Алгебра логики

1. Алгебра логики Основные понятия

2. Введение Буль (Boole) Джордж (2.11.1815, Линкольн, — 8.12.1864, Баллинтемпл близ Корка), английский математик и логик. Не имея специального математического образования, в 1849 стал профессором математики в Куинс-колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Б. почти в равной мере интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона.

3. Высказывание • Высказывание – любое утверждение, рассматриваемое только с точки зрения его истинности или ложности • Простое – значение его истинности не зависит от значений истинности других высказываний • Сложное – значение его истинности зависит от других высказываний

4. 0 и 1 • Эрнст Шрёдер (нем. Ernst Schröder, 25 ноября1841, Мангейм — 16 июня 1902, Карлсруэ) — немецкий математик и логик. • Известному немецкому математику и логику Эрнесту Шредеру пришло в голову предложить в качестве знака для обозначения ложного суждения цифру 0, что, конечно, привело к обозначению истины цифрой 1.

5. Булева переменная • M={0,1}, где 0 – ложь, 1 – истина. Обычно булевские обозначаются маленькими латинскими буквами. • Двоичной, булевой функцией от набора двоичных переменных называется функция, результатом которой могут быть только значения 0 и 1.

6. Таблицы истинности

7. Операции • Функция - это однозначное отображение, преобразование набора аргументов из области определения в значение из области значений. • Унарная операция - операция над одним операндом • Бинарная операция – операция над двумя операндами

8. Основные функции f (x)= • Инверсия • Логическое «НЕТ», «НЕ»

9. Основные функции • Конъюнкция • Логическое «И» • Обозначение: &, ·,

10. Основные функции • Дизъюнкция • Логическое «ИЛИ» • Обозначение: +, f (x, y)=(0111)

11. Дополнительные функции • Импликация • «если»-«то» f (x, y)=(1011)

12. Дополнительные функции • Эквивалентность, равнозначность. Записывается, как x~ y, логическое равенство. f (x, y)=(1001)

13. Дополнительные функции • Сложение по модулю два, неравнозначность. Записывается, как xy, или ¬( x y) XOR (eXclusive OR) f (x, y)=(0110)

14. Дополнительные функции • Стрелка Пирса, функция Вебба, логическое «или-не».Записывается, как xy f (x, y)=(1000)

15. Дополнительные функции • Штрих Шеффера (И-НЕ) – ‘ f (x, y)=(1110)

16. Приоритет операций • Инверсия • Штрих Шеффера • Стрелка Пирса • Конъюнкция • Дизъюнкция • Сложение по модулю 2 • Импликация • Эквивалентность

17. Равносильность • Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний. • Равносильность формул обозначают знаком , а запись AB означает, что формулы A и B равносильными.

18. Равносильность • Формула A называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных. • Например, xx. • если формулы A и B равносильны, то формула A~B - тавтология, и обратно, если формула A~B - тавтология, то формулы A и B равносильны.

19. Основные равносильности • Закон тождества: x=x • Закон идемпотентности (повторное применение не даёт ничего нового). • x ∧ 1 = x, x ∨ 1 = 1, x ∧ 0 = 0, x ∨ 0 = x, • Закон противоречия: x∧ x=0 • Закон исключенного третьего: x∨x=1

20. Основные равносильности • Закон снятия двойного отрицания • Закон поглощения

21. Докажем один из законов поглощения • Рассмотрим формулу Ax(yx). • Если в этой формуле x=1 то, очевидно, yx=1 и тогда x(yx)=1 как конъюнкция двух истинных высказываний. • Пусть теперь в формуле x=0. Но тогда по определению операции конъюнкции будет ложной конъюнкция x(yx). • Итак, во всех случаях значения формулы A совпадают со значениями x, а поэтому Ax.

22. Свойства функций • x~y(xy)(yx); • xyxy; • Правила де Моргана:

23. Доказательство 1 • Так как при одинаковых логических значениях x и у истинными являются формулы x~y, xy, yx, то истинной будет и конъюнкция (xy)(yx). • Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения. • Пусть теперь x и у имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность x~y и одна из двух импликаций xy или yx. По при этом будет ложной и конъюнкция (xy)(yx).

24. Основные законы • Свойство коммутативности • Свойство ассоциативности • Свойство дистрибутивности

25. Булевские функции • Функции, принимающие значений 1 и 0, и каждый n их аргументов принимает значение 1 и 0. Записывается, как y = f(x1, x2,…, xn), x1∈{0,1}, x2∈{0,1},…, xn∈{0,1}, y∈{0,1}. • Теорема: для n существует ровно различных функций n – переменных. Это есть мощность функции n переменных.

26. Суперпозиция функций • Суперпозицией булевых функций f0 и f1, ..., fn называется функция  • f(x1,...,xm)=f0(g1(x1,...,xm),...,gk(x1,...,xm)), где каждая из функций gi(x1, ...,xm) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f1,...,fn.

27. Пример суперпозиции •  f(x,y) = ¬(x & y) • суперпозиция функций ¬ и & • g(x,y) = x Е (x Ъ y) • суперпозиция функций Е и Ъ • h(x,y,z) = (x & y) Е z  • суперпозиция функций Е и &.

28. Функциональная полнота • Набор функций алгебры логики называется функционально полным, или просто полным, если любую функцию алгебры логики можно представить, как суперпозицию функций этого набора.

29. Конституэнта единицы • Конституэнта 1 — это логическая функция, дающая значение 1 на единственном наборе входных значений, связывает все переменные, представленные в прямой или инверсной формах, знаком конъюнкции.

30. Конституэнта нуля • Дизъюнктивный терм (или макстерм, или конституэнта нуля) – терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции. Любой дизъюнктивный терм равен нулю только на одном наборе переменных. • 00=1; 01=0; 10=0; 11=1.Таким образом, ху=1 тогда и только тогда, когда х = у.

31. Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

32. Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ)

33. Переход от ДНФ к КНФ и наоборот

34. Переход от ДНФ к СДНФ

35. Переход от КНФ к СКНФ

36. Лемма • Любаялогическаяфункцияf(x1, x2, …, xn) можетбытьпредставленаввидедизъюнкции 2пдизъюнктныхслагаемых, причемдизъюнкцияберетсяповсевозможнымнаборамизEn. Этотфактбудемзаписыватьследующимобразом: • (*) • гдедизъюнкцияпроводитсяповсевозможнымнаборам (s1, s2, …, sп) изЕп.

37. Теорема • Еслибулевафункциянеравнатождественномунулю, тоееможнопредставитьввидеСДНФпоеетаблицеистинностиследующимобразом: беремтолькотенаборыпеременных (х1,х2, …,хn), длякоторыхf(х1,х2, …,хn)=1, исоставляемпростуюконъюнкциюдляэтогонаборатак: еслихi= 0, тоберемвэтойконъюнкции !хi, еслихi = 1, тоберемхi. Составляядизъюнкциюэтихпростыхконъюнкций, придемкСДНФ.

38. Следствие • Любуюлогическую (булеву) функциюможновыразитьчерезтрилогическиефункции: конъюнкцию, дизъюнкциюиотрицание

39. x y f (x, y) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Нахождение формулы по таблице истинности

40. x y f (x, y) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Нахождение формулы по таблице истинности

41. Теорема • По аналогии с представлением любой функции (не равной тождественному нулю) в виде СДНФ можно функцию (не равную тождественной 1) представить в виде СКНФ: простаядизъюнкциясоставляетсядлятехнаборовпеременных (х1, х2, …, хп), длякоторыхf(x1, x2,…, xn) = 0, причемеслихi = 1, товэтойдизъюнкцииберем!хi, еслижехi = 0, тоберемхi.

43. Штрих Шеффера  — отрицание  — дизъюнкция  — конъюнкция

44. Стрелка Пирса • Через стрелку Пирса могут быть выражены все другие логические операции: • ¬x ≡ x↓x • x & y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y) • x∨y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y) • Системы из одной функции принято называть универсальным базисом.

45. Классы ФАЛ • Класс функций, сохраняющих константу 0 – K0: f(0,0,…,0)=0 • Класс функций, сохраняющих константу 1 – K1: f (1 ,1,...,1)=1 • Класс самодвойственных функций – V: функции f*(x1,x2,…,xn) двойственная для (K) f(x1,x2,…,xn), если имеет место равенство • Функция самодвойственная, если • Другими словами самодвойственная функция на противоположных друг другу наборах значений аргументов принимает противоположные значения. • Класс линейных функций – L: f(x1,x2,…,xn)=С0⊕С1*x1 ⊕… ⊕Cnxn, где С – константы • Класс монотонных функций – M: • Класс симметричных функций – S: функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке аргументов. • f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(0,0,1)

46. Теорема Поста (теорема о пяти «нет»)

47. Базисы • Система функций S1={¬,&,v} образует базис. Для приведения булевой функции к виду содержащему лишь связки из базиса S1 могут быть полезны следующие эквивалентности:         X→Y=¬XvY         X↔Y=(Xv¬Y)(¬XvY)         X⊕Y=¬XYvX¬Y         X|Y=¬Xv¬Y         X↓Y=¬X&¬Y

48. Базисы • Система S2={¬,&} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение XvY=¬(¬X&¬Y). • Система S3={¬,v} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение X&Y=¬(¬Xv¬Y).

49. Базисы • Система S4={1,&,⊕} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1 а затем использовать соотношения:         ¬X=1⊕X         XvY=X⊕Y ⊕ X&Y • Система S5={|} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S2 а затем использовать соотношения:         X&Y=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X|X

50. Базисы • Система S6={↓} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S3 а затем использовать соотношения:         XvY=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X↓X • Система S7={→,0} образует базис.