价值系数

12. bi=amount of resource i that is available for allocation to activities (for i=1,2,…,m) )--资源系数 aij=amount of resource i consumed by each unit of activity j .---技术系数

13. x1,x2,…xn are called the decision variables. cj, bi, aij(for i=1,2,…,m and j=1,2,…,n) are the input constants or the parameters for the model.

14. 资源利用问题的数学模型为： the objective function functional constrains nonegativeconstrains

15. 例2 资源定价问题 假设企业决策者不考虑自己生产产品甲乙，而是将厂里的现有资源（见表1）买出。试问该厂的决策者应给每种资源制定一个怎样的价格，才能获得良好收益？

16. 问题分析 解：　决策者显然要考虑两个因素： 第一，每种资源所收回的费用应不底于自己生产 时所获得的利润； 第二，定价又不能太高，要使对方容易接受。 总之，定价要公平合理，使双方都能接受。

17. 问题分析 • 设y1,y2,y3分别表示这三种资源的收费单价。则由第一条原则：将用于加工产品甲或乙的所有资源，如用来加工外来产品所获得的收回的费用，应不低于可获得的利润，即

18. 当然对价格还要有非负限制。即： 从工厂的决策者来看当然是Ｗ越大越好。但是根据第二条原则，也应该使对方的支出尽可能的少； 从而这个问题就可以转化为下述数学问题： 将该厂所有的资源都用来加工外来产品，其总收入（即对方的总支出）是

19. 定价问题的数学模型

20. 例3 人员分配问题 设某单位现有n个人员A1,A2……,An来完成 n项工作B1,B2,……,Bn。按工作要求，每 个人员需干一项工作，每项工作也需一人 去完成。已知人员A i做工作B j的效率是c ij。 问应如何分配，才使总效率最好。

21. 问题分析 令x ij表示分配人员A i完成工作 B j的决策变量。 x ij = 1 表示分配Ai干工作Bj xij = 0 表示不分配Ai干工作Bj 按问题要求，每人要做一项工作，每项工作需一人去做。 建立该问题的数学模型的过程：

22. 对人员A i；要求承担一项工作： 问题分析 派工方案的总效益 对工作B j ；要求一人员去完成

23. 分配问题的数学模型

24. 例4 物资运输问题 某公司要运销一种物资。该物资有甲、乙两个产地，产量分别是2000吨、1000吨；另有A、B、C三个销地，销量分别是1700吨、1100吨、200吨。已知该物资的单位运价如表1-2。问应如何确定调运方案，才能使在产销平衡的条件下，总运费最低？

25. 销 地 单位运价 A B C 产 量 产 地 甲 乙 21 25 7 51 51 37 2000 1000 销 量 1700 1100 200 表3 • 分析 确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量。 设 x ij 表示这些要找的运量。 即x 11 、x 12 、x 13分别表示从甲地调往A、B、C三地的运量。 x 21 、x 22 、x 23分别表示从已地调往A、B、C三地的运量。

26. 由于要求产销平衡： 从两产地甲、乙分别调往三销地A、B、C的物资数量应该分别等于两产地甲、乙的产量，所以 x ij应满足：

27. 运到A、B、C三销地的物资数量应分别等于A、B、C三销地的销量，所以x ij 还应该满足： 由于x ij是运量，不能是负数： 调运方案的总运费为： 建立产销平衡下运费最省的调运问题的数学模型：

28. 销 地 单位运价 A B C 产 量 产 地 甲 乙 21 25 7 51 51 37 2000 1000 销 量 1700 1100 200 运输问题的数学模型

29. 运输问题的一般提法： 某种物资有 m 个产地，A1 ,A2, … ,Am，产量分别 a1,a2, …,am个单位，另有 n 个销地B1,B2 , …,Bn , 销 量分别是b1,b2, … ,bn个单位。假设产销是平衡的， 即总产量等于总销量。已知由产地A i向销地B j 运输一 个单位物资的运价x ij ；问应该怎样调运物资才能使总 运费最省。 令 x ij表示由产地A i向销地B j的运量

30. 运输问题的数学模型为：

31. 上述例子，虽然有不同的实际内容， 但是它们都是要求一组变量的值，这组值满足一定的约束条件，如资源限制、供求关系等。 这种约束条件都可以用一组线性不等式或线性方程来表示，同时使某个线性函数指标达到最大或最小。具有这些特征的问题，称为线性规划问题。

32. §1.2 图解法-graphical method 图解法适用于来解只有两个变量的线性规划问题.

33. A feasible solution is a solution for which all the constraints are satisfied. It is possible for a problem to have not feasible solutions. An in feasible solution is a solution for which at least one constraint is violated. The feasible region is the collection of all feasible solutions. An optimal solution is a feasible solution that has the most favorable value (the largest or the smallest) of the objective function. It is possible for a problem to have more than one optimal solution. Any problem having multiple optimal solutions will have an infinite number of them.

34. 图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理和思想。图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理和思想。 下面举例说明图解法求解线性规划问题的步骤。 例1 图解法求解线性规划问题 解 该线性规划问题的可行域见图1。

35. 图1-1 图解法解题过程 x2 8 6 4 2 0 x1=4 Q2(2,6) Q1(0,6) 2 x 2 = 12 Q Q3(4,3) 可行域-the feasible region 3x1+2x2=18 Q4(4,0) 2 4 6 8 x1 Q0(0,0)

36. 图1-1 图解法解题过程 x2 8 6 4 2 0 x1=4 Q1(0,6) Q2(2,6) 2 x 2 = 12 让直线束 3x1+5x2=z=36 Q Q3(4,3) 沿正法线 3x1+2x2=18 在可行域Q移动， Q4(4,0) 通过点 (2,6) 的直线： 2 4 6 x1 Q0(0,0) 3x1+5x2=z=20 3x1+5x2=z=0

37. x1 8 6 4 2 0 注：本问题只有唯一最优解。 x1=4 Q1(0,6) Q2(2,6) 例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件，生产产品乙6件，最大利润为36万元。 Q Q3(4,3) Q4(4,0) x1 Q0(0,0)

38. 注： 问题的可行域是 一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： X 1 = 0, X 2 = 0 X 1 = 4 2 x 2 = 12 3 x1 + 2 x2 = 18 最优解(2,6)在 凸多边形的顶点Q2上。 x2 8 6 4 2 0 x1=4 Q1(0,6) Q2(2,6) Q Q3(4,3) Q4(4,0) x1 Q0(0,0)

39. 例2

40. 解 该问题的可行域 Q 是一个有界的凸多边形（如图1-2）。 6x1+2x2=21 x2 X1+x2=5 -x1+x2=0 A(11/4,9/4) x1 B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =6 3x 1 + x 2 = z =21/2 3x 1 + x 2 = z =0

41. 让直线束3x 1 + x 2 = z 沿正法线向移动，到达线段AB时，使 Z 达到最大。所以线段 AB上的每一点都可使Z达到最大值， 注：本问题有无穷多个最优解。 6x1+2x2=21 x2 x1+x2=5 -x1+x2=0 A(11/4,9/4) x1 B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =6 3x 1 + x 2 = z =21/2 3x 1 + x 2 = z =0

42. 例3

43. 解 该问题的可行域是一个无界的凸多边形 图1-3

44. 让直线束 沿其负法线方向移动，可以无限制地移动下去，一直与 相交，所以其最小值为 ；即函数 在 上无下界。 注：本问题有可行解，但无最优解。

45. 例4

46. 解 该问题的可行域是空的，即无可行解 X1-x2=-1 x1+x2=-1 注：本问题无可行解，更无最优解。

47. 进一步讨论 给定只有两个变量的线性规划问题： 图解法求解线性规划问题的步骤如下：

48. 若 是空集，则说明线性规划问题无可行解。 如果 不是空集，那么 是平面上的一个凸多边形，这个凸多边形可能是有界的（封闭的），也可能是无界的（不封闭的）。 表示一个以 z 为参数的平行直线束。 在平面 上取定直角坐标系，画出可行域，记为 。 沿正法线方向 移动可得最大值，沿负法线方向 移动可得最小值。 注意:一定要精确

49. 通过以上例子可以看出，两个变量的线性规划的解可通过以上例子可以看出，两个变量的线性规划的解可 能有以下4种情况： ①有唯一的最优解。 最优解一定是可行域的一个顶点。 ②有无穷多的最优解。 最优解是可行域的一段边界。 ③有可行解，但无最优解。目标函数值无界. ④无可行解。 （最大值点（最小值点）一定在可行域的边界上） 问题是对于一般的线性规划问题有无类似结论，结论成立的判定准则如何。

50. 货物 体积(米3/箱) 重量(百公斤/箱) 利润(千元/箱) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 装运限制 24 13 1.3 整数规划 例1、集装箱运货