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多边形

奥赛辅导系列. 多边形. 在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形均指凸多边形。它的重要性质是： （ 1 ） n 边形的内角和是 180 ° · （ n-2 ），由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。 （ 2 ）任意多边形的外角和等于 360° 。. 例 1. 已知多边形的内角和是外角和的 3 倍，求这个多边形的边数。. 例 2 . 一个多边形的每个内角都等 144° ， 求这个多边形的边数。.

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多边形

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  1. 奥赛辅导系列 多边形

  2. 在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形均指凸多边形。它的重要性质是：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。如果延长多边形的任一条边，整个多边形都在这条延长边的一侧，那么这样的多边形就叫做凸多边形。下面所说的多边形均指凸多边形。它的重要性质是： （1）n边形的内角和是180°·（n-2），由于这个结论与边数有关，所以这不是对多边形的最本质的刻划。 （2）任意多边形的外角和等于360°。

  3. 例1.已知多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。例1.已知多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数。 例2 .一个多边形的每个内角都等144°， 求这个多边形的边数。 解： 设这个多边形的边数为n，根据题意得 180°·（n-2）=360°×3 解之得 n=8 答：这个多边形的边数为8 思路1 利用多边形的内角和定理。 　　解法1 设这个多边形的边数为n，根据题意得 180°·（n-2）=144°n 　　　　解之得n=10 ° 思路2 利用多边形的外角和定理。 　　解法2 因为这个多边形的每个内角都等于144°，所以每个外角都等于36°，而多边形的外角和是360°，所以这个多边形的边数是 360°÷36°=10.

  4. 例3 一个多边形除了一个内角之外的所有内角和等于2000°，求这个多边形的边数和这个内角的度数。 解： 设这个多边形的边数为n，这个内角的度数为X，根据题意有180·（n-2）=2000°+x X= 180·（n-2）-2000° ∵0°＜x＜180° ∴0°＜180·（n-2）-2000°＜180° 解之得118／9＜n＜127／9 又 ∵n是正整数，得n=14。 　　∴x=（14-2）×180°-2000°=160°。

  5. 例4 .求证：n边形的内角中，最多有3个锐角。 证明：因为n边形的外角和是360°，所以这n个外角中最多有3个钝角。（若有4个或4个以上角是钝角，则外角和就大于360°，这与n边形的外角和定理矛盾）。这3个是钝角的外角的对应内角就是锐角。所以，n边形的内角中，最多有3个锐角。

  6. 例5 如图2-9-1，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数。　 解：连结AF 　　∵AD和CF交于O 　　∴　∠1+∠2=∠C+∠D 又在四边形ABEF中，有 ∠FAB+∠B+∠E+∠EFA=360°, ∵∠FAB=∠1+∠3 ∠EFA=∠2+∠4 ∴∠FAB+∠EFA=∠3+∠4+∠C+∠D 即∠BAD+∠B+∠C+∠D+∠E+∠CFE=360°

  7. 例6 如图2-9-2，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H的度数。 提示： 连结HC，先得∠1+∠2=∠A+∠B，又在五边形CDEFH中，内角和为540°，代入即可。

  8. 例7.己知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，求该凸十一边形的各内角的大小。例7.己知一个凸十一边形由若干个边长为1的等边三角形和边长为1的正方形无重叠，无间隙拼成，求该凸十一边形的各内角的大小。 解: 设此凸十一边形的各个内角中有 x个 y个 z个 s个由题意有 X+y+z+s=11 ① 60°x+90°y+120°z+150°s=（11-2）×180° ② 　 由①得s=11-x-y-z, 代②入化简得3x+2y+z=1 　 因为x,y,z均为非负整数， 　 所以 x=y=0,z=1.　　故s=10. 则这个凸十一边形有一个角是120°， 有十个内角都是150°。

  9. 练一练 1. 一个n边形的内角和等于它的外角和，则n=______. 4 3 2. 一个凸n边形的外角中，最多有_____个钝角。 提示：∵ （n-2）·180=360°，∴ｎ＝４。 3. 已知凸n边形的n个内角与某一个外角之和为1350°，则n=______. 提示：因为n边形的外角和为360°，所以钝角最多有3个。（若有4个成4个以上外角为钝角，则外角和将大于360°，这与外角和定理矛盾）。 9 提示：设这个外角为α， 则（n-2）·180°+α=1350°， ∴α=1350°- （n-2）·180°， 又∵0°＜α＜180° ∴0° ＜1350°- （n-2）·180°＜180° 解之得8.5＜α＜9.5。 　　又由n是整数，得n=9。

  10. 4. 如图2-9-4，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。 5. 一个六边形的六个内角都是120°,连续四边的长度依次是1,3,3,2, 则这个六边形的周长是_____. 提示：如图2-9-6，延长BC、DE、AF交于G、H、M，由六边形的每个内角都是，得△CHD、△FEM、△GBA、△GHM都是等边三角形GB=GA=AB=1， CH=DH=CD=3， GH=1+3+3=7。进而可求得EF=2，AF=4，周长为1+3+3+2+2+4=15。

  11. 6. 一个多边形有三个内角为钝角,这样的多边形边数的最大值是_______。 6 提示： 由已知知这三个是钝角的内角的相邻外角是锐角，又因为外角和为360°，所以，外角中余下的钝角个数最多为3个，所以，多边形边数的最大值是6。 A 7.(1999年山东）如图，已∠CGE=α， 则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___度. E C 1 3 3 2 4 G B 解:连结EC F D ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠D=180° ∠1+∠3+∠α=180° ∴∠2+∠4+∠D=α 同理可得 ∠B+∠F+∠A=α ∴∠A+∠B+∠4+∠2+∠F+∠D=2α

  12. 8.凸n边形中有且只有两个内角为钝角,则n的最大值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 B 解:n边形外角中最多有3个角为钝角,即内角中最多有3个不是锐角,得n=3+2=5 9. (第7届希望杯）一个凸多边形有且仅有4个内角是钝角,这样的多边形的边数最多是________. 解:设这个凸多边形的边数为n,则其中4个内角为钝角,(n-4)个内角为直角或锐角. ∴(n-2) ×180°＜4×180°+(n-4) ×90° ∴n＜8,取n=7. 当n=7时,可以作4个170°的内角,其余3个内角分别为80°,80°,60°.

  13. 10.(1994年北京竞赛)已知:六边形ABCDEF中, ∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11, FA-CD=3.求BC+DE的长. F E R Q D A B C 解1：如图，将六边形ABCDEF的三边AB，CD，EF双向延长，得⊿PQR P ∵六边 形内角和是720° ∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120° ∴该六边形各外角均为60° 故 ⊿PQR，⊿PCB，⊿DQE，⊿FRA均为等边三角形 ∴BC+DE=PQ-CD=PR-CD=FA+AB+BC-CD =（AB+BC）+（FA-CD）=11+3=14。

  14. 解2：如图，延长FA，CB交于P，延长FE，CD交于Q，易证四边形FPCQ是平行四边形，⊿ABP和⊿DEQ均是等边三角形。解2：如图，延长FA，CB交于P，延长FE，CD交于Q，易证四边形FPCQ是平行四边形，⊿ABP和⊿DEQ均是等边三角形。 ∵PF=CQ，∴FA+AB=DE+CD ∴DE-AB=FA-CD=3 ① 又 AB+BC=11 ② ①+② 得，DE+BC=3+11=14。 F E Q D A P C B E F 还有其它的解法吗？ D A B Q P C 问：如图，若补成等腰梯形来解， 你想试一试吗？

  15. 再见

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