Optimização

1. Optimização Os problemas de optimização têm como objetivo maximizar ou minimizar uma função definida sobre um certo domínio • Optimizar (max ou min) função – função objectivo • sujeita a um conjunto de restrições Região admissível R é o conjunto de pontos que satisfazem as restrições Solução admissível é qualquer ponto de R Solução óptima é um ponto de R a que corresponde o maior (menor) valor da função objectivo Exemplos: alinhamento de sequências, squenciação, epesquisa de motivos,...

2. Ex: TSP 12 12 8 4 3 6 7 1 5 2 11 11 10 10 3 6 9 12 7 9 Algoritmos heurísticos HEURÍSTICA DE MELHORAMENTO - parte de uma solução admissível e procura melhorá-la através de sucessivas pequenas alterações

3. 12 12 8 7 1 2 4 3 5 6 3 7 6 2 4 1 5 11 11 10 10 6 9 12 7 9 Heurística de melhoramento local (TSP) 1-3-2-4-5-6-7 Distância =68 12 3 12 8 11 11 10 10 3 6 9 12 Trocar 2-3 7 9 1-2-3-4-5-6-7 Distância =69

4. 1 2 4 3 5 6 7 Heurística de melhoramento local (TSP) Iteração 1 1-2-3-4-5-6-7-1 Distância =69 Troca 2-3 12 1-3-2-4-5-6-7-1 Distância =68 Troca 3-4 12 8 1-2-4-3-5-6-7-1 Distância =65 Troca 4-5 11 11 10 10 3 1-2-3-5-4-6-7-1 Distância =65 Troca 5-6 6 9 12 7 1-2-3-4-6-5-7-1 Distância =66 9

5. Heurística de melhoramento local (TSP) Iteração 2 1-2-4-3-5-6-7-1 Distância =65 Apenas a troca 3-5-6 leva a um melhoramento no valor da solução 1-2-4-6-5-3-7-1 Distância =64 Mais nenhuma troca leva a melhoramentos

6. 1 6 7 5 4 7 6 3 3 4 2 1 2 5 Heurística de melhoramento local (TSP) Solução óptima 1-2-4-6-7-5-3-1 Distância =63 12 12 8 11 11 12 10 10 3 12 8 6 9 12 11 7 11 10 10 3 9 6 9 12 7 Solução da heurística 1-2-4-6-5-3-7-1 Distância =64 9

7. Metaheuristicas Metaheurística – método heurístico para resolver de forma genérica problemas de optimização. As metaheurísticas fornecem uma estrutura e uma estratégia para desenvolver algoritmos heurísticos para problemas específicos Desvantagens heurística de melhoramento local – pára num óptimo local Considerar várias soluções iniciais, escolhidas aleatoriamente Metaheurística – combina melhoramento local com estratégias que permitam escapar aos óptimos locais

8. Metaheuristicas Pesquisa Tabu - Pesquisa “inteligente”, que pretende imitar o comportamento humano e aplicar algumas regras de aprendizagem. Algumas alternativas de pesquisa podem ser excluídas – lista tabu. Uso de memória – o passado, recente ou mais afastado, vai influir determinantemente no processo de pesquisa, guiando-a em função das soluções já visitadas. Simulated Annealing (arrefecimento simulado) técnica de busca local probabilística, com analogia na termodinâmica Algoritmo genético - faz uma analogia entre o processo de encontrar soluções óptimas ou de boa qualidade para problemas complexos e a teoria da evolução das espécies baseada no princípio da sobrevivência dos indivíduos mais aptos de uma população.

9. Algoritmos genéticos “As espécies evoluem pelo principio da seleção natural e sobrevivência do mais apto.” Charles Darwin” Holland (1975)* Imitar algumas etapas da selecção natural incorporando-as num algoritmo computacional. Uma criança herda alguns dos cromossomas de cada um dos progenitores Herança de “boas” características  maior probabilidade de sobrevivência Maior probabilidade de sobrevivência  “boas” características transmitidas aos descendentes Mutações (ocorrem ocasionalmente)  alteração característica de um cromossoma Mutação traz vantagem  maior probabilidade de sobrevivência A população tende a melhorar ao longo do tempo

10. Algoritmos genéticos População de indivíduos de uma geração Processo de selecção de indivíduos para reprodução, baseado na sua aptidão Cruzamento dos pares de indivíduos seleccionados, mais algumas transformações... População da geração seguinte. Este processo repete-se por um número especificado de gerações.

11. Algoritmos genéticos Os indivíduos são representados por cromossomas; Seleccionam-se os mais aptos para darem origem à geração seguinte (selecçãopara reprodução) Os indivíduos seleccionados passam por uma série de transformações. (cruzamento e mutação) Selecção, cruzamento e mutaçãooperadores genéticos.

12. Algoritmos genéticos Indivíduo solução do problema Aptidão do indivíduo função de avaliação da solução População conjunto de soluções iteração do algoritmo Geração

13. Algoritmos genéticos Codificação das soluções (cromossomas); Criação de uma população inicial; Função de avaliação das soluções em termos da sua aptidão (função objectivo); Utilizar operadores (genéticos) na construção de uma nova geração Selecção, Mutação, Cruzamento

14. Algoritmo Gerar a população inicial (cromossomas) Inicialização Avaliar a população (cromossomas) Enquanto critério de paragem não for satisfeito Seleccionar os indivíduos mais aptos (progenitores) Criar nova população (partindo dos cromossomas seleccionados e aplicando os operadores cruzamento e mutação) Iteração Avaliar a população Outputcromossoma mais apto na população actual Desvios relativamente à teoria da evolução: um adulto (solução) pode ser usado para reprodução em várias gerações.

15. Algoritmos genéticos Algumas questões: • Qual a melhor codificação para as soluções? • População inicial ( conjunto soluções) pode ser gerada aleatoriamente. • Qual a dimensão da população? • - Seleccionar alguns elementos da população para cruzamento. Quais? • Como fazer o cruzamento? • Reter, apenas, elementos da população que correspondem a soluções • admissíveis? reter apenas os mais aptos (?!) • Em cada iteração, como fazer a substituição da população? - Regra de paragem, qual?–nº de iterações, pré-fixado, sem melhoramento do valor da “melhor” solução

16. Representação das soluções Lista de elementos Exemplos : Listas de dígitos inteiros (6,8,2,3,...) Listas de dígitos reais (2.2, 4.6,...) Listas de regras (R1, R2,...) Para uma boa implementação de um AG é necessário uma boa representação das soluções do problema. Exemplo: Listas de dígitos binários (0,1,1,0,....) População inicial pode ser gerada aleatoriamente, atirando uma moeda ao ar tantas vezes quantas as necessárias, isto é, dimensão do cromossoma × dimensão da população

17. Função aptidão A aptidão de um cromossoma deve medir a qualidade da solução associada A função aptidão pode depender da função objectivo Em muitos casos a aptidão de um cromossoma é o valor da função objectivo da solução que ele codifica

18. Operadores genéticos Selecção A selecção dos progenitores é feita com base na aptidão, indivíduos mais aptos têm maior probabilidade de se reproduzirem Exemplo de selecção Roleta enviesada C 4 cromossomas designados por A,B C e D Para cada cromossoma existe uma secção na roleta proporcional à taxa de aptidão desse cromossoma face à aptidão total. A 25,2% 31,9% D 6,6 37,3% Os indivíduos seleccionados são sujeitos ao operador cruzamento

19. O cruzamento de dois cromossomas combina as características dos dois transmitindo aos descendentes essa informação. Pares de indivíduos são cruzados com uma determinada probabilidade. Operadores genéticos Cruzamento Exemplode Cruzamento Simples • Selecciona-se aleatoriamente uma posição para o cruzamento • Trocar os elementos em posições seguintes à do cruzamento posição 2 Nota: Com listas binárias é “fácil” fazer o cruzamento

20. Operadores genéticos Mutação Cada descendente é sujeito a mutação com uma detreminada probabilidade Exemplo de Mutação Simples • Selecciona-se aleatoriamente uma posição do cromossoma e substitui-se o elemento nessa posição pelo seu complementar posição 2 O algoritmo vai explorar uma “nova” zona da região admissível

21. Exemplo (Goldberg,89) max f(x) = x2 , x  [0,31], x inteiro Codificação das soluções - listasbinárias 31 na base 10  31, 3101+1100 Listas binárias 31 na base 2  11111124 +123+122+121+120 = 31 12 na base 2  01100 024 + 123+122+ 021+020 = 8+4= 12 x  [0,31], na base 2 (a4,a3,a2,a1,a0) com ai=0 ou 1 x = a424 +a323+a222+a121+a02 Nota: cada ai é um gene

22. Exemplo Dimensão da população = 4 em cada iteração (geração) temos 4 indivíduos Função Aptidão dada por f(x) = x2 por exemplo x = 8 tem aptidão f(8)=64 e x = 0 tem aptidão f(0)=0. População inicial gerada aleatoriamente Lançando uma moeda ao ar 20 vezes (porquê?), cara 1 coroa 0 Valor de x f(x) População inicial (gerada aleatoriamente) Lista nº População inicial (gerada aleatoriamente) Lista nº x f(x) 1 0 1 1 0 1 13 169 2 1 1 0 0 0 24 576 3 0 1 0 0 0 8 64 4 1 0 0 1 1 19 361

23. frequência esperada Exemplo Selecção e reprodução A probabilidade de selecção do indivíduo i pode ser dada por Exemplo: lista nº1 (indivíduo 1)f(1)=169; =1170; p1=169/1170=0.14 De acordo com estas probabilidades, constrói-se a roleta enviesada. Gira-se a roleta 4 vezes para seleccionar 4 progenitores. pseleccionar frequência observada roleta x f(x) População inicial (gerada aleatoriamente) Lista nº 1 0 1 1 0 1 13 169 0.14 0.58 1 2 1 1 0 0 0 24 576 0.49 1.97 2 3 0 1 0 0 0 8 64 0.06 0.22 0 4 1 0 0 1 1 19 361 0.31 1.23 1 Soma 1170 Média 293 Máximo 576

24. Exemplo Cruzamento 1º) emparelham-se aleatoriamenteos progenitores seleccionados; 2º) para cada par, o ponto de cruzamento é seleccionado aleatoriamente Progenitores selecionados (ponto de cruzamento) Ponto de cruzamento par x f(x) Nova população 0 1 1 0 1 2 4 0 1 1 0 0 12 144 1 1 0 0 0 1 4 1 1 0 0 1 25 625 1 1 0 0 0 4 2 1 1 0 1 1 27 729 1 0 0 1 1 3 2 1 0 0 0 0 16 256 Soma 1754 Média 439 Máximo 729 Nota: Pode considerar-se que cada nova geração substituiu a antiga em bloco. Nesta geração, a aptidão média aumentou de 293 para 439, a aptidão máxima aumentou de 576 para 729.

25. Exemplo Mutação Considere-se a probabilidade de mutação pm= 0.001 e o cruzamento dos indivíduos 1 e 2; Gerem-se aleatoriamente dez números, xi, entre 0 e 1; Se xi<0.001 vai ocorrer uma mutação no gene i; Caso contrário não ocorre mutação no gene i Exemplo. Supondo que a8<0.001 e ai>=0.001, i8 Nenhuma mutação em C1, uma mutação no gene 3 de C2 Após cruzamento Nova população C1: 01100 C2: 11001 C1: 01100 C2: 11101 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 Mutação 1 0 0 0 0 X1=12 X2=29 X1=12 X2=25

26. Convergência Rudolph (1994) prova, usando Cadeias de Markov finitas, que um algoritmo genético convergeassimptoticamente para o óptimo global desde que se use elitismo. Rudolph, G. (1994) “Convergence Analysis of Canonical Genetic Algorithms”, IEEE Transactions on Neural Networks 5 (1) pp 96-101. Num AG não existe garantia de que o elemento mais apto (“melhor” solução) passe para a geração seguinte. O elitismo consiste na selecção obrigatória para a geração seguinte do indivíduo que representa a melhor solução até ao momento.

27. Questões Nas iterações iniciais podem ocorrer situações em que existem alguns indivíduos muito aptos numa população de aptidão média reduzida. Estes indivíduos podem levar o AG a convergir prematuramente (para uma solução de má qualidade). Para evitar a convergência prematura e estimular a competição selectiva mais tarde, existem técnicas de calibração da função de aptidão que modificam a escala de aptidão.  Caso a população inicial não inclua indivíduos correspondentes a soluções admissíveis pode-se recorrer, por exemplo, a uma heurística construtiva para obter indivíduos correspondentes a soluções admissíveis. Empiricamente, vários autores sugerem dimensão da população da ordem dim_pop=30. Alander (1992)* sugere n dim_pop 2n) sendo n a dimensão do cromossoma binário. A eficiência de um AG pode ser melhorada incorporando no AG outra técnica heurística – hibridização.

28. Questões Pode-se definir vários tipos de cruzamento múltiplo (multi-point crossover). Exemplo: posições 2 e 5 Em geral, a população de uma geração é totalmente substituída pelos descendentes da geração anterior. Podem perder-se indivíduos de boa qualidade de uma geração para outra. Mecanismos para contrariar estas desvantagens são, por exemplo o elitismo e asubstituição incremental. substituição incremental– a população da geração seguinte é constituída criando apenas r (valores pequenos para r) filhos por cruzamento que vão substituir r membros da população corrente.