第十三章 推理与证明 几何证明

1. 第十三章 推理与证明 几何证明 知识框架 考试要求 §13.1 合情推理与演绎推理 §13.2 直接证明与间接证明 §13.3 数学归纳法 §13.4 相似三角的判定及有关性质(选考) §13.5 直线与圆的位置关系(选考) §13.6 圆锥曲线性质的探讨(选考)

2. 知识框架 推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 间接证明 数学归纳法 归纳类比 综合法 分析法 反证法

3. 知识框架 平行线等分线段定理 平行线分线段成比例 推论 引理 判定定理3 相似三角形的概念 预备定理 判定定理2 勾股 定理 直角三角形相似判定定理 判定定理1 射影定理

4. 返回章菜单 知识框架 推论1 四点公圆判定定理 圆周角定理 圆内接四边形性质定理 弦切角的性质定理 推论2 圆的切线的判定定理 切线定义 圆的切线的性质定理 相交弦定理 相似三角形 割线定理 切线长定理 切割线定理

5. 返回章菜单 考试要求 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理；掌握、演绎推理的基本模式，并能运用它们进行简单推理. 2.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法. 3.了解间接证明的基本方法——反证法；能用数学归纳法原理证明一些简单的数学命题. 4.复习相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理；平行投影的含义；通过圆柱与平面的位置关系，体会平行投影. 5.证明：直角三角形射影定理；圆周角定理；圆的切线的判定定理及性质定理；切割线定理；相交弦定理；圆内接四边形的性质及判定定理；平面与圆柱面的截线是椭圆定理.

6. 例题剖析 知识要点 §13.1 合情推理与演绎推理

7. 返回节菜单 知识要点 课标明确规定：数学思维能力包括“会用归纳、演绎和类比推理” 1.归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理. 2.类比推理：两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 3.合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 4.演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理. 归纳——从特殊到一般，结论是似真的； 演绎——从一般到特殊，结论是必然的； 类比——从特殊到特殊，结论是似真的.

8. 例题剖析 [例1] 平面几何中，①在Rt△ABC中，斜边是AB，则CB=ABcosB； ②在正三角形中，有外接圆半径等于内切圆半径的2倍. 用类比的方法写出立体几何中相似的命题. [解析]①如图在三棱锥D-ABC中，DA⊥面ABC，若二面角A-BC-D的大小为α，则S△ABC=S△DBC·cosα； ②正四面体的外接球半径等于内切球半径的3倍.

9. 例题剖析 [点评]在平面中，边数最少的多边形是三角形. 在空间，面数最少的多面体是四面体. 故三角形与四面体可作一些类比.

10. [解析] 设O是四面体ABCD内任意一点，连结AO,BO,CO,DO并延长交对面于 A′,B′,C′,D′.则 延伸拓展1 已知O是△ABC内任意一点，连结AO,BO, CO并延长交对边于A′,B′,C′.则 . 运用类比猜想，对空 间四面体V-BCD,存在什么类似的结论，并证明.

11. 延伸拓展1 证明：过O，A分别作底面BCD的高，设为h,h′.

12. [例2]证明函数y= 在［0,+∞）上是减函数. [分析] 证明本题所依据的大前提是减函数的定义，小前提是y= 在x∈［0，+∞）满足减函数的定义. 例题剖析 [证明]任取x1,x2∈［0，+∞)，且x1＜x2 f(x1)-f(x2)

13. 例题剖析 [点评]“三段论”是演绎推理的一般模式，数学的证明主要通过演绎推理来进行.

14. [解析](1)由函数y=x+ 的性质,已知y=x+ 在(0， ］ 延伸拓展2 已知y=x+ 有如下性质：常数a＞0，那么该函数在［0， ］ 上是减函数， 在［ ,+∞）上是增函数. (1)如果y=x+ 在［0,4］上是减函数，在［4,+∞）上是增函 数，求实常数b的值； (2)设常数c∈［1,4］，求函数f(x)=x+ ，x∈［1,2］的最大 值和最小值. 分析：本题设计新颖，层层递进，是演绎推理的典型应用.

15. 延伸拓展2 上是减函数,在［ ,+∞）上是增函数.

16. 延伸拓展2

17. 例题剖析 [例3]将正三角形的每一边三等分，以每一条边上居中的一线段为边向外作正三角形得到六个正三角形，重复上述作法，一直继续下去，设原正三角形的周长为a0，依次所得的周长所成的数列记为{an}，判断{an}是何种数列，并求通项公式an.

18. 例题剖析 [分析]可以比较序号相邻的两个曲线的正三角形边长的变化来找出{an}相邻两项的数量关系. [解析]设前一个曲线所含正三角形的边长为l，则有后一个曲线中其长度变为 [点评]注重归纳方法，体现新课标所倡导的教学活动方法：观察、实验、猜测、验证、推理.

19. [解析]（1）排列54321的逆序有54，53，52，51，43，42，41，32，31，21，[解析]（1）排列54321的逆序有54，53，52，51，43，42，41，32，31，21， ∴a4=10 同理a5=15 an=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1= 例题剖析 [例4] 在m(m≥2)个不同数的排列P1，P2…Pm中，若1≤i<j≤m时，Pi>Pj，则称Pi与Pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数，记排列(n+1)n(n-1)……321的逆序数为an，如排列21的逆序数a1=1 （1）求a4,a5并写出an的表达式； （2）令bn= ,证明：2n<b1+b2+…+bn<2n+3

20. 例题剖析 [点评]归纳、类比都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较，然后提出猜想的推理，此为合情推理，上题求an时即用此法.

21. 例题剖析 [例5]任给7个实数，求证：其中至少存在两个实数x、y，满足 [分析]从 [证明]

22. 返回章菜单 返回节菜单 例题剖析 [证明]类比可引发联想，帮助作出猜测，得到解题新思路.

23. 例题剖析 知识要点 §13.2 直接证明与间接证明

24. 返回节菜单 知识要点 直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法，直接证明的两个基本方法：分析法、综合法，其中分析法是“执果索因”，综合法是“由因导果”.间接证明的一种基本方法是反证法，反证法的关键是在正确的推理下，得出矛盾，这个矛盾可以是与已知矛盾、或与假设矛盾、或与定义、定理、公理、事实矛盾. 1.综合法：利用己知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要论证明的结论成立，这种证明方法叫综合法. 2.分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.这种证明方法叫分析法. 3.反证法：假设原命题不成立 （即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫反证法.

25. [证明]假设 不是无理数，那么它就是有理数，于是存在 互质的正整数m,n，使 = ，从而有m2=2n2. ∴m为偶数，于是可设m=2k(k是正整数) 从而有4k2=2n2 ∴n2=2k2.即n也是偶数. 这与m,n互质矛盾！由上述矛盾可知假设错误，从而 是无理数. 例题剖析 [例1] 求证： 是无理数 [分析] 直接证明一个数是无理数比较困难，采用反证法. [点评]当从正面证明较难时，可从否定结论出发，经逻辑推理导出矛盾，证明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，即采用反证法.

26. 延伸拓展1 1.若a、b、c均为实数，且 [解析]证明：假设a、b、c都不大于0，即a≤0,b≤0.c≤0，则a+b+c≤0. 而a+b+c=x2+y2+z2-2x-2y-2z+π =(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3. 由π-3＞0且(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≥0. ∴a+b+c＞0与a+b+c≤0矛盾 ∴a、b、c中至少有一个大于0.

27. 例题剖析 [例2]如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AB、BC的中点，求证：面B1EF⊥面BD1 [证明]要证面B1EF⊥面BD1 只须证：EF⊥面BD1 即须证：EF⊥BDEF⊥BB1连结AC 由E、F是AB、BC的中点，知EF∥AC 正四棱柱AC1中，有BB1⊥底面，且AC⊥BD 即有EF⊥BD，EF⊥BB1成立， 从而有面B1EF⊥面BD1. [点评]分析法的思维是逆向思维，它能增大思维的发散量来寻找解题的途径.

28. [解析]只需证： 延伸拓展2 已知a、b、c∈R+.且a+b+c=1，求证： 证明：(分析法)要证

29. [证明](1)对 x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1<x2,f(x)=ax+ 例题剖析 [例3]已知函数f(x)=ax+ (a>1) (1)证明：函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.

30. 例题剖析 [点评]题中运用了综合法与反证法，较综合的题目通常采用不同的证明方法.

31. 例题剖析 [例4]如图已知锐角三角形ABC中， sin(A+B)=, sin(A-B)=. (1)求证：tanA=2tanB; (2)设AB=3，求AB边上的高.(04全国) [解析] ①

32. 例题剖析 ② ③ ④

33. 例题剖析

34. 例题剖析 [点评]从题设出发，不断用必要条件替换前面的结论，直至推出要证的结论.这就是“由因导果”的综合法.

35. 例题剖析 [例5] [证明]

36. 返回章菜单 返回节菜单 例题剖析 [点评]题中运用了分析法与综合法，从已知出发，证出a+b＞1，即采用综合法“由因导果”，再从结论出发，导出了a+b＜ ，即采用了分析法的“执果索因”，这是两种不同的思维，较综合的题目通常采用.

37. 例题剖析 知识要点 §13.3 数学归纳法

38. 返回节菜单 知识要点 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基），证明当n取第一个值n0时，（n0是使命题成立的最小正整数），命题成立. （2）（归纳递推）：假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立；证明当n=k+1时，命题也正立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这就是归纳法.证明时两步缺一不可.

39. 例题剖析 [例1]用数学归纳法证明 [证明]

40. 例题剖析 [点评] 有关自然数的命题，可用数学归纳法，证明时递推证明是整题的关键，归纳假设必用.

41. 例题剖析 [例2]若a,b R+ [证明]

42. 例题剖析

43. 例题剖析 [点评]用数学归纳法证明不等式，在递推证明时，常采用放缩法.

44. 例题剖析 [例3] 证明： [证明]

45. 例题剖析

46. 例题剖析 [点评]数学归纳法是证明有关自然数n的命题的一种方法，在高考中常常作为综合题的证明手段，既要求善于归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此形成“观察、归纳、猜想、证明”的思维模式.

47. 例题剖析 [例4] [解析]

48. 例题剖析 [点评]归纳有两种，其中一种是不完全归纳，它有助于发现真理，不完全归纳法是或然推理，所获得的结论需作严格证明，否则不能作为真理.

49. 例题剖析 [例5]已知f (x)=x2+x-1.α-β是方程f (x)=0的两根(α-β),f ′(x)是 f (x)的导数，设a1=1,an+1=an- (n=1,2,…). (1)求α、β的值； (2)证明对任意的正整数n,都有an＞α. [解析]

50. 返回章菜单 返回节菜单 例题剖析