Chapter 8 空间滤波

1. Chapter 8 空间滤波

2. 空间滤波：在光学系统的傅立叶频谱面上放 置具有一定透过率的模片，改变光场的频谱 结构，按照预定的需要使像质得到改善。 空间滤波器 • 空间滤波技术基于傅立叶变换的理论基础， 因而可称为傅立叶综合技术。

3. 1873年德国科学家阿贝创建的二次成像理论及其相应的实验1873年德国科学家阿贝创建的二次成像理论及其相应的实验 是空间滤波与光学信息处理的先导。 1935年泽尼克(Zernike)发明了相衬显微术并且第一次成功地 观察到微小的相位物体－细菌，极大地推动了光学信息处理 技术的发展。(1953年诺贝尔物理学奖) 1946年法国科学家杜费（Duffieux）把光学成像看成线性变 换，采用傅立叶方法成功地分析成像过程，发表了《傅立叶 变换及其在光学中的应用》

4. 1953年艾里斯(Elias) 《光学处理的傅立叶方法》 ，《光 学和通讯理论》，1956年奥尼尔《光学中的空间滤波》为 光学信息处理提供了有力的数学工具。 60年代提出复数空间滤波概念，由于激光的出现和全息术 的重大发展，光学信息处理进入了蓬勃发展的时期。光学 信息处理技术在图像的修正处理、特征识别、孔径天线雷 达数据的处理等方面得到了很好的应用。 20世纪80年代以后，光学信息处理进入了一个更加活跃的 时期 。

5. 8.1 空间滤波的基本原理 8.2 系统与滤波器 8.3 空间滤波应用举例 8.4 傅立叶变换透镜

6. 8.1 空间滤波的基本原理

7. 一、阿贝二次衍射成像理论 把物体看作是不同空间频率信息的集合，认为相干照明下成 像过程可分作两步完成。 x h 第一步，入射光场经物平面发生夫琅禾费衍射，在透镜的 后焦面上形成一系列衍射斑 (频谱)，称为第一次衍射像； 第二步，衍射斑作为新的相干波源，由它发出的次波在像 平面上相互叠加而形成物体的像，该像称为第二次衍射 像。

8. x h 说明： 两次傅立叶变换 频谱面上的光场分布与物的结构密切相关。原点附近分布 着物的低频信息，即傅里叶低频分量，离原点越远，分布 着物的较高的频率分量．即傅里叶高频分量。 意义： 不仅用傅立叶变换阐述了显微镜成像过程的机理，更重要 的是首次引入了频谱的概念，启发人们可以通过改造频谱 来改造信息。

9. 二、 Abbe-Port实验 用平行相干光束照明一张细丝网格，在成像透镜的后焦面上 出现周期性网格状的傅里叶频谱，各傅里叶频谱分量在像平 面上重新组合，复现网格的像。

10. 只呈现网格的垂直结构 只呈现网格的水平结构 均匀光场 网格衬度反转 像的性质发生变化

11. 结论： 对像的垂直结构有贡献的是谱面上的水平方向的分量，而 谱面上的垂直方向的分量只对像的水平结构有贡献； 零频分量是一个直流分量，它只代表像的本底； 挡住零频分量，在一定条件下可使像发生衬度反转； 仅允许低频分量通过时，像的边缘锐度降低；仅允许高频 分量通过时，像的边缘效应增强； 采用选择型滤波器，可望完全改变像的性质。 意义 充分证明了阿贝成像理论的正确性．像的结构直接依赖于 频谱的结构，只要改变频谱的构成，便可改变像的构成。

12. 三、空间频谱分析系统 物平面 f (x1, y1) 频谱面 F (x ,h ) { f ( x1 , y1 )} x2 l f F (x ,h ) = F 频谱 x = 2 功率谱 I (x ,h ) = F (x ,h ) y2 l f h =

13. x2 l f y2 l f h x = h = x 功率谱分布特征： 中心的空间频率为零，由中心点向外其空间频 率值越来越高，P2面上任一点的空间频率值与 该点到中心点的距离成正比，其方向由中心点 通过该点的矢径给出 频谱面P2上的功率谱呈中心对称分布。 若物图像存在线状构造，则其功率谱是沿着与 此线状结构正交的直线方向r分布，且物图像 中的线状构造越密集，则在P2沿r方向空间频 谱分布延伸越远；反之亦然 (1)频率特性 (2)对称特性 (3)方向特性

14. 频谱分析器，又称为衍射图像采样器 由在半圆中不同直径的32个环状 PN结硅光二极管元件和另半圆 呈辐射状分布的32个楔形PN结 硅光二极管元件组成，据此可测 出整个频谱面上各处的光强分布 楔-环探测器 针尖缺陷检查、掩模线宽测量、织物疵病以及纸张印刷质量的 检查等。

15. 四、空间频率滤波系统 １．4f系统 傅里叶变换 频谱面 傅里叶变换 输出平面 准直透镜 x2 y2 f (x1, y1) f (x3, y3)*h(x3, y3) H ( , ) lf lf x2 y2 f (x3, y3)Äh(x3, y3) * H ( , ) l f l f

16. 2．双透镜滤波系统 准直透镜 输出平面 傅里叶变换和成像 频谱面 照明和傅里叶变换透镜 傅里叶变换和成像 频谱面 输出平面

17. 3．单透镜滤波系统 傅里叶变换和成像透镜 输出平面 频谱面 双透镜和单透镜滤波系统 优点：系统结构简单 缺点： P2面上给出的物频谱都不是物函数的准确的傅立叶变 换，而附带有二次相位因子

18. 五、空间滤波的傅里叶分析 物平面 频谱面 输出平面 物：一维光栅——朗奇（Ronchi）光栅 L é æ x1 ö 1 æ x1 ö ù æ x1 ö ë è a ø d è d ø û è L ø

19. x2 l f 频谱面上 aL d x = é æ m ö ù ¥ æ am ö å=m -¥ sin c çè d ø÷ sin c êë L çè ø÷ úû T (x ) = x - d aL ì æ a ö é æ 1 öù æ a ö é æ 1 öù ü sin c ( Lx ) + sin c ç ÷ sin c ê L ç x - ÷ú + sin c ç ÷ sin c ê L ç ÷ú + Ký í x + = d î è d ø ë è d øû è d ø ë è d øû þ

20. (1)滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过(1)滤波器是一个适当宽度的狭缝，只允许零级谱通过 像的周期信息丢失，像的结构变成一矩形缝 é æ m öù aL ¥ d m =-¥ æ am ö ÷ å T (x ) = x - ë è d øû sin c ç sin c ê L ç ÷ú è d ø aL d sin c ( Lx ) T (x )H (x ) = a æ x3 ö d è L ø

21. (2)狭缝加宽能允许零级和正、负一级频谱通过 像场与物的周期相同，但由于 高频信息的丢失，像的结构变 成余弦振幅光栅 aL ì æ a ö é æ 1 öù ísinc( Lx ) +sincç ÷sinc êLç ÷ú + T(x)H(x) = x - d î è d ø ë è d øû Lçx + ÷ è d ø ë è d øûþ d è L ø ë è ø è øû

22. (3)滤波面上放置双缝，只允许正、负二级频谱通过(3)滤波面上放置双缝，只允许正、负二级频谱通过 像场复振幅的周期是物的周 期的一半，像的结构是余弦 振幅光栅 ì é æ 2 öù ü aL æ 2aöï ë è d øû ï ï d ï x - ïsincêLç ÷ú ï T(x)H(x) = sincç ÷í ý d d øï è é æ 2 öùï x + +sincêLç ÷ú è ø ë ûþ î æ 2a ö æ x3 ö æ 4p x3 ö 2a d g(x3 ) = sin c ç ÷ rect ç ÷ cos ç d ÷ è d ø è L ø è ø

23. (4) 在频谱面中心放置不透明的小圆屏 a æ x3 ö d è L ø g( x3 3 ) - rect ç ÷ ) = t ( x aL d sin c ( Lx ) T(x )H(x ) = T(x ) - a=d/2 像场的复振幅分布仍为光栅结构， 并且周期与物相同，但强度分布是 均匀的，即实际上看不见条纹 a>d/2 对应物体上亮的部分变暗， 暗的部分变亮，实现了对比 度反转

24. 例1 在相干照明4f系统中，在物平面上放置一正弦光栅， 其振幅透过率 t ( x1 ) = t 0 + t1 cos( 2px 0 x1 ) (1)在频谱面的中央设置一小圆屏挡住光栅的零级谱，求像 的强度分布及可见度； (2)移动小圆屏，挡住光栅的+1级谱，像面的强度分布和可 见度又如何?

25. 例2 在相干照明4f系统中， 在物平面上有两个图像，它们的中 心在X轴上，距离坐标原点分别为a和-a ，今在频谱面上放置一 正弦光栅，其振幅透过率为 1 2 (1 + cos( 2p ax ) ) H (x , h ) = 试证明在像面中心可得到两个图像相加 思考：如何在像面中心得到两个图像相减？

26. 8.2 空间滤波器

27. 空间滤波器的透过率函数一般是复函数 H(x,h) = A(x,h)exp é jf (x ,h )û ë ù 根据透过率函数的性质，空间滤波器可分为 振幅型、相位型和复数滤波器

28. 一、二元振幅滤波器 （1）低通滤波器 带针孔的不透明模板 低通滤波器结构 只允许位于频谱面中心及其附近的低频分量通过，可以用来滤 掉高频噪声

29. （2）高通滤波器 带不透明小圆屏的透明模片 阻挡低频分量而允许高频通过，以增强像的 边缘，提高对模糊图像的识别能力或实现衬 度反转，但由于能量损失较大，所以得到的 结果一般较暗。 高通滤波器结构 （3）带通滤波器 只允许特定区间的空间频谱通过，可以去除 周期性信号中的随机噪音 带通滤波器结构

30. 阻挡(或允许)特定方向上的频谱分量通 过，可以突出图像中的方向性特征 （4）方向滤波器

31. 二、振幅滤波器 只改变傅里叶频谱的振幅分布，而不改变它的位相分布 三、位相型滤波器 只改变频谱的位相结构，不改变振幅分布 光学效率高，通常用真空镀膜的方法得到 四、复数型滤波器 可同时改变各频谱成分的振幅和位相分布，滤波函 数是复函数

32. 8.3 空间滤波器应用举例

33. 一、策尼克相衬显微镜 利用相位滤波器将物体的相位变化转 换成可以观察到的光的强弱变化 设位相物体的复振幅透过率为： t ( x1 , y1 ) = exp[ jf ( x1 , y1 )] 2 31 j 1 1 1 1 1 11 j (x ,y )- (x ,y )- (x )Lf f f= + ,y 2 6 f (x1 ,y1 )<<1 时 t(x1, y1) »1+ jf(x1,y1) 用单位振幅的单色平面光波照明,透过的光场复振幅分布 1 + jf (x1 ,y1 ) 一个普通的显微镜对上述物体所成的像，其强度可以写成 |1 | 1 1I jf f» + = + » 2 2

34. x = h = 0 其它 ì± jt, î1, H (x ,h) = í 变相板 F(x,h)H(x,h) = ± jtd (x,h) + jF(x,h) g ( x3 , y3 ) = ± jt + jf ( x3 , y3 ) 像的强度和相移成线性关系 2 滤波后 像面复振幅分布 像强度分布 I(x3, y3) = j éë±t +f( x3, y3 )ùû »t ±2tf( x3 3 ) 2 , y 本底光位相延迟p/2，式中取正号，相位值大的部位光强也 强，叫做正相衬；本底光位相延迟3p/2，式中取负号时，相位 值大的部位光强弱，叫做负相衬。 可以用于观察抛光表面质量以及透明材料不均匀性检测等

35. x = h = 0 其它 ì± jt, î1, H (x ,h) = í 变相板 F(x,h)H(x,h) = ± jtd (x,h) + jF(x,h) g ( x3 , y3 ) = ± jt + jf ( x3 , y3 ) 像的强度和相移成线性关系 2 滤波后 像面复振幅分布 像强度分布 I(x3, y3) = j éë±t +f( x3, y3 )ùû »t ±2tf( x3 3 ) 2 , y 思考： （1）当f变大，情况如何？ （2）把直接透射光直接全部挡掉，情况如何？ 暗场法

36. 纹影法光路 纹影法用于风洞实验

37. 例1：用相衬法观察一位相物体，若人眼可分辨的最小对比度例1：用相衬法观察一位相物体，若人眼可分辨的最小对比度 V＝0.03，所用光波波长l＝600nm，试问： （1）当位相板上零级谱的振幅透过率t＝1时，可观察到的最 小位相变化是多少？ （2）当t＝0.01时，可观察到的最小位相变化又是多少？ （3）若检测透明玻璃的不平度，在（1）的情况下，可检测 的玻璃的不平度为多少？（设玻璃的折射率nG=1.52 ）

38. 二、补偿滤波器 在频谱平面上放置适当的滤波器，使得滤波器的传递函数补偿 原来系统传递函数的缺陷，则两者的乘积产生一个较为满意的 频率响应，使照片的质量得到部分改善 æ r ö è a ø h(r ) = circ ç ÷ 假定成像缺陷是由于成像系 统严重离焦引起 a 0 2par H(r) = 2p ò rJ0 ( 2prr) dr 相应的传递函数 2J1 ( 2par) =

39. 吸收板用来衰减很强的 低频峰值，以便提高像 的对比，突出细节 高频损失严重，而且在 某一中间频率区域，传 递函数的符号发生反转 相移板使H的第一个 负瓣相移，以纠正对 比反转。

40. 三、逆滤波器 1、逆滤波器消模糊的基本原理 设原始图像为 f(x,y) 造成模糊像的点扩散函数为h(x,y) 输出畸变图像为 g ( x , y ) = f ( x , y ) * h ( x , y ) +¥ òò -¥ f (a , b ) h ( x - a , y - b ) d a d b = G (x ,h ) = F (x ,h ) H (x ,h ) 如果在系统的频谱面上放置一个滤波器，使其透过率满足 -1 H (x ,h ) 逆滤波器 F(x,h)H(x,h)H -1(x,h) = F(x,h) 滤波后的频谱分布为

41. 2、逆滤波器的制作方法 一般可以通过变换后制作 * * H H | H | H H -1 * = 2 = H * | H |- 2 = H 注意：实际只能得到近似的逆滤波函数。 思考：能否用这种方法实现图像超越衍射极限？

42. 例3：摄影时由于不小心，在横向抖动了2a,形成两例3：摄影时由于不小心，在横向抖动了2a,形成两 个像的重影，试设计一个改良此照片的逆滤波器

43. 四、空间匹配滤波器 1、空间匹配滤波器的定义 H (x ,h ) = F * (x ,h ) 与输入信号f(x,y)相匹配的滤波器 4f系统频谱面P2后的输出 2 F2 (x,h) = F(x,h)H(x,h) = F(x,h)F (x,h) = F(x,h) * 4f系统输出面上的分布 * 在输出平面上得到了物的自相关，因而在像面上呈现一个亮点

44. 2、利用匹配滤波器进行图像识别的原理 图像识别是指检测和判断图像中是否包含某一特定信息 H (x ,h) µ S* (x ,h) 基准图像 s(x,y) 匹配滤波器 设待识别图像中包含基准图像和相加性噪声 f ( x1 , y1 ) = s ( x1 , y1 ) + n ( x1 , y1 ) F(x,h) = S (x,h) + N(x,h) 频谱 能量比较弥散 经滤波和反付立叶变换后 g( x3, y3 ) = f ( x3, y3 ) Äs( x3, y3 ) =s( x3, y3 ) Äs( x3, y3 ) +n( x3, y3 ) Äs( x3, y3 ) 较强的自相关输出，在输出平面上产 生一个亮点，亮点的位置与待识别图 像中包含的基准图像的位置对应

45. 8.4 傅里叶变换透镜

46. 截止频率、空间带宽积和视场 1、截止频率 D1/2 某些空间频率 无拦阻通过 D D / 2 - D1 / 2 D - D1 u = = f 2 f D - D1 2l f sin u u l l x = » = 截止频率

47. D1/2 某些 空间 频率 不能 通过 D + D1 2l f D / 2 + D1 / 2 D + D1 sin u u l l x = » = u = = f 2 f

48. 结论： 渐晕效应 D - D1 2l f 透镜后焦面上可以得到相应的空间频 率成分的物体准确的傅里叶谱； x £ < x < 叶谱，各空间频率成分受到透镜孔径 2l f 2l f 程度不同的阻拦； 虽然物可能有更高的空间频率成分， 但因这些分量全部被透镜的有限孔径 所阻拦，在后焦面上完全得不到物的 傅里叶谱中的这些高频成分。 D + D1 2l f x >

49. 例1 设物函数中含有从低频到高频的各种结构信息， 物被直径为d=2cm的圆孔所限制，将它放在直径D＝ 4 cm、焦距f=50 cm的透镜的前焦面上。今用波长l ＝600 nm的单色光垂直照射该物并测量透镜后焦面上 的光强分布。问： （1）物函数中什么频率范围内的频谱可以通过测量得 到准确值？ （2）什么频率范围内的信息被完全阻止？

50. 2、傅立叶透镜的信息容量——空间带宽积 信息容量N=频 带 宽 度´ 空 间 宽 度 空间带宽积 D - D1 2l f x = 截止频率 D-D1 l f Dx =2x = 频带宽度 = D l f