Plan de l'exposé

1. Diagnostic robuste et contrôle tolérant aux fautes pour systèmes singuliers -approche par factorisation copremière-B. Marx, D. Koenig & D. GeorgesLaboratoire d’Automatique de GrenobleUMR CNRS-UJF-INPGB.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France 12 fevrier 2004

2. Introduction aux systèmes singuliers Factorisation copremière de systèmes singuliers Diagnostic robuste de défauts Commande tolérante aux défauts Conclusion Introduction Plan de l'exposé Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

3. Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des • relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.) • relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.) • On a donc un modèle du type : • après linéarisation, le modèle devient : • avec • on peut supposer Introduction Définition des Systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

4. pour P et Q non singulières on a : • Forme équivalente standard : sous-syst. usuel sous -syst. non propre • Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières : dynamique statique Introduction Formes équivalentes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

5. Réponse temporelle sous-syst. usuel sous syst. non propre Introduction Réponse temporelle Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données det(sE-A) 0 • système non impulsif •  admet une représentation usuelle •  a une fonction de transfert propre • N=0, dans la forme équivalente standard • A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E 12 fevrier 2004

6. signification physique des variables combinaison de relations dynamiques et statiques systèmes rectangulaires systèmes interconnectés systèmes impulsifs mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible Introduction Intérêts des systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

7.  K tel que les pôles finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés  L tel que les pôles finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés sous-syst. usuel commandable sous-syst. usuel observable     sous-syst. non propre commandable sous-syst. non propre observable (E,A,B)Imp- commandable (E,A,C)Imp- observable  K tel que (E,A+BK) soit non impulsif  L tel que (E,A+LC) soit non impulsif     (E,A,C) observable Introduction Commandabilité des syst. singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion (E,A,B) commandable 12 fevrier 2004

8. i2(t) i1(t) R v(t) C L décrit par la forme singulière de fonction de transfert (E,A,B) R-commandable et Imp-commandable (E,A,C) R-observable et Imp-observable x(t), avec retour d'état normalisant Éstimée de x(t), avec retour d'état observé État du système Introduction Exemple Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Circuit RLC parallèle : à t=1, on applique v=1 V Conclusion 12 fevrier 2004

9. Objectif : généraliser l'outil de factorisation copremière aux systèmes singuliers • Définition (fonctions de transfert copremières): • Deux fonctions de transfert matricielles M(s) et N(s) de RH sont dites copremières à droites (resp. à gauche) s'il existe deux fonctions de transfert matricielles Xr(s) et Yr(s) (resp. Xl(s) et Yl(s)) telles que Introduction Factorisation copremière Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

10. Introduction Factorisation copremière Syst. Sing. Factorisation Diagnostic • Définition (factorisation copremière): • Une fonction de transfert matricielle P(s) de RH admet une double factorisation copremière s'il existe une factorisation copremière à droite • et une factorisation copremière à gauche • où M(s), N(s), , , Xr(s), Yr(s), Xl(s) et Yl(s)de RH vérifient Commande Conclusion 12 fevrier 2004

11. Introduction Factorisation copremière de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic • Théorème: une fonction de transfert matricielle G(s)=C(sE-A)-1B+Dnon nécessairement propre admet une double factorisation copremière si G(s) est régulière, Imp-commandable et Imp-observable. On a alors • et • où L et F sont telles que (E,A+LC) et (E,A+BF) soient non-impulsifs Commande Conclusion 12 fevrier 2004

12. Introduction Factorisation copremière de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Intérets: • Les cofacteurs N(s), M(s), et sont propres, y compris pour G(s) non propre. • Les matrices L et F peuvent être déterminées par résolution LMI pour placer les pôles finis de (E,A+LC) et (E,A+BF) dans une région LMI donnée, caractérisée par les matrices = T et  et 12 fevrier 2004

13. Introduction Caractérisation du placement des pôles finis de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Théorème. Pour une région LMI D le système (E,A) a ses pôles finis dans D et est admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0 et S vérifiant la condition LMI suivante • EPET+APET+TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0 • avec V=Ker EetU=Ker ET, • et où 1ijdésigne la matrice(ij)de composantes égales à 1 12 fevrier 2004

14. Introduction Placement des pôles finis de systèmes singuliers Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Théorème. Pour une région LMI D il existe une matrice F telle que (E,A+BF) ait ses pôles finis dans D et soit admissible, si et seulement s'il existe P=PT>0, S, H et L vérifiant la condition LMI suivante • EPET+(APET+BHET )+T(EPAT+EHTBT)+... 1mm(AVSUT+BLUT+USTVTAT+ULTBT) < 0 • avec V=Ker EetU=Ker ET, • et où 1ijdésigne la matrice(ij)de composantes égales à 1 • F est donnée par • F=(HET+LUT)(PET+VSUT)-1 12 fevrier 2004

15. Introduction Diagnostic par factorisation copremière Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande • Système : Conclusion • Objectifs : •  génération de résidus par des filtres propres •  modeler la réponse fréquentielle aux défauts •  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations • Hypothèses : •  faisceau (E,A) régulier •  système (E,A,C) Imp-observable et détectable • Méthode : •  factorisation copremière du système •  formulation H des objectifs 12 fevrier 2004

16. Le système peut s'écrire : et se factoriser sous la forme : Génération de résiduspar factorisation : avec d(s) G(s) f(s) y(s) u(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) r(s) Introduction Génération de résidus Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion •  générateur de résidus propre (choix de L) 12 fevrier 2004

17. factorisation de G(s) (paramètre : L ) • filtrage : r(s)=Q(s)r(s) (paramètre : Q(s) deRH) Paramétrisation de tous les générateurs de résidus : Théorème. Sous la condition que (E,A+L0C) soit admissible, tous les générateurs de résidus sont paramétrés par Q(s) deRH avec d(s) G(s) f(s) y(s) u(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) r(s) Q(s) r(s) Introduction Génération de résidus Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Le résidu est obtenu en 2 étapes : Conclusion •  1 seul paramètre : Q(s) 12 fevrier 2004

18. 1.Modeler la réponse du résidu aux fautes. Wf(s) f Gf(s) • 2. Imposer un gabarit de robustesse face aux perturbations Gd(s) d z y + + - Wd(s) d d u Gu(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) + r Q(s) Introduction Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande • Principe : se ramener à un problème de contrôle standard H où • Q(s) est solution de Conclusion • Objectifs de synthèse du module de diagnostic 3. Module de diagnostic propre : Q(s)  RH 12 fevrier 2004

19. Q(s) est solution du problème de pousuite de modèle suivant : • Les fonctions de transfert Wf(s), Wd(s), et sont propres • Solution : • résoudre le problème H standard pour le système non singulier : • où w(s) z(s)  Q(s) r(s) r(s) Introduction Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion •  Solution à base de LMI (P. Gahinet & P. Apkarian, 1994) 12 fevrier 2004

20. Introduction Diagnostic par factorisation copremière. Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Algorithme de diagnostic robuste : • 1. factoriser la fonction de transfert matricielle Gu(s) •  déterminer L, tel que (E,A+LC) soit admissible (LMI) • 2. filtrer le pré-résidu r(s)=Q(s)r(s) •  fixer les fonctions de pondérations Wf(s) et Wd(s) •  déterminer Q(s) : contrôle-H pour système usuel(LMI) 12 fevrier 2004

21. Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • On considère le système défini par • avec • On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations : 12 fevrier 2004

22. Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Résultats obtenus : • Fautes (pointillés noirs) et résidus (traits rouge) • Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit (vert) 12 fevrier 2004

23. Introduction Commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande • Système : Conclusion • Objectifs : •  performances nominales •  tolérance aux fautes et aux perturbations •  mise en œuvre de filtres propres • Hypothèses : •  (E, A) régulier •  (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable •  (E, A,C) Imp-observable et détectable • Méthode : •  factorisation copremière •  formalisme H standard pour systèmes usuels 12 fevrier 2004

24. Lemme. (Takaba et al., 1994) Tous les correcteurs stabilisants de Gu(s) sont paramétrés par où Q(s) RH d f d f ref u y ref u y + G(s) + G(s) • Structure du correcteur proposé (Youla) • commande : ~ -Nu(s) ~ M(s) + Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + Xr-1(s) -Yr(s) • sortie en boucle fermée : réponse nominale écart dû aux signaux exogènes Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

25. Réponse nominale  retour d'état observé • L et F déterminés afin de placer les pôles •  résolution de LMI strictes d f d f ref u y ref u y + G(s) + G(s) • Tolérance aux fautes poursuite de modèle • Qc(s) déterminé par synthèse d'un correcteur H pour système non singulier •  résolution par LMI ~ -Nu(s) ~ M(s) + Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + Xr-1(s) -Yr(s) Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion 12 fevrier 2004

26. d f ref u y + G(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) + Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Algorithme de contrôle tolérant aux fautes • 1. Déterminer F et L, afin de satisfaire les objectifs de contrôle nominal. • 2. Déterminer Qc(s), afin de minimiser la déviation de sortie due à d(s) et f(s) • Intérêts de cette approche • 1.Séparer performances nominales // tolérance aux fautes • 2.Implémentation de filtres propres • 3.Eviter de masquer d(s) et f(s) par la commande. 12 fevrier 2004

27. Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • mais... • Commande tolérante à TOUS les signaux exogènes •  pessimisme • ...amélioration proposée • 1. Introduire un module de diagnostic Qd(s) •  localisation des défauts occurents • 2. Choisir en ligne un filtre de contrôle parmi un banc •  correcteur adapté au(x) défaut(s) survenu(s) 12 fevrier 2004

28. 1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal d d d d f f f f d f ref ref ref u u u u y y y y • 2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s) qui minimise + + + G(s) G(s) G(s) G(s) ref u y + G(s) ~ -Nu(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) ~ M(s) • 3 Déterminer nf filtres Qci(s) dédiés à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute", par minimisation de + + ~ -Nu(s) ~ M(s) r r + r Qc(s) Qd(s) Qd(s) Qc(s) Qd(s) r r r Xr-1(s) Xr-1(s) Xr-1(s) -Yr(s) -Yr(s) -Yr(s) Xr-1(s) -Yr(s) + + + • 4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion • Algorithme de contrôle tolérant aux fautes adaptatif. 12 fevrier 2004

29. Résidus fournis par le module de diagnostic • Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait). Introduction Application de la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande • On considère le système défini par • avec Conclusion 12 fevrier 2004

30. problème de contrôle standard H de systèmes usuels Solution à base de LMI (boîtes à outils Matlab ou Scilab) Implémentation simple (filtres propres) Introduction Conclusion Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande On a proposé une méthode pour traiter les problèmes de 1/ diagnostic robuste 2/ commande tolérante aux fautes Conclusion 12 fevrier 2004

31.  B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, Proc of the IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.  B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, Proc of the European Control Conference, Cambridge, UK,2003.  B. Marx, D. Koenig et D. Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003) Introduction Publications Syst. Sing. Factorisation Diagnostic Commande Conclusion diagnostic robuste placement de pôles contrôle tolérant aux fautes 12 fevrier 2004