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8.4 平面向量的拓展与应用

8.4 平面向量的拓展与应用. 1. 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题. 2. 理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养创新精神和应用能力. 许多代数、几何中的问题都可以转化为用向量来处理 . 它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点。. 用平面向量的方法证明平面几何命题. . 四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E 、 F ，. 求证：.

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8.4 平面向量的拓展与应用

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Presentation Transcript

  1. 8.4 平面向量的拓展与应用

  2. 1. 掌握向量的概念、坐标表示、运算性质，做到融会贯通，能应用向量的有关性质解决诸如平面几何、解析几何等的问题. 2. 理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养创新精神和应用能力. 许多代数、几何中的问题都可以转化为用向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点。

  3. 用平面向量的方法证明平面几何命题 . 四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F， 求证： 【证法一】 ∵E、F分别为DA、BC的中点. ∴ 又∵ =0 ① =0 ② ①+②，得2 =0 ∴2 ∴

  4. 【证法二】 连结EC，EB ∵ ① ② ①+②,得2 +0= ， ∴ 又∵ ③ ④ ③+④,得 又∵ =0， ∴.

  5. 向量公式 的应用 （1）解：设a与b的夹角为θ，则 |a+tb|2=（a+tb）2=|a|2+t2|b|2+2a·（tb）=|a|2+t2|b|2+2t|a||b|cosθ=|b|2（t+ cosθ2+|a|2sin2θ， 所以当t=－ cosθ=－ =－ 时，|a+tb|有最小值. 已知a、b是两个非零向量，当a+tb（t∈R）的模取最小值时， （1）求t的值； （2）求证：b⊥（a+tb）. 思路分析：利用|a+tb|2=（a+tb）2进行转换，可讨论有关|a+tb|的最小值问题，若能计算得b·（a+tb）=0，则证得了b⊥（a+tb）.

  6. （2）证明：因为b·（a+tb）=b·（a－ ·b）=a·b－a·b=0，所以b⊥（a⊥tb）. 点评与感悟：1.用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便. 2.对|a+tb|的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a+tb|2=（a+tb）2进行向量的数量积运算；二是设a、b的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题

  7. 平面向量在解析几何中的应用 如图，四边形MNPQ是⊙C的内接梯形，C是圆心，C在MN 上， 向量 与 的夹角为120°，· =2. （1）求⊙C的方程； （2）求以M、N为焦点且过点P、Q的椭圆的方程.

  8. 解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°.解：（1）以MN所在直线为x轴，C为原点，建立直角坐标系xOy.∵与的夹角为120°，故∠QCM=60°.于是△QCM为正三角形，∠CQM=60°. 又 · =2，即| || |cos∠CQM=2，于是r=| |=2. 故⊙C的方程为x2+y2=4. （2）依题意2c=4，2a=|QN|+|QM|， 而|QN|= =2 ，|QM|=2， 于是a= +1，b2=a2－c2=2 . ∴所求椭圆的方程为 + =1. 思路分析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C为原点，MN所在直线为x轴，求⊙C的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a、b即可. 点评与感悟：平面向量在解析几何中的应用越来越广，复习时应 引起重视.

  9. 平面向量在三角函数中的应用 已知△顶点的直角坐标分别为. （1）若c=5，求sin∠A的值;（2）若∠A是钝角，求c的取值范围. 解：(1) , ， 当c=5时， ， 进而 (2)若A为钝角，则AB﹒AC= -3(c-3)+( -4)2<0 ， 解得c> 。 显然此时有AB和AC不共线，故当A为钝角时，c的取值范围为[ ，+ )。

  10. 反证法的应用 已知m、n、p、q∈R,求证：mp+nq≤ ·. 证明：设 =(m,n), =(p,q), ∵ ， ∴|mp+nq|≤ ·. 思路分析：本题若采用平方法，则需对mp+nq的符号进行讨论，然后再平方，若能把握其结构特点，联想到平面向量的数量积性质，则问题容易解决. 点评与感悟：正确熟练地应用向量的运算性质，同时要善于运用其他数学知识解题.

  11. 平面向量在物理学中的应用 ．一条河的两岸平行，河的宽度为 ，一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处，船的航行速度为 ，水流速度为 . (1)试求 的夹角(精确到1°),及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1min); (2)要使船到达对岸所用时间最少, 的夹角应为多少? B ┐ A

  12. 解(1)依题意,要使船到达对岸,就要使 的合速度的方向正好垂直于对岸,所以 , 的夹角 满足 , ,故 的夹角 ；船垂直到达对岸所用的时间. （2）设 的夹角为 （如图）， 在竖直方向上的分速度的和为 ，而船到达对岸时，在竖直方向上行驶的路程为 ，从而所用的时间为 ，显然，当 时，t最小，即船头 始终向着对岸时，所用的时间最少，为.t B ╮ A [点评与感悟] 理解物理意义，用向量的知识解决.

  13. 本 节 完

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