1 / 48

interpolasi

interpolation for numerical methode

atiku
Download Presentation

interpolasi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Pertemuan 9 : Interpolasi (P9) 1 Interpolasi • Metode Newton • Metode Spline Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  2. Pertemuan 9 : Interpolasi 2 Interpolasi Newton • Polinomial Maclaurin dan polinomial Taylor menggunakan satu titik pusat, x0 untuk menghampiri suatu fungsi f(x). • Bila lebih dari satu titik pusat yang digunakan, misalnya : x0, x1, …, xn, maka hasilnya disebut polinomial Newton. Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  3. Pertemuan 9 : Interpolasi Teorema Polinomial Newton : 3 • Andaikan untuk k = 0, 1, …, n mempunyai nilai-nilai yang berbeda, maka dengan adalah polinomial yang dapat dipakai untuk mendekati f(x) : dan Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  4. Pertemuan 9 : Interpolasi 4 • Polinomial Newton melalui (n+1) titik yaitu untuk k = 0, 1, …, n. • Sisaan berbentuk : untuk beberapa c yang terletak pada interval [a,b]. Koefisien aidikonstruksi menggunakan beda bagi (divided difference). Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  5. Pertemuan 9 : Interpolasi 5 • Kurva berikut memberikan ilustrasi suatu polinomial Newton derajat 3. Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  6. Pertemuan 9 : Interpolasi 6 Beda bagi (Divided Difference) Orde I. • Bila diberikan sembarang fungsi f(x) dan 2 titik, x0dan x1, Beda bagi orde pertama dari suatu fungsi f(x) didefinisikan sebagai berikut : • Menggunakan teorema nilai antara : untuk nilai c antara x0dan x1, Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  7. Pertemuan 9 : Interpolasi 7 • Lebih jauh dapat ditunjukkan bahwa • Beda bagi orde dua untuk tiga titik yang berbeda, x0, x1dan x2didefinisikan sebagai : Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  8. Pertemuan 9 : Interpolasi 8 • Dari sini dapat ditunjukkan bahwa untuk nilai c antara x0dan x2, • Bila maka Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  9. Pertemuan 9 : Interpolasi 9 Contoh: Bila x0=1.0, x1=1.1 dan x2 =1.2, maka: Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  10. Pertemuan 9 : Interpolasi Sebagai perbandingan: 10 Contoh: maka tabel beda bagi dapat dikonstruksi sbb: Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  11. Pertemuan 9 : Interpolasi 11 dengan: Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  12. Pertemuan 9 : Interpolasi 12 • Menggunakan pendekatan polinomial Newton, contoh di atas menghasilkan Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  13. Pertemuan 9 : Interpolasi 13 Contoh: • Buat polinomial Newton derajat n = 1, 2, 3, 4, 5 untuk menghampiri fungsi f(x) = cos(x) pada interval [x0, xn] = [0, 1], dengan partisi yang sama.       , ) 6 . 0 ( , 6 . 0 f    , 2 . 0    5 k  , , 0 , ) 0 ( , ) 2 . 0 ( , 4 . 0 , ) 4 . 0 ( f x y f f f  k k 0      , 8 . 0 , ) 8 . 0 ( , 1 ) 1 ( f Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  14. Pertemuan 9 : Interpolasi 14 Jawab: Gunakan {{0, 1},{0.2, 0.980067}} untuk mengonstruksi polinomial interpolasi Newton derajat 1, Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  15. Pertemuan 9 : Interpolasi 15 Bila digunakan {{0,1},{0.2, 0.980067},{0.4, 0.921061}} pada interval [0, 0.4]. Hasilnya adalah: Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  16. Pertemuan 9 : Interpolasi 16 Bila digunakan 4 titik, {{0, 1},{0.2, 0.980067}, {0.4, 0.921061},{0.6, 0.825336}} pada interval [0, 0.6] diperoleh polinomial derajat 3 berikut : Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  17. Pertemuan 9 : Interpolasi 17 Bila digunakan 5 titik, {{0, 1},{0.2, 0.980067}, {0.4, 0.921061},{0.6, 0.825336}, {0.8, 0.696707}} pada interval [0, 0.8] diperoleh polinomial derajat 4 berikut : Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  18. Pertemuan 9 : Interpolasi 18 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  19. Pertemuan 9 : Interpolasi 19 Lagrange vs. Newton (n=5) melibatkan 30 perkalian, dan sampai 35 penjumlahan atau pengurangan melibatkan 15 perkalian, dan sampai 20 penjumlahan atau pengurangan Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  20. Pertemuan 9 : Interpolasi 20 • Secara umum, polinomial Lagrange derajat n memerlukan n(n+1) perkalian serta n(n+2) penjumlahan dan pengurangan, sedangkan polinomial Newton derajat n memerlukan n(n+1)/2 perkalian serta n(n+3)/2 penjumlahan dan pengurangan. • Jadi mana yang lebih efisien? Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  21. Pertemuan 9 : Interpolasi 21 Teorema Batas Kesalahan • Andaikan f(x) didefinisikan pada [a, b] yang memuat partisi yang sama • Andaikan pula f dan turunan f sampai orde (n+1) kontinyu serta terbatas pada subinterval [x0, x1], [x0, x2], [x0, x3], [x0, x4], dan [x0, x5], yaitu | f(n+1)(x) | ≤ M(n+1)untuk x0< x < xndengan n = 1, 2, 3, 4, 5. Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  22. Pertemuan 9 : Interpolasi 22 Faktor kesalahan yang bersesuaian dengan kasus-kasus tersebut memiliki batas atas berikut utk utk utk Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  23. Pertemuan 9 : Interpolasi 23 untuk untuk Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  24. Pertemuan 9 : Interpolasi Contoh: • Selidiki kesalahan yang timbul akibat penggunaan metode hampiran Newton orde n = 1, 2, 3, 4, dan 5 pada contoh di atas. Jawab: untuk n=1, gunakan [0,0.2 ] Kesalahan yang terjadi : e1(x) = f(x) – P1(x), 24 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  25. Pertemuan 9 : Interpolasi 25 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  26. Pertemuan 9 : Interpolasi 26 Jawab: untuk n=2, gunakan [0,0.4 ] Kesalahan yang terjadi : e2(x) = f(x) – P2(x), Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  27. Pertemuan 9 : Interpolasi 27 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  28. Pertemuan 9 : Interpolasi 28 Jawab: untuk n=3, gunakan [0,0.6 ] Kesalahan yang terjadi : e3(x) = f(x) – P3(x), Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  29. Pertemuan 9 : Interpolasi 29 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  30. Pertemuan 9 : Interpolasi 30 Jawab: untuk n=4, gunakan [0,0.8] Kesalahan yang terjadi : e4(x) = f(x) – P4(x), Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  31. Pertemuan 9 : Interpolasi 31 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  32. Pertemuan 9 : Interpolasi 32 Jawab: untuk n=5, gunakan [0,1] Kesalahan yang terjadi : e5(x) = f(x) – P5(x), Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  33. Pertemuan 9 : Interpolasi 33 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  34. Pertemuan 9 : Interpolasi 34 Interpolasi Spline: • Apabila ingin dilakukan interpolasi pada data dalam tabel berikut : Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  35. Pertemuan 9 : Interpolasi 35 • Salah satu cara adalah dengan membuat interpolasi linear pada setiap segmen data seperti berikut : • Namun cara ini akan menimbulkan sudut pada setiap segmen garis, yang kurang dikehendaki. Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  36. Pertemuan 9 : Interpolasi 36 • Cara lain adalah dengan pendekatan interpolasi kuadratik pada setiap segmen Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  37. Pertemuan 9 : Interpolasi 37 • Atau dengan menggunakan interpolasi polinomial seperti berikut : Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  38. Pertemuan 9 : Interpolasi 38 Interpolasi menggunakan Piecewise Polynomial • untuk fitting jumlah data yang banyak. • untuk menghindari penggunaan polinomial derajat tinggi • bermanfaat, al. fitting data dapat dilakukan dengan polinomial derajat rendah. • Menggunakan fungsi interpolant berbeda pada setiap sub-interval • Titik disebut knots atau breakpoints • Contoh: piecewise linear, Hermite interpolation Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  39. Pertemuan 9 : Interpolasi 39 Contoh: Agar diperoleh solusi yang unik, jumlah parameter harus sama dengan jumlah persamaan. dengan n knots mempunyai 4(n-1) parameter yang harus ditentukan Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  40. Pertemuan 9 : Interpolasi 40 • 2(n-1) persamaan dari plot data • (n-2) persamaan dari syarat kekontinuan turunan pertama • n persamaan lainnya bisa untuk persyaratan tambahan • 3(n-4) persamaan spt pada Interpolasi Hermite • (n-2) persamaan dari syarat kekontinuan turunan kedua • 2 persamaan lainnya bebas Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  41. Pertemuan 9 : Interpolasi 41 ContohTentukan interpolasi cubic spline dari titik Delapan parameter yang akan ditentukan: di di Delapan persamaan yang akan digunakan: Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  42. Pertemuan 9 : Interpolasi 42 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  43. Pertemuan 9 : Interpolasi 43 • Hermite Cubic mengutamakan kemonotonan Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  44. Pertemuan 9 : Interpolasi 44 • Cubic Spline mengutamakan kemulusan Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  45. Pertemuan 9 : Interpolasi 45 : Piecewise constant : Piecewise linear : Piecewise quadratic : Piecewise polinomial derajat k Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  46. Pertemuan 9 : Interpolasi 46 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  47. Pertemuan 9 : Interpolasi 47 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

  48. Pertemuan 9 : Interpolasi 48 Semester Pendek 2011 Departemen Matematika FMIPA IPB

More Related