Valores pragmático y epistémico del método de eliminación de Gauss-Jordan en ambientes CAS

1. Quinta Jornada sobre el Uso de Sistemas de Cómputo Simbólico en la Enseñanza de las Matemáticas Valores pragmático y epistémico del métodode eliminación de Gauss-Jordan en ambientes CAS Ana Gpe. Del Castillo Bojórquez Universidad de Sonora

2. Introducción • Diseños didácticos recientes han hecho énfasis en el trabajo conceptual, asignando un lugar secundario al trabajo técnico. • La presencia de recursos tecnológicos cada vez más avanzados también ha hecho que se descalifiquen algunos acercamientos didácticos orientados a la adquisición de destrezas: • Se afirma que este trabajo técnico se debe dejar a los dispositivos tecnológicos, dejando la mente libre para el razonamiento conceptual.

3. Reflexiones • Posteriores observaciones de especialistas en Educación Matemáticalos llevaron a reflexionar sobre • larelación que existe entre el trabajo técnico y el conceptual • el papel del ambiente CAS en los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

4. Reflexiones • Algunos desarrollos teóricos recientes en Matemática Educativa, como el enfoque antropológico de Chevallard (1999) y la Teoría de las Funciones Semióticas de Díaz Godino (2002), han rescatado el valor de las técnicas, asignándoles un papel fundamental como parte del significado de los objetos matemáticos.

5. Marco Teórico Teoría de las Funciones Semióticas (Godino, 2002) • Elementos del Significado • Lenguaje (términos, expresiones, notaciones, gráficos). • Situaciones (problemas más o menos abiertos, aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas, ejercicios, etc.). • Acciones del sujeto ante las tareas matemáticas (operaciones, algoritmos, técnicas de cálculo, procedimientos). • Conceptos, dados mediante definiciones o descripciones. • Propiedades o atributos de los objetos mencionados, que suelen darse como enunciados o proposiciones. • Argumentaciones que se usan para validar y explicar las proposiciones.

6. La vida ordinaria de las técnicas en su relación con la conceptualización Resolviendo nuevos problemas Fase exploratoria: Trabajo artesanal Técnicas personales Selección, mejora, institutionalización de algunas técnicas Desarrollo de un discurso « teórico » Rutinización e inversión en situaciones más complejas Técnicas oficiales

7. Algunos puntos clave • Las técnicas tienen tanto valor pragmático como epistémico. • pragmático, porque nos permiten obtener resultados; • epistémico, en cuanto contribuyen a la construcción de nuevo conocimiento.

8. Algunos puntos clave • El balance entre estos dos valores depende de los objetivos de enseñanza, de hacia quienes se dirige y de los recursos didácticos disponibles. • Cuando se consideran recursos tecnológicos avanzados, es el valor epistémico de las técnicas lo que justifica su inclusión en el currículo matemático.

9. El avance tecnológico cambia el balance tradicional entre el trabajo técnico y el conceptual: • Reduciendo el costo del trabajo técnico, y por lo tanto las necesidades de rutinización, • Cambiando el valor pragmático y epistémico de las técnicas, Artigue (2002)

10. Eliminación de Gauss-Jordan: valor pragmático • Permite determinar sistemáticamente el conjunto solución de cualquier Sistema de Ecuaciones Lineales. • Cuando se trabaja con lápiz y papel, el valor pragmático es elevado aunque presenta serias dificultades si el tamaño del SEL es grande pues los errores en los cálculos pueden ser frecuentes y no se llega a la solución del SEL. • En ambientes CAS su valor pragmático como objeto de enseñanza disminuye pues una calculadora simbólica puede incluir varios comandos y piezas de software que nos permiten obtener de manera automática la solución de un SEL.

11. Eliminación de Gauss-Jordan: valor epistémico • Conceptos involucrados • Transformaciones elementales y Sistemas equivalentes • Matrices y representación matricial de un SEL. • Vectores renglón y vectores columna. • Operaciones elementales en los renglones y formas escalonadas reducidas por renglones. • Combinaciones lineales, espacios generados, subespacios, dependencia e independencia lineal, bases, inversibilidad, determinantes, rango, etc. • Variables básicas y libres.

12. Eliminación de Gauss-Jordan: valor epistémico • Propiedades y argumentaciones • Permite determinar algebraicamente que un SEL de mxn o no tiene solución, o tiene solución única, o tiene una infinidad de soluciones aun cuando la interpretación geométrica deja de tener sentido. • Un sistema homogéneo con más variables que ecuaciones tiene una infinidad de soluciones.

13. Valor epistémico (Cont.) • Cuando se trabaja con lápiz y papel, el valor epistémico es elevado aunque presenta serias dificultades si el tamaño del SEL es grande pues los errores en los cálculos pueden ser frecuentes y no se logra el objetivo deseado. • En ambientes CAS, existe una instrucción, rref, que nos lleva directamente a la forma escalonada reducida de una matriz, por lo que el valor epistémico de esta técnica instrumentada puede verse muy disminuido precisamente por la forma tan inmediata como se presentan los resultados.

15. Ambientes CAS • Los sistemas de cómputo simbólico cuentan con una serie de comandos que pretenden rescatar el valor epistémico de las operaciones elementales en los renglones de una matriz • En particular, la calculadora simbólica Voyage 200 de TI cuenta con los siguientes comandos • rowSwap, para intercambio de renglones • mRow, para multiplicar un renglón por un número • mRowAdd, para sumar a un renglón el múltiplo de otro

16. Operaciones elementales en los renglones de una matriz

17. Algunas dificultades específicas… • El manejo de los comandos resultó ser complicado para un buen número de alumnos. • Cuando se aplicaba una operación elemental que no arrojaba el resultado esperado, los estudiantes estaban lejos de pensar en la operación inversa, y recuperar la matriz anterior a esa operación exige un buen manejo de la aplicación HOME de la calculadora. • El obtener la forma escalonada reducida de la matriz era el fin y no el medio para resolver un SEL.

18. El programa gaussjor() para la calculadora Voyage 200 de TI. • Se pretende crear un ambiente amigable en el que, de manera interactiva, el estudiante pueda llevar una matriz a su forma escalonada reducida por renglones. Sin embargo, el programa también puede ilustrar la manera de hacerlo, para aquellos estudiantes que tengan dificultades y necesiten apoyo especial en su tarea. El programa también muestra la forma escalonada reducida en un solo paso, si así se prefiere.