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第 7 章 气体分子动理论

第 7 章 气体分子动理论. 玻耳兹曼 :奥地利物理学家,统计物理学的奠基人之一。于 1868 年提出 麦克斯韦 - 玻耳兹曼分布定律  。在  1872 年从非平衡态的分子动力学得到 H 定理  ,这是经典分子动力论的基础。 1877 年提出热力学第二定律与微观几率态数 W 的关系以及熵的统计解释。  1900 年 普朗克 运用玻耳兹曼的理论得出 S = k ln W 并证明了斯忒藩的实验结论  u = σT 4 ( 斯忒藩  -  玻耳兹曼黑体辐射公式 ),掀开了量子时代的帷幕。. Ludwig Boltzman (1844~1906). 热力学与统计物理学的异同.

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第 7 章 气体分子动理论

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  1. 第7章 气体分子动理论 玻耳兹曼:奥地利物理学家,统计物理学的奠基人之一。于1868年提出麦克斯韦-玻耳兹曼分布定律 。在 1872年从非平衡态的分子动力学得到 H定理 ,这是经典分子动力论的基础。1877年提出热力学第二定律与微观几率态数 W的关系以及熵的统计解释。 1900年普朗克运用玻耳兹曼的理论得出 S=k lnW 并证明了斯忒藩的实验结论 u =σT4(斯忒藩 - 玻耳兹曼黑体辐射公式),掀开了量子时代的帷幕。 Ludwig Boltzman (1844~1906)

  2. 热力学与统计物理学的异同 宏观理论 (热力学) 微观理论 (统计物理学) 热现象 热现象 研究对象 物 理 量 宏观量 微观量 出 发 点 观察和实验 微观粒子 方 法 总结归纳 逻辑推理 统计平均方法 力学规律 优 点 普遍,可靠 揭露本质 缺 点 不深刻 无法自我验证 二者关系 热力学验证统计物理学,统计物理学揭示热力学本质

  3. §7.1 气体分子动理论的基本概念 一、分子动理论的三个基本概念 宏观物体是不连续的,由大量微观粒子——分子(或原子)所组成 物质内的分子在不停地做无规则热运动,其剧烈程度与温度有关

  4. 布朗运动

  5. f r O 分子间有相互作用力 斥力 ( 平衡位置) 分子力表现为引力 合力 r0 分子力表现为斥力 势能 引力 r0 分子有效直径

  6. 二、气体分子热运动服从统计规律 每个宏观点的气体分子数量巨大; 气体分子间距很大,除碰撞外,分子间相互作用可忽略; 气体分子间的相互碰撞是非常频繁的; 一秒内一个分子大约要发生几十亿次 ( 109 ) 碰撞 气体分子的微观力学量取值无法预测,气体的宏观量稳定; 气体分子热运动服从统计规律

  7. 统计规律 大量偶然事件在整体上表现出来的规律性 单个小球落入位置 偶然事件 少量小球按位置的分布 规律不明显 大量小球按位置的分布 确定的规律 伽尔顿板实验

  8. 随机试验:  在相同条件下可重复进行;  每次试验有多种可能结果;  试验结果事先不可预测;  不同试验之间无关联。 (随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。) •  伽耳顿板实验中粒子落入的位置 •  掷色子出现的点数 •  气体分子的速率、动量、动能等

  9. 概率 对随即变量 M进行抽样试验: M M1 M2 M3 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … … M取 M i的概率。 ( N = ΔN1 + ΔN2 + ΔN3 + … )

  10. 掷色子出现4的概率 小球出现在第3个小槽

  11. 概率的归一化条件 ( N = ΔN1 + ΔN2 + ΔN3 +… )

  12. 平均值 M M1 M2 M3 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … …

  13. 掷色子出现的点数的平均值 气体分子速率的平均值 建立三维直角坐标系 Oxyz

  14. z y O x 气体分子速率的平均值 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … … vx v1x v2x v3x … … vy v1y v2y v3y … … vz v1z v2z v3z … …

  15. 气体处于平衡态时,气体分子沿各个方向运动的机会均等。气体处于平衡态时,气体分子沿各个方向运动的机会均等。

  16. 气体分子速率平方的平均值 … … z N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … … … … … … y O x … …

  17. z y O x 即

  18. z 气体处于平衡态时,气体分子沿各个方向运动的机会均等。 y O x

  19. 气体分子平动动能的平均值 z O x

  20. Ep Ep Ep O O O r r r §7.2 理想气体的压强 一、理想气体的微观模型 气体分子的性质相同,质量相等,相对于分子间距大小可忽略不计; r0 r0 理想气体分子 一般物质分子 刚性小球模型

  21. 除碰撞外分子间相互作用可忽略不计,气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动;除碰撞外分子间相互作用可忽略不计,气体分子在相邻两次碰撞间作匀速直线运动; 所有的碰撞为完全弹性碰撞; 每个分子频繁地发生碰撞,速度也因此不断变化;

  22. 二、压强形成的微观解释 单个分子与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成,大小、位置具有偶然性; 大量分子(整个气体系统)与器壁碰撞 冲力作用瞬间完成,大小、位置具有偶然性; 压强是气体分子给容器壁冲量的统计平均量

  23. y x O z 三、理想气体的压强公式 建立三维直角坐标系 Oxyz c x, y, z方向规律相同,压强相同 b a 分析 x方向

  24. x方向速度分量为 vix的分子 i与气体分子 j碰撞, y 互换   由于气体分子是全同的,而且每次碰撞是弹性碰撞,因此气体分子间的碰撞对结果的影响可忽略。 A1 c x O b a z 可看作大量气体分子同时作来回运动却“没有”碰撞

  25. x方向速度分量为 vix的分子 i与 A1碰撞,动量变化: y 对 A1的冲量: A1 c x 连续两次与 A1 发生碰撞的时间间隔为: O b a 2a / vix z Δt时间内与 A1 发生碰撞的次数:

  26. Δt时间内分子 i对 A1 的冲量: y A1 c Δt时间内所有分子对A1的冲量: x O b a z

  27. 其中 为气体分子数密度 理想气体压强公式:

  28. §7.3 温度的微观本质 一、温度与理想气体分子平均平动动能的关系 理想气体的能量方程 温度的微观本质

  29. 二、道尔顿分压定律 混合气体的压强等于各种气体的分压强之和。 混合气体的分子数密度 证明: 混合气体各组分温度相同 混合气体的压强

  30. §7.4 能量按自由度均分原理 一、自由度的概念 确定一个物体的空间位置所需要的独立坐标数目。 下列物体看作质点时,自由度为多少?看作刚体时又为多少? 火车 轮船 飞机 质点 1 2 3 刚体 1 ? ?

  31. y x O 轮船(看作刚体): (x, y) 确定质心: 3个自由度 确定方向: θ y’ 海面 θ x’ O’ (x, y)

  32. y’ y O’ x’ z’ x O z 飞机(看作刚体): (x, y, z) 确定质心: 确定转轴: 6 个自由度 确定方向: (x, y, z)

  33. y’ y O’ x’ z’ x O z 细棒: (x, y, z) 确定质心: 5个自由度 (x, y, z) 确定方位:

  34. 气体分子的自由度: 分子模型 自由度 刚性单原子分子 3 刚性双原子分子 5 刚性多原子分子 6

  35. 二、能量按自由度均分原理 或 其中 沿 x方向运动的平均平动动能 沿 y方向运动的平均平动动能 沿 z方向运动的平均平动动能

  36. 处于平衡态的理想气体 (温度为 T),气体分子在每一个平动自由度上的平均能量为 kT / 2 原因: 碰撞 不同自由度上的能量相互转化 不同自由度上的能量平均化

  37. 刚性双原子分子的动能 平动动能 分子动能 转动动能 温度较高时,双原子气体分子不能看作刚性分子,分子平均能量更大,因为振动能量也参与能量均分

  38. 理想气体分子的平均能量 分子模型 总平均能量 自由度 刚性单原子分子 3kT/2 3 刚性双原子分子 5kT/2 5 刚性多原子分子 3kT 6 i →气体分子的自由度

  39. 三、理想气体的内能 E 理想气体分子动能之和 1 mol 理想气体的内能: 质量为 m、摩尔质量为 M的理想气体的内能:

  40. 理想气体的摩尔热容量

  41. §7.5 麦克斯韦速率分布律

  42. 一、分布的概念 小槽宽度为 Δx 小球落入某个槽的概率: 小槽宽度为 dx 小球落入某个槽的概率: ???

  43. 某一时刻理想气体分子的速率 v的分布: v v1 v2 v3 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … … 速率为 vi的概率为: 长时间“观测”理想气体分子的速率 v: v 0 ~ +∞ 连续分布 速率为 v → v + dv的概率为: ???

  44. 速率分布函数 速率在 v附近的单位速率区间的分子数占分子总数的比率 意义: 速率分布函数的实质是相对概率,或者称为概率密度; 速率分布函数的归一化条件

  45. 二、麦克斯韦速率分布律 μ 分子质量 T 热力学温度 k 玻耳兹曼常数

  46. 速率在 v ~ v + dv间的分子数占总分子数的比率: 速率在 v1 ~ v2间的分子数占总分子数的比率: 归一化条件: dv v1 v2

  47. 三、气体分子速率的三种统计平均值 平均速率 气体分子的速率 v离散分布: v v1 v2 v3 … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … … 气体分子的速率 v连续分布:

  48. 对于理想气体:

  49. 方均根速率 气体分子的速率 v离散分布: … … N ΔN1 ΔN2 ΔN3 … … … … 气体分子的速率 v连续分布:

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