1 / 71

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КРУГОВОЙ ПЛАСТИНКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ S- СПЛАЙНОВ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КРУГОВОЙ ПЛАСТИНКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ S- СПЛАЙНОВ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИСТОРИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЕ S -СПЛАЙНОВ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

azuka
Download Presentation

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КРУГОВОЙ ПЛАСТИНКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ S- СПЛАЙНОВ

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗГИБА КРУГОВОЙ ПЛАСТИНКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ S-СПЛАЙНОВ ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ИСТОРИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ПРИМЕНЕНИЕ S-СПЛАЙНОВ РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ФЕДОСОВА А.Н., СИЛАЕВ Д.А.

  2. Цели и задачи апробация нового подхода к решению задач теории упругости; в основу заложено применение недавно разработанных S-сплайнов высоких степеней класса С4; в данной работе речь пойдет о S-сплайнах седьмой степени, которые сохраняют четыре производные и при этом остаются устойчивыми; обеспечение более высокой точности получаемого численного решения.

  3. Выбор объекта применения метода • для демонстрации преимуществ такого подхода выбрана одна из классических моделей теории упругости – модель изгиба круговой пластины под действием внешней нагрузки.

  4. ИСТОРИЯ РАССМАТРИВАЕМОЙ МОДЕЛИ • Впервые задачу об изучении колебаний пластинки Бернулли поставил в письме к Эйлеру • в октябре 1735 [1]. • Но лишь в 1772, Эйлер получает уравнение 4-го порядка [Nov.Comm.Ac.Petr, 1772(1773)]: • . книга Хладни, 1802 [2];

  5. Конкурс Академии Наук, 1809 [3];Октябрь 1811,единственный претендент – Софи Жермен [3].Уравнение Софи Жермен-Лагранжа [3]: U-прогиб пластинки,D-жесткость пластинки при изгибе,q-интенсивность поперечной нагрузки

  6. Кирхгоф – основатель классической теории изгиба пластин, 1850 [5]ГипотезыКирхгофа [4]:о прямых нормаляхо недеформируемости срединной плоскости. несмотря на наличие большого числа новых уточнений, применяют методы, основанные на гипотезах Кирхгофа [4] математические методы [4] : Болотин, Власов, Ильюшин, Колосов, Мусхелишвили, Пшеничников, Релей, Филиппов и многие другие .

  7. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ • Прогиб срединной плоскости тонкой идеально упругой пластинки не зависит от z [6]: • w-прогиб пластинки, • D-жесткость пластинки при изгибе, • q-интенсивность поперечной нагрузки.

  8. краевые условия (5) . • КРАТКИЙ ОБЗОР ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ • Аналитическое представление - формулы Колосова-Мусхелишвили [7,8,9]; • Численные методы

  9. Приближенные методы[33] • - базисные функции; • - неизвестные коэффициенты. Трудоемкость растет с ростом числабазисных функций [6]

  10. ПРИМЕНЕНИЕ S-СПЛАЙНОВВ данной работе будем применять классический метод Бубнова-Галеркина [10,11,12]Cплайн [13]- кусочно-полиномиальная функция, склеенная с определенной степенью гладкости из кусков алгебраических многочленовS-сплайн [14,15,16]– сплайн , первые коэффициенты которого определяются условиями гладкой склейки, а все остальные – методом наименьших квадратов

  11. Что такое S-сплайн класса Сp? Рассмотрим на отрезке равномерную сетку: Рассмотрим также укрупненную сетку: h H R Пусть Обозначим - множество полиномов c фиксированными коэффициентами

  12. Определение S-сплайна В классе ищется такой полином , который минимизирует функционал 1. Метод наименьших квадратов 2. Стартовые условия 3. Условия гладкой склейки и удовлетворяет следующим условиям: , …, . ,…, Определение 1: S-сплайном назовем функцию S(x), которая совпадает с на отрезке ,…, Определение 2: Периодическим S-сплайном называется S-сплайн, являющийся периодической функцией на отрезке [а,b]. Заметим, что здесь стартовые условия заменены условиями гладкой склейки при l=0 (-1=L-1).

  13. В случае если функция задана таблицей, • можно пользоваться формулами где - интерполяционный полином, построенный по значениям • можно считать, что функция задана неточно ,

  14. Система уравнений определения коэффициентов Запишем систему в матричной форме. Пусть и Уравнения двух видов: а) склейки и б) для определения коэффициентов при старших степенях полиномов Прямоугольные матрицы и и квадратные матрицы и и

  15. Теоремы существования и единственности периодическогоS-сплайна Т е о р е м а 1. Пусть числа m,M, p, n таковы, что det не равен 0 и собственные числа матрицы устойчивости U не равны корню степени L из единицы (здесь L –число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции , заданной на отрезке своими значениями в точках , существует и единственен периодический сплайн . Д о к а з а т е л ь с т в о. Из формул а) и б) следует, что . и Отсюда Затем последовательно находим

  16. Устойчивость и теорема о сходимости Пусть Т е о р е м а 2. Пусть числа m, M, n, p таковы, что и собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн класса с узлами на равномерной сетке имеет дефект и для справедливы следующие оценки: Аналогичные теоремы имеют место и для непериодического случая.Для малых m, M, n, pЮ.К.Кочневым вычислены собственные числа матрицы U.

  17. Собственные числа матрицы U n p M m m/M n p M m m/M

  18. Фундаментальные S-сплайны Фундаментальный S-сплайн – это S-сплайн построенный по начальным данным Линейная комбинация представляет из себя S-сплайн аппроксимацию выборки

  19. Фундаментальный сплайнс номером 6

  20. ОДНОМЕРНЫЕ СПЛАЙНЫ. Периодические сплайны. Система периодических сплайнов, n=7, М=7, m=2, отличие - условие периодичности:

  21. Под i-м одномерным фундаментальным S-сплайном будем понимать S-сплайн, построенный по данным: Для обеспечения гладкости в нулевой точке система непериодических фундаментальных S-сплайнов дополняется четырьмя S-сплайнами, построенным по начальным условиям (значения функции во всех точках принимается равным нулю) .

  22. ПРИМЕНЕНИЕ S-СПЛАЙНОВ вводим на круге равномерную сетку по z=1…Z; k=0…K+1; Разбиение круга

  23. Mетод Бубнова-Галеркина Будем искать приближенное решение задачи в виде : - одномерные фундаментальные периодические S-сплайны седьмой степени по класса ; - одномерные фундаментальные непериодические S-сплайны седьмой степени по класса Поскольку решается уравнение 4-го порядка, применяются в разложении по базису сплайны 4-го порядка гладкости (классическое решение). Заметим, что для определения нагрузок это решение следует дважды численно дифференцировать.

  24. Бигармонический оператор в полярных координатах Системадля определения неизвестных .

  25. Из граничных условий 2*Z уравнений. Всего Z*(K+6) неизвестных и Z*(K+6) уравнений Интеграл разбивается на 8 слагаемых: Рассмотрим первый интеграл, остальные аналогично Аппроксимация и устойчивость метода Галеркина определяются выбором базисных функций, значит, получаем устойчивую схему восьмого порядка аппроксимации.

  26. ОЦЕНКА СХОДИМОСТИ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА для решения задачи методом Бубнова-Галеркина получена теоретическая оценка [37]:

  27. РЕАЛИЗАЦИЯ ЧИСЛЕННОГО МЕТОДА Алгоритм построения сплайнов и решение задачи методом Бубнова-Галеркина реализован в среде MATLAB-2007 программа занимает примерно 20 страниц текста время проведения расчета на типичной сетке (4*24) занимает примерно 20 минут

  28. §6. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #1 Тестовая задача #1:

  29. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫТестовая задача #1

  30. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #1 Рис5. Приближенное решение задачи #1при h=0,5236

  31. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #1 Рис6. Приближенное решение задачи #1при h=1,0472

  32. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #2 Тестовая задача #2:

  33. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #2

  34. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫТестовая задача #2 Рис7. Приближенное решение задачи #2 при h=0,5236

  35. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Тестовая задача #2 Рис8. Приближенное решение задачи #2 при h=0,2618

  36. §5. РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ Заключение Результаты полностью подтвердили изначальные предположения: небольшое число узлов сетки (2*12) позволяет получить близкое к точному решение (0,1%); высокая эффективность данного метода; изящное решение, вычисление значений которого в каждой точке требует знания лишь двух арифметических операций;

  37. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М: Государственное изд-во физико-математической литературы, 1960 Chladni E.F.F. Die Akustik. Leipzig, 1802 Тимошенко С.П. История сопротивления материалов с краткими сведениями из теории упругости и теории сооружений.- М: «Гостехиздат», 1957 Егорычев О.О. Колебания плоских элементов конструкций./Монография-М.: Изд-во ассоциации строительных ВУЗов, 2005 Kirchhoff G.R. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung einer elastischen Scheibe//Crelle Journal fur die reine und angewandte Mathematik.- 1850.-Bd 40.

  38. 6. Самуль В.И. Основы теории упругости и пластичности.- М: «Высшая школа», 1982 7. Колосов Г.В., Мусхелишвили Н.И. О равновесии круглых упругих дисков под влиянием напряжений, приложенных в точках их обвода и действующих в их плоскости.//М: ПГ. Тип, 1915 8. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М: «Наука», 1966 9. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. - М: «Наука», 1968, с. 390-391 10. Красносельский М.А. и др. Приближенные решения операторных уравнений. //М:- Наука, 1969 11. Марчук Г.И., Агашков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. – М: «Наука», 1987 12. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. // М.- Мир, 1988 13. Корнейчук Н.П., Бабенко В.Ф., Лигун А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. – Киев: «Наукова Думка», 1992

  39. 14. Силаев Д.А. Полулокальный сглаживающий сплайн класса. // Тезисы международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», г. Дубна, 2010,НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика, г. Ижевск, с. 39» 15.Силаев Д.А. , Ингтем Ж.Г. Полулокальные сглаживающие сплайны седьмой степени. Вестник ЮУрГУ, № 35(211),2010, с. 104-112 16. Силаев Д.А. Полулокальные сглаживающие сплайны и их применения. // Динамика деформируемых сред (памяти академика Е.И.Шемякина) http://math.vsu.su/department/volnogaz/contents1.htm, с. 336-343

  40. Определение S-сплайна В классе ищется такой полином , который минимизирует функционал 1. Метод наименьших квадратов 2. Стартовые условия 3. Условия гладкой склейки и удовлетворяет следующим условиям: . Определение 1: S-сплайном назовем функцию S(x), которая совпадает с на отрезке Определение 2: Периодическим S-сплайном называется S-сплайн, являющийся периодической функцией на отрезке [а,b]. Заметим, что здесь стартовые условия заменены условиями гладкой склейки при l=0 (-1=L-1).

  41. В случае если функция задана таблицей, • можно пользоваться формулами 0. • можно считать, что функция задана неточно ,

  42. ВЫВОД УРАВНЕНИЙ Продифференцируем по и приравняем к нулю:  Обозначения , = Замена а) уравнения склейки б) уравнения для определения коэффициентов при старших степенях полиномов

  43. Система уравнений определения коэффициентов Запишем систему в матричной форме. Обозначим , Пусть, кроме того, Тогда =

  44. Для непериодического S-сплайна первая строка заменяется на стартовые условия(E 0 ….0)X0 = Y0, Y0 = . Определитель матрицы А2 имееттри положительных корня . Поэтому при М>2существует A2-1.Система расщепляется где =

  45. Теоремы существования и единственности периодическогоS-сплайна Т е о р е м а 1. Пусть числа m и M>2 таковы, что собственные числа матрицы U не равны корню степени из единицы (здесь L –число полиномов, составляющих сплайн). Тогда для любой периодической функции , заданной на отрезке своими значениями в точках , существует и единственен периодический сплайн . Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему (13). Умножим 1-ю строку системы на матрицу U и сложим со 2-й строкой, полученную 2-ю строку умножим на матрицу U и сложим с 3-й и т.д. Поменяем знаки. Тогда . =

  46. Устойчивость и теорема о сходимости Обозначим /2 rl= Имеет место следующее рекуррентное соотношение ,где zl=(pl,ql,rl), wl=O(h6) для любой гладкой фукции Т е о р е м а 2. Пусть периодическая функция из С6 и пусть выполнены предположения .Пусть, кроме того, собственные числа матрицы U по модулю меньше единицы. Тогда периодический сплайн с узлами на равномерной сетке имеет дефект 3 и для справедливы следующие оценки

  47. Элементыматрицы U будут иметь вид =

  48. Для случая малых значений М в результате расчета были получены значения собственных чисел матрицы U Собственные числа матрицы U

  49. Условие устойчивости S-сплайнов • Корни уравнения • -6.11, -3.69-5.25*i, -3.69+5.25*i . Здесь , и • Отсюда получаем, что при достаточно малых m и больших M , по модулю меньше единицы. Тем самым доказана следующая теорема. • Т е о р е м а 3. Пусть . Тогда при достаточно малых m и больших M собственные числа матрицы устойчивости по модулю меньше единицы. • Это условие устойчивости S-сплайнов аналогично условию устойчивости для кубического случая.

  50. Фундаментальные S-сплайны Фундаментальный S-сплайн – это S-сплайн построенный по начальным данным Линейная комбинация представляет из себя S-сплайн аппроксимацию выборки

More Related