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第五讲 函数的连续性

第五讲 函数的连续性. 一、函数的连续性 1、 函数在一点的连续性 1） 自变量的增量△ x 自变量 x 从初值 x 0 变到 终值 x 1 , 则称 x 1 - x 0 为自变量 x 的改变量或增量。 即 △ x = x 1 - x 0 → x 1 = x 0 + △ x. 2) 函数的增量△ y 当 x: x 0 → x 1 ,y=f(x) 由 f(x 0 ) → f(x 1 ), 则 △ y =f(x 1 )-f(x 0 ) =f(x 0 + △ x)-f(x 0 ).

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第五讲 函数的连续性

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Presentation Transcript

  1. 第五讲 函数的连续性

  2. 一、函数的连续性 1、函数在一点的连续性 1）自变量的增量△x 自变量x从初值 x0变到 终值x1,则称x1- x0为自变量x的改变量或增量。 即 △x = x1- x0→ x1= x0+△x

  3. 2)函数的增量△y 当 x: x0→x1 ,y=f(x)由 f(x0)→f(x1), 则 △y =f(x1)-f(x0) =f(x0+△x)-f(x0)

  4. 3)函数在x0点的连续性 所谓函数连续，直观上看图形是可以一 笔画成的一条曲线，否则就是不连续的。 如下图

  5. y△y y △y △x △x 0 x0x0+ △x x 0 x0x0+ △x x (1) (2) 图 （1）中， △x →0 B →A, △y →0 lim △y = 0 (a) 图（2）中, △x →0 B →C, B →A △y →0

  6. (a)式还可以写为下面两种形式： lim[f(x0+ △x)- f(x0 ) ]=0 ( b ) lim [f(x1)- f(x0 )]=0 lim f(x1)=f(x0) ( c ) (c)式实际上是书上定义的式子(p79) 注：由（c）式可以看出

  7. 函数f(x)在x0点连续必须满足3条： （1） lim f(x)存在 (2)f(x)在x0点有定义 (3)二者相等

  8. 即 ： f(x)在x0点的极限值等于该点的函数值。 从上述定义可看出，连续性是用极限的方 法，由极限来定义的。

  9. 4) 连续的充要条件 既然是由极限来定义的，那么相应于左右 极限，这里就有左连续、右连续的概念 lim f(x)=f(x0)，则f(x)在x0点左连续 limf(x) =f(x0)，则f(x)在 x0点右连续

  10. 充要条件：函数在x0点连续即 limf(x)=f(x0) f(x)在x0点左连续且右连续 lim f(x)= lim f(x) = f(x0)

  11. 注： 与极限的充要条件同理，连续的充要条件 一般讨论x0点的左右两边函数表达式不同的情 况。

  12. 例1 讨论f(x) =∣x∣ 在 x0=0的连续性 解：f(x)= x x ≥0 -x x < 0 lim f(x)= lim x =0 lim f(x)= lim (-x)=0 则 lim f(x)=lim f(x)=0=f(0) 所以 f(x)在x=0连续 y y=-x y=x 0 x

  13. 例2 讨论f(x)= x≤1 x>1的连续性 解： 因为 limf(x)= lim(x2+1)=2=f(1) limf(x)= lim =1≠f(1) 从而 limf(x)≠limf(x) 左右极限存在但不相等，故极限不存在，更不会 等于f(1),或左连续但右不连续，故而不连续。 x2+1

  14. 2 、函数的间断点 简言之，函数不连续即间断。 函数不连续即 lim f(x) = f(x0) 不成立。

  15. 或者说 （1）lim f(x)不存在 （2）f(x0)无意义 （3）二者存在但是不相等 三条中只要有一条成立，则f(x)在x0间断。常 用的是第二条。

  16. 如 f(x) = 的间断点是 x=2，x=-2

  17. 3、函数在区间上的连续性 f(x) 在一个区间上每一点都连续，则称 f(x)在区间上连续。 如前例2， 在 x0 = 1不连续，但在区间(1，+ ∞ )和 ( -∞ ，1)上是连续的。

  18. 4、初等函数的连续性 连续函数经过四则运算仍为连续函数 （连续函数的四则运算法则）。 由此可推出如下常用结论：

  19. 1）多项式函数 在R连续。 2）分式函数除分母为零的点外，其他点都连续。 3）初等函数在其定义域内都是连续函数。 特别是结论（3）应熟记，该结论实际上给 出了一个结论： 初等函数的连续区间就是它的定义域 。

  20. 如y= 是初等函数， 则其连续区间为其定义域 （-∞，-2）、（-2，2）、（2，+∞）

  21. 例求f(x)= x-2 1 ≤ x ≤ 3 3 ≤ x ≤ 4的连续区间. 解：x-2 在(-∞，+ ∞)上是初等函数，是连续 的，所以[1，3]上连续的； 除 x = -1外(-∞，+ ∞)上都是连续的， 所以在[3，4]上是连续的；

  22. 而在分段点x=3有 lim f(x)= lim (x-2) =1 lim f(x)=lim = - 故在x=3处不连续， 所以，其连续区间为（1，3），（3，4）。

  23. 小结 无穷小 无穷小的阶的比较 　　　　 limf(x)=0 无穷小　　　 无穷大　 极限(limf(x)=A） 无穷小是一个变量 　　　　 求极限的方法（☆）（常用6种） 未定式 ( )　　　 连续　　间断点 limf(x)= f(x0) 充要条件 　　　　　 重要结论：初等函数在定义域内连续 ※ ☆

  24. ☆:求极限常用的方法: (１)利用四则运算法则 (２)利用无穷小与无穷大的倒数关系 (３)利用两个重要极限 (４)利用极限存在的充要条件 (５)利用函数的连续性 （6）利用罗必达法则(学习导数后)

  25. ☆“”“”“0·∞”、“∞-∞”等，经变化得解。☆“”“”“0·∞”、“∞-∞”等，经变化得解。 ※如lim =1 在x=0间断，但极限存在

  26. 思考： 设 f(x) = 求 （1）lim f(x) (2) lim f(x) (3) lim f(x) (4) lim f(x)

  27. 参考作业：

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