その他の話題

1. その他の話題 • 文字列照合 5/21 • 分枝限定法 5/26 • 動的計画法 5/28

2. 文字列照合 (string matching) • 二つの文字列（テキストとパターン）が与えられたとき，テキスト中にパターンが現れるかどうか調べ，もし現れるならば，その最初の位置を答えよ． • エディタ等，実用上重要な問題． • 通常，テキスト長n >> パターン長m • 例：テキスト　a string searching example consisting ofsimple text パターン　ing

3. 文字列照合（つづき） • 文字列：文字を要素とする配列で表現（添字0は番兵に使う）．答えは，テキスト中で最初に現れたパターンの左端位置とする． • 例：テキスト　（配列 text）　n=52 a string searching example consisting of ... 012345 : 番地(配列の添字) パターン　（配列pattern）　m=3 ing 0123 • 答え：　6

4. 素朴なアルゴリズム • （プログラム5.1.1の概要設計） % パターンがあるとき最初のパターンの左端位置， % ないとき，0を返す． for ( i=1 ; i<=n-m+1 ; i++) { for ( j=1 ; ｊ<=m ; j++) if (text[i+j-1]!=pattern[j]) break ; return (i) ; } return (0) ; 例：テキスト a string searching example consisting of ... パターン ing

5. Boyer-Mooreのアルゴリズム（BM法） • 照合は，パターンの右端から行う． • 照合に失敗したとき，テキスト側の文字（作戦１）や，既に照合済みの部分（作戦２）を利用して，パターンをできるだけたくさん右にずらす． （作戦１の説明）パターン sting テキスト a string searching example consisting of ... stingsting stingstingstingstingsting sting

6. BM法のアイディア（つづき） （作戦２の説明）パターン 101001 テキスト 110101001 101001 101001

7. BM法 –作戦１(前処理） テキスト • 各文字cについて，i をずらす量skip[c]をあらかじめ計算しておく． （プログラム5.1.7の概要設計） for(テキスト中に現れうるすべての文字cについて) skip[c] = m ; for (j=1; j<m; j++) skip[pattern[j]] = m-j ; x 次はここから比較 x a x パターン x a x i をこれだけずらしてよい（ずらす量=skip[x]）

8. BM法 –作戦１(前処理，つづき） pattern=never (m=5) に対するskip[・]の計算経過 • 空欄は値の書き込みが起こらなかったことを表す（空欄の値はその上の値と同じ）． j n e v r その他の文字 0 5 5 5 5 5 1 4 2 3 3 2 4 1 （結果） 4 1 2 5 5

9. 作戦１のみのアルゴリズム （プログラム5.1.8の概要設計） i=m; %iをテキストのm番目の文字に while (iがテキスト内） { j=m; %jをパターンの右端に while (jがパターン内) if(text[i]==text[j]) iとjを１つ左に動かす; else (*)へとぶ; return(i+1); %見つかった (*)i=i+max(skip[text[i]], m-j+1) %ずらした後のパターン右端に対応する位置にiを移動 } return (0); %見つからなかった

10. 作戦１のみのアルゴリズム（補足） (*)i=i+max(skip[text[i]], m-j+1) の理由． i テキスト x j パターン x x これでは意味がない skip[x] m-j+1 ここに移動

11. BM法 –作戦２ • patternの左からj番目の文字（pattern[j]）で照合に失敗したとする．照合に成功した文字列pattern[j+1～m]を利用し，パターンをなるべくたくさん右にずらす． i テキスト ずらす量next[j]=m-j+s x 次はここから比較 1 j m y パターン z s j-s y≠z 場合1

12. BM法 –作戦２（つづき） ずらす量next[j]=m-j+s i テキスト x 1 j m y パターン s 場合2, 3

13. next の計算（アイディア） • pattern内の各位置 j について，i をずらす量next[j]をあらかじめ以下のように計算する． • パターンを s だけずらして自分自身と重ねてみる．右からみて初めて異なる位置を j とする．m-j+s がずらす量next[j]の候補である． 1 j m y パターン z y≠z s j-s m-s 1 j m y パターン s 1 m-s

14. next の計算（アイディア，つづき） • 「照合の見落とし」がないようにするためには，ずらす量sが一番小さい場合を選ばなければならない． 1 j m y パターン z y≠z s j-s m-s * j=6 c b c b c a b c (m=8) s=3 c b c b c a b c m-j+s=8-6+3=5 s=5 c b c b c a b c m-j+s=8-6+5=7 ○ ×

15. nextの計算例 s j m-j+s c b c b c a b c 8 8 8 15 14 13 12 11 10 9 8 7 7 8 14 13 12 11 10 9 8 6 8 6 6 5 6 7 7 4 8 4 4 3 6 5 5 2 8 2 2 1 8 1 1 　（結果） 14 13 12 11 10 5 8 1 pattern=cbcbcabcに対するnext[・]の計算経過 • 空欄は値の書き込みが起こらなかったことを表す（空欄の値はその上の値と同一）．

16. nextの計算アルゴリズム （プログラム5.1.15の概要設計） pattern[0]=番兵; %番兵はパターンに現れない文字 for(s=m;s>0;s--) {%なるべく小さいsを探すためsの降順 j=m; while(pattern[j-s]==pattern[j]) j--; %文字の異なる位置が見つかった if (j>s) next[j]=m-j+s ; %場合１ else while (j>0) {%場合２，３ next[j]=m-j+s ; j-- } }

17. BM法 -- 完成版 （プログラム5.1.22の概要設計） pattern[0]=番兵１; %番兵１はテキストに現れない文字 text[0]=番兵２; %番兵１≠番兵2 i=m; %iをテキストのm番目に while (iがテキスト内) { j=m; %jをパターンの右端に while (text[i]==pattern[j]) {i--; j--;} if (j==0) return(i+1); %見つかった i=i+max(skip[text[i]],next[j]); %ずらした後のパターン右端に対応する位置にiを移動 } return (0) ;

18. 時間計算量 • BM法の作戦１は，パターンの右端近くで照合に失敗したとき／テキストに現れる文字種が多いとき有効． • 特に，パターン右端の文字が照合せず，そのときのテキスト側の文字がパターン中に現われていなければ，パターンを一気にmだけ右に動かせる．この場合，文字の比較はテキスト中でm字おきにしか行われない．すなわち，テキスト末尾まで行ったとしても，約n/m回の比較ですむ．